唐宇迪机器学习实战——梯度下降求解逻辑回归（理论基础+源代码实现）

柔情只为你懂 2022-05-11 07:46 420阅读 0赞

## 问题的提出 ##

符号问题，这里的lg就是指[log2][]，你的理解是正确的！在[计算机科学][Link 1]中有些符号的使用跟我们在数学中使用的有区别。比如有时候log用来表示自然对数(以e为底数)。希望对你有帮助！

首先[计算机科学][Link 1]里的lgn就是数学上的[log2][](n)

现要实现一个简单的线性回归：

**我们将建立一个逻辑回归模型来预测一个学生是否被大学录取。假设你是一个大学系的管理员，你想根据两次考试的结果来决定每个申请人的录取机会。你有以前的申请人的历史数据，你可以用它作为逻辑回归的训练集。对于每一个培训例子，你有两个考试的申请人的分数和录取决定。为了做到这一点，我们将建立一个分类模型，根据考试成绩估计入学概率。**

即要求我们通过一些数据集来训练电脑，能实现输入两门考试成绩从而得到是否录取的结果。   
设X1为exam1的成绩，X2为exam2的成绩，X1、X2就是我们的两个特征，我们的目标便是求得一条曲线，能最大程度拟合我们的数据点（X1、X2轴），而曲线的Y值便是我们的预测值。其实就是个立体的曲线，图例如下：

![70][]

## 载入数据集 ##

我们首先载入数据集看看数据特征与数据项：

#导入数据分析的三大件
    import numpy as np
    import pandas as pd
    import matplotlib.pyplot as plt
    %matplotlib inline

import os
    # 相对路径 
    # # 在 Windows 上，文件的路径分割符号是 '\' ，
    # 在 Linux 上 是 ‘/’为了让你的代码在不同的平台上都能运行，那么你写路径的时候是写 ‘/’ 还是写 '\' 呢？
    # 为了让你的代码在不同的平台上都能运行，那么你写路径的时候是写 ‘/’ 还是写 '\' 呢？
    # 使用 os.sep 的话，你就不用去考虑这个了，os.sep 根据你所处的平台，自动地采用相应的分割符号
    path = 'data' + os.sep + 'LogiReg_data.txt'
    pdData = pd.read_csv(path, header=None, names=['Exam 1', 'Exam 2', 'Admitted'])
    pdData.head()

结果如图：

![70 1][]

可以看到学生有两门成绩，学校是通过两门成绩来决定是否录取。   
之后我们可以利用python的绘图包通过散点图的绘制来将数据更直接的表现出来。

#  画出正例 负例的散点图
    positive = pdData[pdData['Admitted'] == 1] 
    negative = pdData[pdData['Admitted'] == 0]
    # 画图区域的长和宽
    # fig代表绘图窗口（Figure），ax代表这个绘图窗口上的坐标系（axes）。后面的ax.xxx则是表示对ax坐标系进行xxx操作
    
    #调用subplots函数
    #指定图像分辨率、大小和长宽比例
    #创建一个800*600像素、100dpi(每英寸100点)分辨率的图形
    #返回一个画布对象和一个轴数组
    # fig,axe=plt.subplots(figsize=(8,6),dpi=100)
    fig, ax = plt.subplots(figsize=(10,5))
    # 画散点图
    ax.scatter(positive['Exam 1'], positive['Exam 2'], s=30, c='b', marker='o', label='Admitted')
    ax.scatter(negative['Exam 1'], negative['Exam 2'], s=30, c='r', marker='x', label='Not Admitted')
    
    ax.legend()
    #设置X轴标记为Exam 1 Score
    ax.set_xlabel('Exam 1 Score')
    #设置Y轴标记为Exam 1 Score
    ax.set_ylabel('Exam 2 Score')
    #设置图标题
    # axe.set_title("y=x**2")
    #显示绘制的图片
    # plt.show()

![70 2][]

# 画图区域的长和宽
    # fig代表绘图窗口（Figure），ax代表这个绘图窗口上的坐标系（axes）。后面的ax.xxx则是表示对ax坐标系进行xxx操作
    
    #调用subplots函数
    #指定图像分辨率、大小和长宽比例
    #创建一个800*600像素、100dpi(每英寸100点)分辨率的图形
    #返回一个画布对象和一个轴数组
    # fig,axe=plt.subplots(figsize=(8,6),dpi=100)
    fig, ax = plt.subplots(figsize=(10,5))

#coding=utf8
    '''
    matplotlib.pyplot.subplots(nrows=1, ncols=1, sharex=False, 
    sharey=False, squeeze=True, subplot_kw=None, 
    gridspec_kw=None, **fig_kw)
    创建一个画像(figure)和一组子图(subplots)。
    这个实用程序包装器可以方便地在单个调用中创建子图的公共布局，包括封闭的图形对象。
    输入参数说明：
    nrows,ncols：整型，可选参数，默认为1。表示子图网格(grid)的行数与列数。
    sharex,sharey：布尔值或者{'none','all','row','col'}，默认：False
                        控制x(sharex)或y(sharey)轴之间的属性共享：
                            1.True或者'all'：x或y轴属性将在所有子图(subplots)中共享.
                            2.False或'none'：每个子图的x或y轴都是独立的部分
                            3.'row'：每个子图在一个x或y轴共享行(row)
                            4.'col':每个子图在一个x或y轴共享列(column)
                        当子图在x轴有一个共享列时('col'),只有底部子图的x tick标记是可视的。
                        同理，当子图在y轴有一个共享行时('row'),只有第一列子图的y tick标记是可视的。
    squeeze：布尔类型，可选参数，默认：True。
                    * 如果是True，额外的维度从返回的Axes(轴)对象中挤出。
                        》如果只有一个子图被构建(nrows=ncols=1)，结果是单个Axes对象作为标量被返回。
                        》对于N*1或1*N个子图，返回一个1维数组。
                        》对于N*M，N>1和M>1返回一个2维数组。
                    *如果是False，不进行挤压操作：返回一个元素为Axes实例的2维数组，即使它最终是1x1。
    subplot_kw:字典类型，可选参数。把字典的关键字传递给add_subplot()来创建每个子图。
    gridspec_kw字典类型，可选参数。把字典的关键字传递给GridSpec构造函数创建子图放在网格里(grid)。
    **fig_kw：把所有详细的关键字参数传给figure()函数
    返回结果：
    fig：matplotlib.figure.Figure对象
    ax：Axes(轴)对象或Axes(轴)对象数组。
    matplotlib.pyplot.figure(num=None, figsize=None, dpi=None, 
    facecolor=None, edgecolor=None, frameon=True, 
    FigureClass=<class 'matplotlib.figure.Figure'>, clear=False, **kwargs)
    创建一个新的画布(figure)。
    输入参数：
    num：整型或者字符串，可选参数，默认：None。
                如果不提供该参数，一个新的画布(figure)将被创建而且画布数量将会增加。
                如果提供该参数，带有id的画布是已经存在的，激活该画布并返回该画布的引用。
                如果这个画布不存在，创建并返回画布实例。
                如果num是字符串，窗口标题将被设置为该图的数字。
    figsize：整型元组，可选参数 ，默认：None。
                    每英寸的宽度和高度。如果不提供，默认值是figure.figsize。
    dpi：整型，可选参数，默认：None。每英寸像素点。如果不提供，默认是figure.dpi。
    facecolor：背景色。如果不提供，默认值：figure.facecolor。
    edgecolor：边界颜色。如果不提供，默认值：figure.edgecolor。
    framemon：布尔类型，可选参数，默认值：True。如果是False，禁止绘制画图框。
    FigureClass：源于matplotlib.figure.Figure的类。（可选）使用自定义图实例。
    clear：布尔类型，可选参数，默认值：False。如果为True和figure已经存在时，这是清理掉改图。
    返回值：
    figure：Figure。返回的Figure实例也将被传递给后端的new_figure_manager，这允许将自定义的图类挂接到pylab接口中。 
                附加的kwarg将被传递给图形init函数。
    '''
     
    import numpy as np
    import matplotlib.pyplot as plt
    #创建一个数组0-100，数据间隔是0.1
    x=np.arange(0,100,0.1)
     
    y=x**2
     
    #调用subplots函数
    #指定图像分辨率、大小和长宽比例
    #创建一个800*600像素、100dpi(每英寸100点)分辨率的图形
    #返回一个画布对象和一个轴数组
    fig,axe=plt.subplots(figsize=(8,6),dpi=100)
     
    #在axe上绘制一条抛物线，红色 点
    axe.plot(x,y,"r:")
    #设置y轴标记为X
    axe.set_xlabel("X")
    #设置x轴标记为Y
    axe.set_ylabel("Y")
     
    #设置图标题
    axe.set_title("y=x**2")
     
    #显示绘制的图片
    plt.show()

[matplotlib模块学习笔记][matplotlib]

Python有很多可视化工具，matplotlib是其中重要的一个。

matplotlib API函数都位于matplotlib.pyplot模块中，其通常的引入约定是：

import matplotlib.pyplot as plt
    matplotlib的图像都位于Figure对象中，创建新的Figure方法为：
    fig = plt.figure()
    绘图不能直接在空Figure上，需要用add_subplot创建一个或多个subplot：
    
    ax1 = fig.add_subplot(2,2,1)
    ax2 = fig.add_subplot(2,2,2)
    ax3 = fig.add_subplot(2,2,3)
    参数的意思是图像是 2x2 的，当前选中的是4个subplot中的第n个
    
    当需要创建多个subplot时，有更为简单方便的方法，参数sharex，sharey表示制定的多个subplot具有相同的X轴和Y轴：
    
    fig, axes = plt.subplots(2,3,sharex=True,sharey = True)
    调整subplot周围的间距：
    
    plt.subplots_adjust(wspace = 0,hspace = 0)
    设置绘图的颜色、线型和标记（数据点）：plot函数接收一组x和y坐标，还可以接收一个表示线型、颜色和标记的字符串缩写
    
    ax.plot(x,y,'go--')
    上面的例子中：g表示颜色，o表示标记，--表示线型，标记类型和线型必须放在颜色后面
    
    设置刻度、标签和图例：设置x轴刻度
    
    ax.set_xticks([0,250,500,750,1000])
    设置x轴名称：
    
    ax.set_xlabel('Stage')
    设置图片标题：
    
    ax.set_title('My first matplotlib plot')
    添加图例：传入label参数
    
    复制代码
    ax.plot(randn(1000).cumsum(),'k',label = 'one')
    ax.plot(randn(1000).cumsum(),'k--',label = 'two')
    ax.plot(randn(1000).cumsum(),'k.',label = 'three')
    ax.legend()
    复制代码
    最后，需要将图片显示出来：
    
    plt.show()

# python: numpy--函数 shape用法 #

建立一个3×3的单位矩阵e, e.shape为（3，3），表示3行3列,第一维的长度为3，第二维的长度也为3

>>> e = eye(3)
    >>> e
    array([[ 1.,  0.,  0.],
           [ 0.,  1.,  0.],
           [ 0.,  0.,  1.]])
    >>> e.shape
    (3, 3)

建立一个一维矩阵b, b.shape 为矩阵的长度

>>> b =array([1,2,3,4])
    >>> b.shape
    (4,)
    #可以简写
    >>> shape([1,2,3,4])
    (4,)
    >>>

建立一个4×2的矩阵c, c.shape\[1\] 为第一维的长度(也就是行数)，c.shape\[0\] 为第二维的长度(列数)。

>>> c = array([[1,1],[1,2],[1,3],[1,4]])
    >>> c.shape
    (4, 2)
    >>> c.shape[0]
    4
    >>> c.shape[1]
    2

一个单独的数值，返回值为空

>>> shape(3)
    ()

python: numpy--函数 [as\_matrix][as_matrix]用法

![70 3][]

**zip()函数用法**

zip()是Python的一个内建函数，它接受一系列可迭代的对象作为参数，将对象中对应的元素打包成一个个tuple（元组），然后返回由这些tuples组成的list（列表）。若传入参数的长度不等，则返回list的长度和参数中长度最短的对象相同。利用\*号操作符，可以将list unzip（解压），看下面的例子就明白了：

<table> 
 <tbody> 
  <tr> 
   <td> <pre><code>1 2 3 4 5 6 7 8 9</code></pre> </td> 
   <td> <pre><code>&gt;&gt;&gt;&nbsp;a =&nbsp;[1,2,3]
&gt;&gt;&gt;&nbsp;b =&nbsp;[4,5,6]
&gt;&gt;&gt;&nbsp;c =&nbsp;[4,5,6,7,8]
&gt;&gt;&gt;&nbsp;zipped =&nbsp;zip(a,b)</code></pre> <pre><code>[(1,&nbsp;4),&nbsp;(2,&nbsp;5),&nbsp;(3,&nbsp;6)]
&gt;&gt;&gt;&nbsp;zip(a,c)
[(1,&nbsp;4),&nbsp;(2,&nbsp;5),&nbsp;(3,&nbsp;6)]
&gt;&gt;&gt;&nbsp;zip(*zipped)
[(1,&nbsp;2,&nbsp;3),&nbsp;(4,&nbsp;5,&nbsp;6)]</code></pre> </td> 
  </tr> 
 </tbody> 
</table>

**初步求解**

我们求解的线性关系一定是有参数的，因为我们有两个特征值，而我们需要通过两个特征值求得预测值，但是两个特征值对结果的影响又不尽相同，所以我们需要两个参数来度量两个特征值对结果影响程度，以及一个参数来充当偏置项（曲线会上下浮动，且偏置项对结果作用较小）：

![θ1、θ2、θ0][1_2_0]θ1、θ2、θ0

所以我们的预测结果可以表示为：

![h\\Theta (x) = (\\theta0 \\theta1 \\theta2) \*][h_Theta _x_ _ _theta0 _theta1 _theta2_]![\\bigl(\\begin\{smallmatrix\} 1\\\\ x1\\\\ x2 \\end\{smallmatrix\}\\bigr)][bigl_begin_smallmatrix_ 1_ x1_ x2 _end_smallmatrix_bigr]![θ0+θ1x1+θ2x2][0_1x1_2x2]=θ0+θ1x1+θ2x2

整合之后：

![70 4][]

ef sigmoid(z):
        return 1 / (1 + np.exp(-z))#注意e的指数次形式的写法
    #creates a vector containing 20 equally spaced values from -10 to 10
    nums = np.arange(-10,10,step=1)
    fig, ax = plt.subplots(figsize=(12,4))
    # ax.plot(x,y,'go--')
    # 上面的例子中：g表示颜色，o表示标记，--表示线型，标记类型和线型必须放在颜色后面
    ax.plot(nums,sigmoid(nums), 'r')

![70 5][]

*  # Python 基础——range() 与 np.arange() #
 *  `range()`返回的是`range object`，而`np.arange()`返回的是`numpy.ndarray()`   
    `range`尽可用于迭代，而`np.nrange`作用远不止于此，它是一个序列，可被当做向量使用。
 *  **`range()`不支持步长为小数，`np.arange()`支持步长为小数**
 *  **两者都可用于迭代**
 *  两者都有三个参数，以第一个参数为起点，第三个参数为步长，截止到第二个参数之前的**不包括第二个参数**的数据序列   
    某种意义上，和STL中由迭代器组成的区间是一样的，即**左闭右开的区间**。`[first, last)`或者不加严谨地写作`[first:step:last)`
 *      range(1,5)  # range(1,5)
        tuple(range(1, 5)) # (1, 2, 3, 4)
        list(range(1, 5)) # [1, 2, 3, 4]
        r = range(1, 5)
        type(r)  # range
        for i in range(1, 5):
            print(i)
        # 1
        # 2
        # 3
        # 4
        np.arange(1, 5)  # array([1, 2, 3, 4])
        # 'float' object cannot be interpreted as an integer  range()不支持步长为小数
        # range(1, 5, .1) 
        # np.arange()支持步长为小数
        np.arange(1, 5, .5)  # array([1. , 1.5, 2. , 2.5, 3. , 3.5, 4. , 4.5])
        range(1, 5, 2) # range(1, 5, 2)
        for i in range(1, 5, 2):
               print(i)  # 1 3
        for i in np.arange(1, 5):
              print(i)# 1 2 3 4

而所谓的**逻辑回归**便是将任意的输入值映射到\[0,1\]区间上，将我们通过线性回归得到的预测值转化为概率，完成**分类任务**。

## 初步求解 ##

我们载入数据，大体明白了预测结果长什么样，以及值概率的转化，但我们的模型还完全没有建立起来！   
我们知道所谓机器学习便是我们交给机器一堆数据，然后告诉它什么样的学习方式是对的（目标函数），叫它朝着这个方向走，然后还要规定每次走的步长（学习率），一口吃不了大胖子，要一步一步来（每次的迭代）。

![70 6][]

如同这样一个山谷，我们要达到山谷的最低点，利用梯度下降的方法，每经过一个数据点，便运行更新函数更新下一步的方向（梯度，求偏导）。   
所以我们还要做损失函数（目标函数）、更新函数。

**何为损失函数？**   
我们通过X来估计Y的值，预测值可能符合真实值，也可能不符合真实值，所以我们引入损失函数来度量拟合的程度，损失函数越小代表拟合的越好。   
在此处我们暂时将损失函数视为**目标函数**。

**关于梯度下降**   
梯度下降便是在凸函数中沿着梯度下降的方向不断更新参数，一般情况下我们通过加负号实现。   
梯度下降有三种方式实现：

*  1 批量梯度下降法（Batch Gradient Descent）   
    批量梯度下降法，是梯度下降法最常用的形式，具体做法也就是在更新参数时使用所有的样本来进行更新: 
 *  ![70 7][]
 *  由于我们有m个样本，这里求梯度的时候就用了所有m个样本的梯度数据。
 *  2 随机梯度下降法（Stochastic Gradient Descent）   
    随机梯度下降法，其实和批量梯度下降法原理类似，区别在与求梯度时没有用所有的m个样本的数据，而是仅仅选取一个样本j来求梯度。对应的更新公式是：
 *  ![70 8][]
 *  随机梯度下降法，和批量梯度下降法是两个极端，一个采用所有数据来梯度下降，一个用一个样本来梯度下降。自然各自的优缺点都非常突出。对于训练速度来说，随机梯度下降法由于每次仅仅采用一个样本来迭代，训练速度很快，而批量梯度下降法在样本量很大的时候，训练速度不能让人满意。对于准确度来说，随机梯度下降法用于仅仅用一个样本决定梯度方向，导致解很有可能不是最优。对于收敛速度来说，由于随机梯度下降法一次迭代一个样本，导致迭代方向变化很大，不能很快的收敛到局部最优解。   
    那么，有没有一个中庸的办法能够结合两种方法的优点呢？有！这就是小批量梯度下降法。
 *  3 小批量梯度下降法（Mini-batch Gradient Descent）   
    小批量梯度下降法是批量梯度下降法和随机梯度下降法的折衷，也就是对于m个样本，我们采用x个样子来迭代。一般可以取x=10，当然根据样本的数据，可以调整这个x的值。对应的更新公式是： 
 *  ![70 9][]

![70 10][]

## 逻辑回归 ##

预测函数（完成值到概率的转化）：

![70 11][]

将分类任务整合进去：

![70 12][]

即当我们的y取值为0或1时，可以得到较为精简的式子。   
有了概率，我们便可以求似然函数了。

**何为似然函数？**   
官方解释如下：

![70 13][]

常说的概率是指给定参数后，预测即将发生的事件的可能性。**而似然概率正好与这个过程相反**，***我们关注的量不再是事件的发生概率，而是已知发生了某些事件，我们希望知道参数应该是多少。 ***  
我们的似然函数定义如下：

![70 14][]

即**表示我们预测的参数满足所有样本值这一事件的概率**，接下来要做的就是**极大似然估计**，即令参数的取值无限拟合我们的真实数据。   
我们取对数似然，此时应用梯度上升求最大值，再引入目标函数转换为梯度下降求最小值(加负号，除以样本总数，考虑整体样本)，求偏导，令其等于零。目标函数如下：

![70 15][]

求偏导过程不再给出，结果如下：

![70 16][]

![70 17][]

![70 18][]

代码如下：

#导入数据分析的三大件
    import numpy as np
    import pandas as pd
    import matplotlib.pyplot as plt
    %matplotlib inline

![70 19][]

![70 20][]

![70 21][]

## The logistic regression
    def sigmoid(z):
        return 1 / (1 + np.exp(-z))#注意e的指数次形式的写法
    #creates a vector containing 20 equally spaced values from -10 to 10
    nums = np.arange(-10,10,step=1)
    fig, ax = plt.subplots(figsize=(12,4))
    # ax.plot(x,y,'go--')
    # 上面的例子中：g表示颜色，o表示标记，--表示线型，标记类型和线型必须放在颜色后面
    ax.plot(nums,sigmoid(nums), 'r')

![70 22][]

# 预测函数模型
    def model(X, theta):
        return sigmoid(np.dot(X,theta.T))
    # in a try / except structure so as not to return an error if the block si executed several times
    # 给输入特征变量添加一列全1
    pdData.insert(0, 'Ones', 1) 
    # pdData.head()
    # 打印出来是原始表格里的数据
    # print(pdData)
    # 将数据的Pandas表示转换为可用于进一步计算的数组
    # set X (training data) and y (target variable)
    # 表格转换为矩阵
    orig_data = pdData.as_matrix()
    # 打印出来是矩阵形式
    pdData.head()

![70 23][]

# 样本维度
    cols = orig_data.shape[1]
    X = orig_data[:,0:cols-1]
    Y = orig_data[:,cols-1:cols]
    # 给参数占位
    theta = np.zeros([1, 3])

# 观察五个训练样本
    X[:5]

![70 24][]

![70 25][]

# 平均损失 损失函数
    def cost(X, Y, theta):
        left = np.multiply(-Y, np.log(model(X, theta)))
        right = np.multiply(1 - Y, np.log(1 - model(X, theta)))
        return np.sum(left - right) / (len(X))

cost(X, Y, theta)

![70 26][]

# 计算梯度
    def gradient(X, Y, theta):
        # 进行一个占位 初始化grad
        # 一维矩阵b, b.shape 为矩阵的长度
        grad = np.zeros(theta.shape)
        # 把H(0) - y
        error = (model(X, theta) - Y).ravel()
        for j in range(len(theta.ravel())):
            term = np.multiply(error, X[:,j])
            grad[0, j] = np.sum(term) / len(X)
            
        return grad

# Gradient descent
    # 比较3中不同梯度下降方法
    STOP_ITER = 0 # 
    STOP_COST = 1 # 根据损失函数
    STOP_GRAD = 2 # 根据梯度
    
    def stopCriterion(type, value, threshold):
        # 设定三种不同的停止策略
        if type == STOP_ITER:   return value > threshold
        # 最近两次损失值差别不大
        elif type == STOP_COST: return abs(value[-1] - value[-2]) < threshold
        elif type == STOP_GRAD: return np.linalg.norm(value) < threshold

import numpy.random
    # 数据要进行洗牌
    def shuffleData(data):
        np.random.shuffle(data)
        cols = data.shape[1]
        X = data[:, 0:cols - 1]
        y = data[:, cols-1:]
        return X, y

import time
    def descent(data, theta, batchSize, stopType, thresh, alpha):
        # 梯度下降求解
        init_time = time.time()
        # 迭代次数
        i = 0
        # batch
        k = 0
        X, y = shuffleData(data)
        # 计算梯度
        grad = np.zeros(theta.shape)
        # 损失值
        costs = [cost(X, y, theta)]
        
        while True:
            grad = gradient(X[k : k + batchSize], y[k : k + batchSize], theta)
            # 取batch数量个数据
            k += batchSize 
            #大于总数据
            if k >= n:
                k = 0
                # 重新洗牌
                X, y = shuffleData(data)
                # 参数更新
                theta = theta - alpha * grad
                # 计算新的损失
                costs.append(cost(X, y, theta))
                i += 1
                
                if stopType == STOP_ITER:   value = i
                elif stopType == STOP_COST: value = costs
                elif stopType == STOP_GRAD:  value = grad
                if stopCriterion(stopType, value,thresh): break
        return theta, i-1, costs, grad, time.time() - init_time

def runExpe(data, theta, batchSize, stopType, thresh, alpha):
    #     总数据
        n = 100
        #import pdb; pdb.set_trace();
        theta, iter, costs, grad, dur = descent(data, theta, batchSize, stopType, thresh, alpha)
        name = "Original" if (data[:,1]>2).sum() > 1 else "Scaled"
        name += " data - learning rate: {} - ".format(alpha)
        if batchSize == n: strDescType = "Gradient"
        elif batchSize==1:  strDescType = "Stochastic"
        else: strDescType = "Mini-batch ({})".format(batchSize)
        name += strDescType + " descent - Stop: "
        if stopType == STOP_ITER: strStop = "{} iterations".format(thresh)
        elif stopType == STOP_COST: strStop = "costs change < {}".format(thresh)
        else: strStop = "gradient norm < {}".format(thresh)
        name += strStop
        print ("***{}\nTheta: {} - Iter: {} - Last cost: {:03.2f} - Duration: {:03.2f}s".format(
            name, theta, iter, costs[-1], dur))
        fig, ax = plt.subplots(figsize=(12,4))
        ax.plot(np.arange(len(costs)), costs, 'r')
        ax.set_xlabel('Iterations')
        ax.set_ylabel('Cost')
        ax.set_title(name.upper() + ' - Error vs. Iteration')
        return theta

# 不同的停止策略
    # 设定迭代次数
    #选择的梯度下降方法是基于所有样本的
    n=100 # 数据总共100行
    runExpe(orig_data, theta, n, STOP_ITER, thresh=5000, alpha=0.000001)

![70 27][]

# 根据损失值停止  按照损失函数的精度
    # 设定阈值 1E-6, 差不多需要110 000次迭代
    runExpe(orig_data, theta, n, STOP_COST, thresh=0.000001, alpha=0.001)

![70 28][]

# 根据梯度变化停止
    # 设定阈值 0.05,差不多需要40 000次迭代
    runExpe(orig_data, theta, n, STOP_GRAD, thresh=0.05, alpha=0.001)

![70 29][]

# 对比不同的梯度下降方法
    # Stochastic descent
    # 随机梯度下降（每次找一个样本，迭代速度快 但不一定每次朝着收敛的方向）
    runExpe(orig_data, theta, 1, STOP_ITER, thresh=5000, alpha=0.001)

![70 30][]

# 有点爆炸。。。很不稳定,再来试试把学习率调小一些
    # 速度快，但稳定性差，需要很小的学习率
    runExpe(orig_data, theta, 1, STOP_ITER, thresh=15000, alpha=0.000002)

![70 31][]

# Mini-batch descent
    # 批量梯度下降
    runExpe(orig_data, theta, 64, STOP_ITER, thresh=15000, alpha=0.001)

![70 32][]

# 浮动仍然比较大，我们来尝试下对数据进行标准化 将数据按其属性(按列进行)减去其均值，然后除以其方差。最后得到的结果是，对每个属性/每列来说所有数据都聚集在0附近，方差值为1
    from sklearn import preprocessing as pp
    import numpy as np
    from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures
    # 对数据进行标准化 将数据按其属性(按列进行)减去其均值，然后除以其方差
    scaled_data = orig_data.copy()
    
    # 将每一列特征标准化为标准正太分布，注意，标准化是针对每一列而言的
    scaled_data[:,1:3] = pp.scale(orig_data[:,1:3])
    
    scaled_data[:,1:3]

![70 33][]

runExpe(scaled_data, theta, n, STOP_ITER, thresh = 5000, alpha = 0.001)

# 它好多了！原始数据，只能达到达到0.61，而我们得到了0.38个在这里！ 所以对数据做预处理是非常重要的
    # 更多的迭代次数会使得损失下降的更多！
    runExpe(scaled_data, theta, n, STOP_GRAD, thresh=0.02, alpha=0.001)

![70 34][]

# 随机梯度下降更快，但是我们需要迭代的次数也需要更多，所以还是用batch的比较合适！！！
    theta = runExpe(scaled_data, theta, 1, STOP_GRAD, thresh=0.002/5, alpha=0.001)

![70 35][]

theta = runExpe(scaled_data, theta, 16, STOP_GRAD, thresh=0.002*2, alpha=0.001)

![70 36][]

# 精度
    #设定阈值0.5  大于0.5能录取 小于0.5pass
    def predict(X,theta):
        return [1 if x >= 0.5 else 0 for x in model(X, theta)]
    
    scaled_X = scaled_data[:,:3]
    y = scaled_data[:,3]
    predictions = predict(scaled_X, theta)
    correct = [1 if ((a == 1 and b == 1) or (a == 0 and b == 0)) else  0 for (a, b) in zip(predictions, y)]
    accuracy = (sum(map(int, correct)) % len(correct))
    print('accuracy = {0}%'.format(accuracy))

![70 37][]

![70 38][]

![70 39][]

[log2]: https://www.baidu.com/s?wd=log2&tn=SE_PcZhidaonwhc_ngpagmjz&rsv_dl=gh_pc_zhidao
[Link 1]: https://www.baidu.com/s?wd=%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E7%A7%91%E5%AD%A6&tn=SE_PcZhidaonwhc_ngpagmjz&rsv_dl=gh_pc_zhidao
[70]: /images/20220511/a6d06e92f51c43db8c34286be936ea4a.png
[70 1]: /images/20220511/381adde7f4dd4f91a7cb9466fc2d51f1.png
[70 2]: /images/20220511/cc6166a1aa7f43b4b5b018fd760e2ce9.png
[matplotlib]: https://www.cnblogs.com/weimusan/p/7589037.html
[as_matrix]: https://www.cnblogs.com/ggzhangxiaochao/p/9115273.html
[70 3]: /images/20220511/73438188b78242caa277e0e9e44beccf.png
[1_2_0]: https://private.codecogs.com/gif.latex?%25u03B81%25u3001%25u03B82%25u3001%25u03B80
[h_Theta _x_ _ _theta0 _theta1 _theta2_]: https://private.codecogs.com/gif.latex?h%5CTheta%20%28x%29%20%3D%20%28%5Ctheta0%20%5Ctheta1%20%5Ctheta2%29%20*
[bigl_begin_smallmatrix_ 1_ x1_ x2 _end_smallmatrix_bigr]: https://private.codecogs.com/gif.latex?%5Cbigl%28%5Cbegin%7Bsmallmatrix%7D%201%5C%5C%20x1%5C%5C%20x2%20%5Cend%7Bsmallmatrix%7D%5Cbigr%29
[0_1x1_2x2]: https://private.codecogs.com/gif.latex?%25u03B80&plus;%25u03B81x1&plus;%25u03B82x2
[70 4]: /images/20220511/188d0170c70d4a9f9289edd2e7b6228b.png
[70 5]: /images/20220511/c55493301eea4bf79d8e12d860a523f3.png
[70 6]: /images/20220511/28e2d10b209c4ab39f4c819751d3a921.png
[70 7]: /images/20220511/b0b57bf747d2483e9c5ac66c60c3a1b5.png
[70 8]: /images/20220511/9da9af67be5844faaebd2f154b204ea5.png
[70 9]: /images/20220511/4fa19779ec9c4f31a7a852357e1ef980.png
[70 10]: /images/20220511/d8cba643cd5e4ecf93568f67caecb7a1.png
[70 11]: /images/20220511/1330f00e1e7240c88d4890c3086c98ba.png
[70 12]: /images/20220511/934db49be676443fafbfab81c54a6c5f.png
[70 13]: /images/20220511/ba4bfe09bf1b4a5da122d0d5e4ccb774.png
[70 14]: /images/20220511/d490f48f0d254fe6be80a9ee1b343908.png
[70 15]: /images/20220511/65f139455f4e4485995dca3a10d7baea.png
[70 16]: /images/20220511/4ca677171d544a538f848692035f4abb.png
[70 17]: /images/20220511/170cb3853b7c4d71b26e757836ade290.png
[70 18]: /images/20220511/50b2d5c5a6ad4705a53d205bbf754b7a.png
[70 19]: /images/20220511/22c19013bd554f429cced4e0d0a953db.png
[70 20]: /images/20220511/9aca76f9425546fa8cbf3dc20266037e.png
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[70 22]: /images/20220511/0eae257abd9e47b0b07ae9c81a43c9eb.png
[70 23]: /images/20220511/dbbae4a3c7c245de91786bdbaf9834cb.png
[70 24]: /images/20220511/ee48b9eaa9124c1ba1f8c70a5587aca9.png
[70 25]: /images/20220511/75b4e4508e0c410f8624d3e91f80fa80.png
[70 26]: /images/20220511/a8a1132ef55043bbac058c6bd08e4134.png
[70 27]: /images/20220511/4cff004eba8b4f8686c60c8e0d464c9d.png
[70 28]: /images/20220511/30dff61b4cfd45ed86169f056da97354.png
[70 29]: /images/20220511/515499f6de114995bc98e9916d86317b.png
[70 30]: /images/20220511/f75558698d18441f8df1b01b3bdba32a.png
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[70 33]: /images/20220511/8909959306b34f6fb47c2948108ba367.png
[70 34]: /images/20220511/6eb035b608194493b238b95e7dbee475.png
[70 35]: /images/20220511/b727461cf8074be2ab99a19b33e35b75.png
[70 36]: /images/20220511/d947089cc0194ee0a593ad96cb175867.png
[70 37]: /images/20220511/b204386bc52f4df9909a9aa044bd0588.png
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