ACM 进阶学习第一课----同余相关之中国剩余定理

爱被打了一巴掌 2022-05-13 00:04 136阅读 0赞

# 问题引入 #

"物不知数"问题：

今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何?

答曰:'二十三.'

术曰:三三数之剩二,置一百四十,五五数之剩三,置六十三,七七数之剩二,置三十,并之,得二百三十三,以二百一十减之,即得.凡三三数之剩一,则置七十,五五数之剩一,则置二十一,七七数之剩一,则置十五,即得."

\--孙子算经

# 当代解释 #

令任意固定整数为M，当M/A余a，M/B余b，M/C余c，M/D余d，…，M/Z余z时，这里的A，B，C，D，…，Z为除数，除数为任意自然数（如果为0，没有任何意义，如果为1，在孙子定理中没有计算和探讨的价值，所以，不包括0和1）时；余数a，b，c，d，z为自然整数时。  
**1、**当命题正确时，在这些除数的最小公倍数内有解，有唯一的解，每一个最小公倍数内都有唯一的解；当命题错误时，在整个自然数范围内都无解。  
**2、**当M在两个或两个以上的除数的最小公倍数内时，这两个或两个以上的除数和余数可以定位M在最小公倍数内的具体位置，也就是M的大小。  
**3、**正确的命题，指没有矛盾的命题：分别除以A，B，C，D，…，Z不同的余数组合个数=A，B，C，D，…，Z的最小公倍数=不同的余数组合的循环周期．

# 问题分析 #

一、

"物不知数"问题的抽象表示:  
**x≡2(mod 3)  
x≡3(mod 5)  
x≡2(mod 7)**  
求满足上述条件的最小正整数x

二、

"物不知数"解法的数学表示:  
任取被3除余2的5和7的倍数:140  
任取被5除余3的7和3的倍数:63  
任取被7除余2的3和5的倍数:30  
140+63+30=233  
减去3,5,7的公倍数中不超过233的最大的数210得到答案**23**

三、问题归化

一般性问题:**给定两两互质的正整数n1,n2,...,nk,要求找到最小的正整数a,满足a≡ai(mod ni)**  
**将问题分解成若干次求解二元模线性方程组的解**

## 算法步骤 ##

令n=n1n2···nk，mi=n/ni  
利用扩展欧几里德算法计算出xi满足mixi ≡ 1(mod ni),由于n1,n2,...,nk两两互质,必有gcd(mi,ni)=1,即可保证一定有解  
则a≡a1x1m1 + a2x2m2 + ... + akxkmk (mod n)

## 典型应用 ##

大整数的表示  
选取两两互素的正整数n1,n2,...,nk  
已知对每个ni取模的值ri,就可以唯一确定一个1~n1n2...nk的大整数  
做大整数加,减,乘法时,只要保证在这个范围内,均可转化为分别对相应的余数进行计算

# 模板代码 #

/*****  ACM之中国剩余定理 ********/
    
    /******** written by C_Shit_Hu ************/
    
    扩展欧几里得算法的运用///
    
    /****************************************************************************/
    /* 
    由于VC下面无法使用cout或者cin输出64位的整数。
    故改用printf.
    */
    /****************************************************************************/
    
    #include<iostream>
    using namespace std;
    typedef _int64 llong;
    llong b[1000],w[1000];
    
    
    // 扩展欧几里得算法
    // 递归的形式
    llong extended_euclid(llong a, llong b, llong &x, llong  &y) 
    {
        llong d;
        if(b == 0) 
    	{x = 1; y = 0; return a;}
    	
        d = extended_euclid(b, a % b, y, x);
        y -= a / b * x;
        return d;
    }
    
    // 中国剩余定理
    llong chinese_remainder(int len) 
    { 
        llong i, d, x, y, m, n, ret;
        ret = 0; n = 1; 
        for(i=0; i < len ;i++) n *= w[i];
        for(i=0; i < len ;i++) 
    	{ 
            m = n / w[i];
            d = extended_euclid(w[i], m, x, y);
            ret = (ret + y*m*b[i]) % n;
        }
        return (n + ret%n) % n;
    }
    
    int main()
    {
        int  n,i;
        llong res;
    	// 输入测试的除数和余数的组数
    	cout << "输入测试的除数和余数的组数: " ;
        while (scanf("%d",&n)!=EOF)
        {
    		// 输入除数和余数
    		cout << "输入除数和余数:" << endl;
            for(i=0;i<n;i++)  scanf("%I64d%I64d",&b[i],&w[i]);
            res=chinese_remainder(n);
    		cout << "结果为：" ;
            printf("%I64d\n",res);
        }
        return 0;
    }

运行结果：

![SouthEast][]

【未完待续】。。。。

[SouthEast]: /images/20220513/b795102ab7204971a13136f9267d1f5d.png