数据结构图之上吊攻略

约定不等于承诺〃 2022-05-09 09:08 477阅读 0赞

六度分割理论（小世界理论，六度空间理论）：你和任何一个陌生人之间所间隔的人不会超过六个，也就是说，最多通过五个中间人你就能够认识任何一个陌生人。

![70][]

从陈家庄到张家村，怎么走最快呢？怎么修公路使得村村通的花费最少呢？

![70 1][]

以上例子都是图在实际中的应用。

**目录**

1 图的定义与术语

1.1 无向图

1.2 有向图（directed graph）

（1） 有向图

（2）有向完全图

（3）有向树

1.3 标号图(labeled graph)

1.4 带权图(weighted graph)

1.5 顶点的度

1.6 子图

1.7 回路 (cycle，也称为环)

1.8 有根图（树，森林）

1.9 连通系列

（1）连通

（2）无向图连通分支=连通分量=极大连通子图

（3）生成树=极小连通子图

（4）有向图强连通

2.0 顶点的度

2.1 网络（Activity On Vertex，AOV）

2 图的存储结构

2.1 相邻矩阵（adjacency matrix，或邻接矩阵）

（1）有向图的相邻矩阵

（2）无向图的相邻矩阵

2.2 邻接表( adjacency list )

（1）无向图的邻接表表示

（2）带权图的邻接表表示

（3）有向图的邻接表（出边表）

（4）有向图的逆邻接表（入边表）

2.3 十字链表 (Orthogonal List)

3 图的遍历(graph traversal)

3.1 深度优先遍历（depth-first search，DFS）

3.2 广度优先遍历(breadth-first search，BFS)

4 拓扑排序(topological sort)

4.1 基本定义

4.2 关键路径-AOE网

5 最短路径

5.1 单源最短路径(single-source shortest paths)

5.1.1 Dijkstra算法

5.2 每对结点间的最短路径

5.2.1 Floyd算法

6 最小生成树(minimum-cost spanning tree， MST)

6.1 贪心算法

6.2 Prim 算法

6.3 Kruskal 算法

--------------------

# 1 图的定义与术语 #

一种“多对多”的关系。

采用G= (V，E) 表示  
—— V 是顶点 (vertex) 集合  
—— E 是边 (edge) 的集合

## 1.1 无向图 ##

**（1）**

无向图的边数：0≤e≤n(n-1)/2

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3d5ZHlkMTEw_size_27_color_FFFFFF_t_70][]

**（2）无向完全图**

无向完全图(Undirected Complete Graph)：恰有n(n-1)/2条边的无向图

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3d5ZHlkMTEw_size_27_color_FFFFFF_t_70 1][]

## 1.2 有向图（directed graph） ##

### **（1） 有向图** ###

有向图的边数：0≤e≤n(n-1)

![70 2][]

### **（2）有向完全图** ###

有向完全图(Directed Complete Graph)：恰有n(n-1)条边的有向图

![70 3][]

### **（3）有向树** ###

**有向树：**有一个顶点的入度为0，其余顶点的入度均为1的有向图。

## 1.3 标号图(labeled graph) ##

## ![70 4][] ##

## 1.4 带权图(weighted graph) ##

![70 5][]

## **1.5 顶点的度** ##

![70 6][]

## 1.6 子图 ##

![70 7][]

## 1.7 回路 (cycle，也称为环) ##

**回路：**起点等于终点的路径

![70 8][]

*  n个顶点n条边的无向图一定是有环的。
 *  判断有向图中是否存在回路，可以利用拓扑排序，还可以利用深度优先遍历

**简单路径：**路径序列中，顶点不重复出现的路径。最短路径一定是简单路径。

**简单回路：**除第一个顶点和最后一个顶点外，其余顶点不重复出现的回路。

## 1.8 有根图（树，森林） ##

![70 9][]

![70 10][]

## 1.9 连通系列 ##

### **（1）连通** ###

对无向图 G= (V，E) 而言，如果从 V1 到 V2 有一条路径 (从 V2 到 V1 也一定有一条路径) ，则称 V1 和V2 是**连通**的 (connected)

若无向图G中，任意两个顶点都是连通的，则称图G为**连通图**。

若一个图有n个顶点，且边数小于n-1，此图必为**非连通图**。

![70 11][]

### **（2）无向图连通分支=连通分量=极大连通子图** ###

![70 12][]

![70 13][]

n个顶点的**无向连通图**，边数至少为n-1，至多为n(n-1)/2。

具有n个顶点的无向图，当有(n-1)(n-2) /2+1条边时能确保是一个连通图。

### **（3）生成树=**极小连通子图 ###

*  **连通图的生成树**：包含图中全部顶点的一个极小连通图。
 *  若图中顶点数为n，则其生成树边数为n-1。
 *  砍掉生成树一条边，就会变成非连通图。加上一条边就会形成一个回路。
 *  具有n个顶点的图是一个环，去掉其中任意条边便是一棵生成树，则它有n棵生成树。

![70 14][] ![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3d5ZHlkMTEw_size_27_color_FFFFFF_t_70 2][]

### **（4）有向图强连通** ###

![70 15][]

有n个顶点的强连通图最多有n（n-1）条边

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3d5ZHlkMTEw_size_27_color_FFFFFF_t_70 3][]

最少有n条边[ ][Link 1]

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3d5ZHlkMTEw_size_27_color_FFFFFF_t_70 4][]

## 2.0 顶点的度 ##

**（1）**

![70 16][]

**（2）**

![70 17][]

**（3）**

![70 18][]

--------------------

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3d5ZHlkMTEw_size_27_color_FFFFFF_t_70 5][]

想要交一个家里有矿的好gay友，这样就不用学数据结构了。

## 2.1 网络（Activity On Vertex，AOV） ##

![70 19][]

# 2 图的存储结构 #

## 2.1 相邻矩阵（adjacency matrix，或邻接矩阵） ##

![70 20][]

![70 21][]

### （1）有向图的相邻矩阵 ###

![70 22][]

### （2）无向图的相邻矩阵 ###

![70 23][]

对于无向图的存储，可以省一半空间

![70 24][]

![70 25][]

--------------------

## ![70 26][] ##

## 2.2 邻接表( adjacency list ) ##

![70 27][]

### （1）无向图的邻接表表示 ###

**边数\*2 = 边表结点数（每条边在邻接表中存储两次）**

![70 28][]

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3d5ZHlkMTEw_size_27_color_FFFFFF_t_70 6][]

### （2）带权图的邻接表表示 ###

### ![70 29][] ###

![70 30][]

### （3）有向图的邻接表（出边表） ###

**边数 = 边表结点数**

### ![70 31][] ###

![70 32][]

### （4）有向图的逆邻接表（入边表） ###

![70 33][]

![70 34][]

## 2.3 十字链表 (Orthogonal List) ##

十字链表 (Orthogonal List) 可以看成是邻接表和逆邻接表的结合

参考：[《高级数据结构之猝死攻略（一）》][Link 2]

# 3 图的遍历(graph traversal) #

给出一个图G和其中任意一个顶点V0，从V0出发系统地访问G中所有的顶点，每个顶点访问而且只访问一次

![70 35][]

**会遇到的问题：**

> **（1）**从一顶点出发，可能不能到达所有其它的顶点  
> 如:非连通图  
> **（2）**也有可能会陷入死循环  
> 如:存在回路的图

**解决办法：**

> **（1）**为每个顶点保留一个 **标志位 (mark bit)**  
> **（2）**算法开始时，所有顶点的标志位置零  
> **（3）**在遍历的过程中，当某个顶点被访问时，其标志位就被标记为已访问

## 3.1 深度优先遍历（depth-first search，DFS） ##

类似于树的**先序**遍历

## ![70 36][] ##

## ![70 37][]   3.2 广度优先遍历(breadth-first search，BFS) ##

类似于树的**层序**遍历

![70 38][]

#  #

# ![70 39][] #

**总结**

>  *  图的广度优先生成树的树高小或等于深度优先生成树的树高

# 4 拓扑排序(topological sort) #

## 4.1 基本定义 ##

如果图中从V到W有一条有向路径，则V一定排在W之前。满足此条件的顶点序列称为一个**拓扑序列**  
获得一个拓扑序的过程就是**拓扑排序**  
AOV如果有合理的拓扑序，则必定是**有向无环图****（Directed Acyclic Graph, DAG）**

> 网络（AOV）为带权的连通图
> 
> ![70 40][]

**栗子1：**

![70 41][]

**栗子2**

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3d5ZHlkMTEw_size_27_color_FFFFFF_t_70 7][]

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3d5ZHlkMTEw_size_27_color_FFFFFF_t_70 8][]

**栗子3**

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3d5ZHlkMTEw_size_16_color_FFFFFF_t_70][]

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3d5ZHlkMTEw_size_16_color_FFFFFF_t_70 1][]

**拓扑排序的时间复杂度**

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3d5ZHlkMTEw_size_27_color_FFFFFF_t_70 9][]

## 4.2 关键路径-AOE网 ##

拓扑排序主要用于解决一个工程能否顺利进行，但有时我们还需解决工程完成所需要的最短时间问题。好比求汽车厂造一辆车，最短需要多少时间？

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3d5ZHlkMTEw_size_27_color_FFFFFF_t_70 10][]

**AOE网（Activity On Edge Network）：**每条边代表一个活动。

**栗子1：**

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3d5ZHlkMTEw_size_27_color_FFFFFF_t_70 11][]

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3d5ZHlkMTEw_size_27_color_FFFFFF_t_70 12][]

4要等1，2，5都完工了才能进行。

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3d5ZHlkMTEw_size_16_color_FFFFFF_t_70 2][]

整个工期为18天。

**机动时间（从后往前推）：**找出哪些组是不用赶工的。

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3d5ZHlkMTEw_size_16_color_FFFFFF_t_70 3][]

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3d5ZHlkMTEw_size_16_color_FFFFFF_t_70 4][]

**栗子2：**

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3d5ZHlkMTEw_size_27_color_FFFFFF_t_70 13][]

**路径长度：**路径上各个活动所持续的时间之和。

**关键路径：**从源点到汇点具有最大长度的路径。绝对不允许延误的活动组成的路径。没有机动时间的组组成的路径。

**——** 图中，开始 - 发动机完成 - 部件集中到位 - 组装完成就是**关键路径。**

**——** 路径长度为5.5

**关键活动：**关键路径上的活动。

# 5 最短路径 #

![70 42][]

![70 43][]

## 5.1 单源最短路径(single-source shortest paths) ##

从某固定源点出发，求其到所有其他顶点的最短路径。

### 5.1.1 Dijkstra算法 ###

**（1）**

毋庸置疑，顶点v0到v1的最短路径为1

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3d5ZHlkMTEw_size_27_color_FFFFFF_t_70 14][]

由于顶点v1还与v2,v3,v4连线，因此可同时求得

v0->v1->v2=1+3=4

v0->v1->v3=1+7=8

v0->v1->v4=1+5=6

此时，v0到v2的最短路径为4而非5。

**（2）**

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3d5ZHlkMTEw_size_27_color_FFFFFF_t_70 15][]

由于顶点v2还与v4，v5连线，因此可求得

v0->v1->v2->v4=5要比v0->v2->v4=5+1=6小

所以v0到v4的最小路径为5。

其他同理。过程都是基于已经求出的最短路劲的基础上，求得更远顶点的最短路径。

**总结**

> Dijkstra不支持负权值

**代码实现**

class Dist{//用于保存最短路径信息
    public:
        int index;//结点的索引值，仅Dijkstra算法用到
        int length;//当前最短路径长度
        int pre;//路径最后经过的点
    };
    void dijkstra(Graph &G, int s, Dist &D){//s是源点
        D = new Dist[G.verticesNum()];//记录当前最短路径长度
        for(int i = 0; i < G.verticesNum(); i++){//初始化
            G.Mark[i] = UNVISTED;
            D[i].index = i;
            D[i].length = INFINITE;//无穷的
            D[i].pre = s;
        }
        D[s].length = 0;//源点到自身的路径长度置为0
        MinHeap<Dist> H(G.edgesNum());//最小值堆用于找出最短路径
        H.insert(D[s]);
        for(i=0; i < G.verticesNum(); i++){
            bool FOUND = false;
            Dist d;
            while(!H.isEmpty()){
                d = H.removeMin();//获得到s路径长度最小的结点
                if(G.Mark[d.index] == UNVISITED){//如果未访问过就跳出循环
                    FOUND = true;break;
                }
            }
            if(!FOUND) break;//若没有符合条件的最短路径则跳出本次循环
            int v = d.index;
            G.Mark[v] = VISITED;//若标记位设置为VISITED
            for(Edge e = G.firstEdge(v); G.isEdge(e); e=G.nextEdge(e)){//刷新最短路
               if (D[G.toVertex(e)].length > (D[v].length+G.weight(e))) {  
                       D[G.toVertex(e)].length = D[v].length + G.Weight(e); 
                       D[G.toVertex(e)].pre = v; 
                       H.insert(D[G.toVertex(e)]);
                } 
            }
        }
    }

## 5.2 每对结点间的最短路径 ##

求任意两顶点间的最短路径

### 5.2.1 Floyd算法 ###

**基本思想**

> Floyd算法定义了两个二维矩阵：
> 
> （1） 矩阵D记录顶点间的最小路径  
> 例如D\[0\]\[3\]= 10，说明顶点0 到 3 的最短路径为10；  
> （2） 矩阵P记录顶点间最小路径中的中转点  
> 例如P\[0\]\[3\]= 1 说明，0 到 3的最短路径轨迹为：0 -> 1 \-> 3。（1为中转点）
> 
> 它通过3重循环，k为中转点，v为起点，w为终点，循环比较D\[v\]\[w\] 和 D\[v\]\[k\] + D\[k\]\[w\] 最小值，如果D\[v\]\[k\] + D\[k\]\[w\] 为更小值，则把D\[v\]\[k\] + D\[k\]\[w\] 覆盖保存在D\[v\]\[w\]中。

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3d5ZHlkMTEw_size_27_color_FFFFFF_t_70 16][]

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3d5ZHlkMTEw_size_27_color_FFFFFF_t_70 17][]

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3d5ZHlkMTEw_size_27_color_FFFFFF_t_70 18][]

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3d5ZHlkMTEw_size_27_color_FFFFFF_t_70 19][]

**总结**

> Floyd支持负权值

# 6 最小生成树(minimum-cost spanning tree， MST) #

## 6.1 贪心算法 ##

## ![70 44][] ##

## 6.2 Prim 算法 ##

![70 45][]

![70 46][]

![70 47][]

## 6.3 Kruskal 算法 ##

![70 48][]

**（1）**

![70 49][]

**（2）**

![70 50][]

**（3）**

![70 51][]

**（4）**

![70 52][]

**总结**

>  *  最小生成树的树形可能不唯一，但代价一定是唯一的。
>  *  **树的代价** = 树的全部边权值相加
>  *  无向连通图必然存在最小生成树。当无向连通图存在权值相同的多条边，最小生成树不一定唯一。所以，任何一个无向连通图的最小生成树有一棵或者多棵。

攻略结束，各位可以开始上吊了。

![70 53][]

--------------------

本文参考自：

张铭《数据结构与算法》

陈越，何钦铭《数据结构》

程杰《大话数据结构》

[《弗洛伊德（Floyd）算法求图的最短路径》][Floyd]

[70]: /images/20220509/508a6f730f0b4013917b4c6d35c0d197.png
[70 1]: /images/20220509/ef7a00bb391b4efc98f1b3173f567958.png
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[70 2]: /images/20220509/f8bd09f0d69e415abd689ee33f003171.png
[70 3]: /images/20220509/a51cc33bb9c64633ae0f29e87f8a478b.png
[70 4]: /images/20220509/8da139b1ff524b85bdb205827e49721f.png
[70 5]: /images/20220509/f6162c446a804efba90a5b89905d3024.png
[70 6]: /images/20220509/dc8d17e08d284e45bc3994614ff08bc4.png
[70 7]: /images/20220509/5adc12f217ab454bb4aa993afb81e94d.png
[70 8]: /images/20220509/1cfc12de2b10492caa7e8f9510a978b3.png
[70 9]: /images/20220509/b5a680108e6549e0aa948c1847964a0a.png
[70 10]: /images/20220509/49e5e73569b948f8b82cfed9a11b4a35.png
[70 11]: /images/20220509/654f485a8fcc4585b825cbc68d80bc02.png
[70 12]: /images/20220509/f217779f9df94770997daf6c85c2d57c.png
[70 13]: /images/20220509/be02ecc1df2d4fee90bb65eecd40a64e.png
[70 14]: https://img-blog.csdn.net/20181025173905604?watermark/2/text/aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3d5ZHlkMTEw/font/5a6L5L2T/fontsize/400/fill/I0JBQkFCMA==/dissolve/70
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3d5ZHlkMTEw_size_27_color_FFFFFF_t_70 2]: /images/20220509/135ae75ff69444e89c9ee4fb5a318ec3.png
[70 15]: /images/20220509/e8c0e36251eb45e58c4115d2dce58a83.png
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[Floyd]: https://blog.csdn.net/jeffleo/article/details/53349825