MIT 线性代数导论第二十一讲：特征值与特征向量

素颜马尾好姑娘i 2022-05-11 12:42 222阅读 0赞

敲黑板，敲黑板 。特征向量与特征值在很多地方都有应用，这一将开始讲这一部分的内容，也是线性代数里面很重要的一部分知识了。

这一讲的主要内容：

*  特征值、特征向量的概念
 *  特征值与特征向量的计算方法

### 特征向量、特征值的概念 ###

对于矩阵  A A A 和向量  x x x ， 有线性变换：  A x Ax Ax, 如果有  λ \\lambda λ 使得  A x = λ x Ax = \\lambda x Ax=λx成立，则  λ \\lambda λ 是矩阵的特征值， 向量  x x x 称为矩阵  A A A 对应于  λ \\lambda λ的特征向量，如果直观的理解就是 通过  A A A 对向量  x x x 的变换 与  x x x 平行，也就是  A x Ax Ax 平行于  x x x。  
例子：  
如果矩阵  A A A 是一个置换矩阵  ( 0 1 1 0 ) \\begin\{pmatrix\} 0 &1 \\\\ 1 & 0 \\end\{pmatrix\} (0110) ，也就是求解下式：  
 ( 0 1 1 0 ) ( x 1 x 2 ) = λ ( x 1 x 2 ) \\begin\{pmatrix\} 0 &1 \\\\ 1 & 0 \\end\{pmatrix\} \\begin\{pmatrix\} x\_\{1\}\\\\ x\_\{2\} \\end\{pmatrix\}=\\lambda \\begin\{pmatrix\} x\_\{1\}\\\\ x\_\{2\} \\end\{pmatrix\} (0110)(x1x2)=λ(x1x2)  
可以很简单的看出两个  λ \\lambda λ 的值：

*   λ = 1 \\lambda = 1 λ=1 对应的特征向量是  x = ( 1 1 ) x = \\begin\{pmatrix\} 1\\\\ 1 \\end\{pmatrix\} x=(11)。
 *   λ = − 1 \\lambda=-1 λ=−1 对应的特征向量是  ( − 1 1 ) \\begin\{pmatrix\} -1\\\\ 1 \\end\{pmatrix\} (−11)。

这里的例子主要是对上面的概念有一个了解

### 如何计算特征向量和特征值 ###

也就是如何解  A x = λ x Ax = \\lambda x Ax=λx，移项之后可得：  
 ( A − λ I ) x = 0 (A-\\lambda I) x= 0 (A−λI)x=0

观察上面的式子，根据之前的齐次方程组的解的特征，我们可以得知，上式有非零解的条件就是  A − λ I A-\\lambda I A−λI 是奇异矩阵，也就是它的行列式的值等于零。

举例来说看这个计算过程，假定矩阵  A = ( 3 1 1 3 ) A = \\begin\{pmatrix\} 3 & 1\\\\ 1 & 3 \\end\{pmatrix\} A=(3113)。也就是：  
 d e t ( A − λ I ) = ∣ 3 − λ 1 1 3 − λ ∣ = 0 det\\enspace (A-\\lambda I) = \\begin\{vmatrix\} 3-\\lambda & 1 \\\\ 1 & 3-\\lambda \\\\ \\end\{vmatrix\}= 0 det(A−λI)=∣∣∣∣3−λ113−λ∣∣∣∣=0  
计算可得两个  λ \\lambda λ 值分别是 2， 4.计算特征向量，可得：

*   λ = 2 \\lambda =2 λ=2特征向量是  ( − 1 1 ) \\begin\{pmatrix\} -1\\\\ 1 \\end\{pmatrix\} (−11)
 *   λ = 4 \\lambda = 4 λ=4 特征向量是  ( 1 1 ) \\begin\{pmatrix\} 1\\\\ 1 \\end\{pmatrix\} (11)

这里的计算过程不是重点，如果我们将这个例子跟上面的例子对比一下，其实很有特点，都是对称矩阵，并且区别仅仅是对角线上的元素同时加了3，这个改变使得特征值也同时增加了3， 么有改变特征向量。证明过程如下：  
对于之前，有：  A x = λ x Ax = \\lambda x Ax=λx成立。  
对角线元素同时增加一个数，以3为例：也就是  ( A + 3 I ) x (A+3I)x (A\+3I)x, 化简的：  A x + 3 x Ax + 3x Ax\+3x 这里使用  λ x \\lambda x λx替换，得到：  ( λ + 3 ) x (\\lambda + 3)x (λ\+3)x 而这个形式也就是求特征向量的形式，只不过表示特征值由  λ \\lambda λ 变成了  λ + 3 \\lambda + 3 λ\+3.

同时，我们可以通过类似的方式得到两个结论：  
对于矩阵  A A A 的特征值分别是  λ 1 、 λ 2 、 λ 3 . . . λ n \\lambda\_\{1\}、\\lambda\_\{2\}、\\lambda\_\{3\}...\\lambda\_\{n\} λ1、λ2、λ3...λn，对角巷元素分别表示为：  a 11 、 a 22 . . . a n n a\_\{11\}、a\_\{22\}...a\_\{nn\} a11、a22...ann 可以得到：

*   λ 1 + λ 2 + . . . + λ n = a 11 + a 22 + . . . + a n n \\lambda\_\{1\} + \\lambda\_\{2\}+...+\\lambda\_\{n\} = a\_\{11\} + a\_\{22\} +...+a\_\{nn\} λ1\+λ2\+...\+λn=a11\+a22\+...\+ann
 *   d e t A = λ 1 λ 2 . . λ n det \\enspace A = \\lambda\_\{1\} \\lambda\_\{2\}..\\lambda\_\{n\} detA=λ1λ2..λn

更具体的内容在下一讲中。

以上~