数据结构——平衡树之AVL树(自平衡维护)

桃扇骨 2022-05-15 14:16 190阅读 0赞

## 一、什么是AVL树及AVL树解决了什么问题？ ##

二分搜索树的不足：如果我们以此添加1、2、3、4、5元素构建一个二分搜索树，那么最终会退化成一个链表。

**AVL是最早的可以自平衡的二分搜索树结构**，平衡二叉树即：对于任意一个节点，左子树和右子树的高度差不能超过1。

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2l0Y2F0c19jbg_size_16_color_FFFFFF_t_70][]                    平衡二叉树的高度和节点数量之间的关系也是O(logn)

将二分搜索树变为平衡二叉树：在二分搜索树的基础上添加   ①标注节点的高度             ②计算平衡因子【左子树高度-右子树高度】 **一个树中只要有一处平衡因子的值 >= 2或 <= -2则该树不是平衡二叉树**。

获得节点高度的方法： node.height = 1 + Math.max(getHeight(node.left),getHeight(node.right));

计算平衡因子的方法：getHeight(node.left) - getHeight(node.right);

AVL树是从二分搜索树升级过来的。所以它满足二分搜索树的基本特征【左子树所有节点都小于其根节点，右子树所有节点都大于其根节点】，AVL树是对于二分搜索树退化成链表的一种解决方案。

## 二、AVL树如何实现自平衡 ##

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2l0Y2F0c19jbg_size_16_color_FFFFFF_t_70 1][]

加入节点后，打破了平衡性，导致新增节点的祖辈节点深度/平衡因子可能发生变化，于是可以沿着节点向上维护平衡性，由于我们可以使用递归实现，所以沿着节点向上维护平衡性也是一件很简单的事情。

### 1、自平衡维护——LL**右旋转** ###

情况① **插入元素在最终形成不平衡节点的左侧的左侧(LL)——右旋转**

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2l0Y2F0c19jbg_size_16_color_FFFFFF_t_70 2][]

在插入节点2之前，该树为一棵平衡二叉树，且满足二分搜索树性质，在插入节点2后发现，节点8的平衡因子变为了2，打破了平衡树的基本条件，同理我们在0、1、2顺序插入构建二叉树的同时也会造成树退化成链表，导致左图中节点12平衡因子变为了2。

**因为插入元素在最终形成不平衡节点的左侧的左侧，此时我们就可以进行不平衡的维护了。**

右旋转之前：

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2l0Y2F0c19jbg_size_16_color_FFFFFF_t_70 3][]

右旋转之后：

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2l0Y2F0c19jbg_size_16_color_FFFFFF_t_70 4][]

//add方法中,在计算完不平衡因子后
      if(balanceFacotor > 1 && getBalanceFactor(node.left) >= 0 )
          //右旋转
          return rightRotate(node);

//右旋转
        // 对节点y进行向右旋转操作，返回旋转后新的根节点x
        //        y                              x
        //       / \                           /   \
        //      x   T4     向右旋转 (y)        z     y
        //     / \       - - - - - - - ->    / \   / \
        //    z   T3                       T1  T2 T3 T4
        //   / \
        // T1   T2
        private Node rightRotate(Node y) {
            Node x = y.left;
            Node T3 = x.right;
            //右旋转
            x.right = y;
            y.left = T3;
            //更新height    T1,T2,T3,T4在更新后仍然为叶子节点,height无需变化,先变化y后变化x
            y.height = Math.max(getHeight(y.left),getHeight(y.right)) + 1;
            x.height = Math.max(getHeight(x.left),getHeight(x.right)) + 1;
            return x;
        }

### 2、自平衡维护——RR左**旋转** ###

情况②**插入元素在最终形成不平衡节点的右侧的右侧(RR)——左旋转**

旋转之前：

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2l0Y2F0c19jbg_size_16_color_FFFFFF_t_70 5][]

旋转之后：

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2l0Y2F0c19jbg_size_16_color_FFFFFF_t_70 6][]

//在add方法中,计算出平衡因子之后
        if(balanceFacotor < -1 && getBalanceFactor((node.right)) <= 0)
                //左旋转
            return leftRotate(node);

//左旋转
        // 对节点y进行向左旋转操作，返回旋转后新的根节点x
        //    y                             x
        //  /  \                          /   \
        // T1   x      向左旋转 (y)       y     z
        //     / \   - - - - - - - ->   / \   / \
        //   T2  z                     T1 T2 T3 T4
        //      / \
        //     T3 T4
        private Node leftRotate(Node y) {
            Node x = y.right;
            Node T2 = x.left;
            x.left = y ;
            y.right = T2;
            //更新height
            y.height = Math.max(getHeight(y.left),getHeight(y.right)) + 1;
            x.height = Math.max(getHeight(x.left),getHeight(x.right)) + 1;
            return x;
        }

### 3、自平衡维护——LR ###

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2l0Y2F0c19jbg_size_16_color_FFFFFF_t_70 7][]

如左图所示，如果只进行简单的右旋转的话，那么8会作为根节点，而8<10且8<12，不能作为根节点，不能通过简单右旋转维护自平衡，又如右图，在新增节点4后，产生了LR的情况。如果简单地进行右旋转同样也是不行的【根节点5小于3和8】。

自平衡之前：                                                                                                         自平衡后：

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2l0Y2F0c19jbg_size_16_color_FFFFFF_t_70 8][]    ![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2l0Y2F0c19jbg_size_16_color_FFFFFF_t_70 9][]

在新插入节点之后，对于新插入的节点将会向上寻找找到第一个不平衡节点，不平衡产生于新插入的节点在不平衡节点左孩子的右侧，所以叫LR。处理思路：**①首先对x\[不平衡节点左孩子\]进行左旋转，②转化为LL，③后对y节点右旋转维护自平衡**。

//LR
        if(balanceFacotor > 1 && getBalanceFactor(node.left) < 0){
            node.left = leftRotate(node.left);
            return rightRotate(node);
        }

### 4、自平衡维护——RL ###

自平衡之前：

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2l0Y2F0c19jbg_size_16_color_FFFFFF_t_70 10][]![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2l0Y2F0c19jbg_size_16_color_FFFFFF_t_70 11][]

在新插入节点之后，对于新插入的节点将会向上寻找找到第一个不平衡节点，不平衡产生于新插入的节点在不平衡节点右孩子的左侧，所以叫RL。处理思路：**①首先对x\[不平衡节点右孩子\]进行右旋转，②转化为RR，③后对y节点左旋转维护自平衡**。

//RL
        if(balanceFacotor < -1 && getBalanceFactor(node.right) > 0){
             node.right = rightRotate(node.right);
             return leftRotate(node);
        }

## 三、AVL树删除元素如何实现自平衡 ##

// 从二分搜索树中删除键为key的节点
        public V remove(K key) {
    
            Node node = getNode(root, key);
            if (node != null) {
                root = remove(root, key);
                return node.value;
            }
            return null;
        }
    
        private Node remove(Node node, K key) {
    
            if (node == null)
                return null;
    
            Node retNode;
            if (key.compareTo(node.key) < 0) {
                node.left = remove(node.left, key);
                retNode = node;
            } else if (key.compareTo(node.key) > 0) {
                node.right = remove(node.right, key);
                retNode = node;
            } else {   // key.compareTo(node.key) == 0
    
                // 待删除节点左子树为空的情况
                if (node.left == null) {
                    Node rightNode = node.right;
                    node.right = null;
                    size--;
                    retNode = rightNode;
                }
    
                // 待删除节点右子树为空的情况
                else if (node.right == null) {
                    Node leftNode = node.left;
                    node.left = null;
                    size--;
                    retNode = leftNode;
                } else {
                    // 待删除节点左右子树均不为空的情况
                    // 找到比待删除节点大的最小节点, 即待删除节点右子树的最小节点
                    // 用这个节点顶替待删除节点的位置
                    Node successor = minimum(node.right);
                    successor.right = remove(node.right, successor.key);
                    successor.left = node.left;
    
                    node.left = node.right = null;
    
                    retNode = successor;
                }
            }
            
            if(retNode == null)
                return null;
            
            //更新height
            retNode.height = 1 + Math.max(getHeight(retNode.left), getHeight(retNode.right));
    
            //计算平衡因子
            int balanceFacotor = getBalanceFactor(retNode);
    
            //LL
            if (balanceFacotor > 1 && getBalanceFactor(retNode.left) >= 0)
                //右旋转
                return rightRotate(retNode);
            //RR
            if (balanceFacotor < -1 && getBalanceFactor((retNode.right)) <= 0)
                //左旋转
                return leftRotate(retNode);
            //LR
            if (balanceFacotor > 1 && getBalanceFactor(retNode.left) < 0) {
                retNode.left = leftRotate(retNode.left);
                return rightRotate(retNode);
            }
            //RL
            if (balanceFacotor < -1 && getBalanceFactor(retNode.right) > 0) {
                retNode.right = rightRotate(retNode.right);
                return leftRotate(retNode);
            }
            return retNode;
        }

## 四、AVL树代码汇总 ##

package cn.itcats.avltree;
    
    import java.util.ArrayList;
    
    public class AVLTree<K extends Comparable<K>, V> {
        private class Node {
            public K key;
            public V value;
            public Node left, right;
            public int height;
    
            public Node(K key, V value) {
                this.key = key;
                this.value = value;
                left = null;
                right = null;
                height = 1;
            }
        }
    
        private Node root;
        private int size;
    
        public AVLTree() {
            root = null;
            size = 0;
        }
    
        private int getHeight(Node node) {
            if (node == null)
                return 0;
            return node.height;
        }
    
        //获得节点node的平衡因子
        private int getBalanceFactor(Node node) {
            if (node == null)
                return 0;
            return getHeight(node.left) - getHeight(node.right);
        }
    
        //判断当前树是否为一个二分搜索树
        public boolean isBST() {
            ArrayList<K> keys = new ArrayList<>();
            inOrder(root, keys);
            for (int i = 1; i < keys.size(); i++)
                if (keys.get(i - 1).compareTo(keys.get(i)) > 0)
                    return false;
            return true;
        }
    
        //判断当前树是否为一个平衡二叉树
        public boolean isBalance() {
            return isBalance(root);
        }
    
        //判断以Node为根节点的二叉树是否为一个平衡二叉树,使用递归算法
        private boolean isBalance(Node node) {
            if (node == null)
                return true;
            int balanceFactor = getBalanceFactor(node);
            if (Math.abs(balanceFactor) > 1)
                return false;
            return isBalance(node.left) && isBalance(node.right);
        }
    
        private void inOrder(Node node, ArrayList<K> keys) {
            if (node == null)
                return;
            inOrder(node.left, keys);
            keys.add(node.key);
            inOrder(node.right, keys);
        }
    
        public int getSize() {
            return size;
        }
    
        public boolean isEmpty() {
            return size == 0;
        }
    
        // 向二分搜索树中添加新的元素(key, value)
        public void add(K key, V value) {
            root = add(root, key, value);
        }
    
        // 向以node为根的二分搜索树中插入元素(key, value)，递归算法
        // 返回插入新节点后二分搜索树的根
        private Node add(Node node, K key, V value) {
            if (node == null) {
                size++;
                return new Node(key, value);
            }
            if (key.compareTo(node.key) < 0)
                node.left = add(node.left, key, value);
            else if (key.compareTo(node.key) > 0)
                node.right = add(node.right, key, value);
            else // key.compareTo(node.key) == 0
                node.value = value;
    
            //更新height
            node.height = 1 + Math.max(getHeight(node.left), getHeight(node.right));
    
            //计算平衡因子
            int balanceFacotor = getBalanceFactor(node);
    
            //LL
            if (balanceFacotor > 1 && getBalanceFactor(node.left) >= 0)
                //右旋转
                return rightRotate(node);
            //RR
            if (balanceFacotor < -1 && getBalanceFactor((node.right)) <= 0)
                //左旋转
                return leftRotate(node);
            //LR
            if (balanceFacotor > 1 && getBalanceFactor(node.left) < 0) {
                node.left = leftRotate(node.left);
                return rightRotate(node);
            }
            //RL
            if (balanceFacotor < -1 && getBalanceFactor(node.right) > 0) {
                node.right = rightRotate(node.right);
                return leftRotate(node);
            }
    
            if (Math.abs(balanceFacotor) > 1)
                System.out.println("unbalance: " + balanceFacotor);
            return node;
    
        }
    
        //右旋转
        // 对节点y进行向右旋转操作，返回旋转后新的根节点x
        //        y                              x
        //       / \                           /   \
        //      x   T4     向右旋转 (y)        z     y
        //     / \       - - - - - - - ->    / \   / \
        //    z   T3                       T1  T2 T3 T4
        //   / \
        // T1   T2
        private Node rightRotate(Node y) {
            Node x = y.left;
            Node T3 = x.right;
            //右旋转
            x.right = y;
            y.left = T3;
            //更新height
            y.height = Math.max(getHeight(y.left), getHeight(y.right)) + 1;
            x.height = Math.max(getHeight(x.left), getHeight(x.right)) + 1;
            return x;
        }
    
        //左旋转
        // 对节点y进行向左旋转操作，返回旋转后新的根节点x
        //    y                             x
        //  /  \                          /   \
        // T1   x      向左旋转 (y)       y     z
        //     / \   - - - - - - - ->   / \   / \
        //   T2  z                     T1 T2 T3 T4
        //      / \
        //     T3 T4
        private Node leftRotate(Node y) {
            Node x = y.right;
            Node T2 = x.left;
            x.left = y;
            y.right = T2;
            //更新height
            y.height = Math.max(getHeight(y.left), getHeight(y.right)) + 1;
            x.height = Math.max(getHeight(x.left), getHeight(x.right)) + 1;
            return x;
        }
    
        // 返回以node为根节点的二分搜索树中，key所在的节点
        private Node getNode(Node node, K key) {
            if (node == null)
                return null;
    
            if (key.equals(node.key))
                return node;
            else if (key.compareTo(node.key) < 0)
                return getNode(node.left, key);
            else // if(key.compareTo(node.key) > 0)
                return getNode(node.right, key);
        }
    
        public boolean contains(K key) {
            return getNode(root, key) != null;
        }
    
        public V get(K key) {
            Node node = getNode(root, key);
            return node == null ? null : node.value;
        }
    
        public void set(K key, V newValue) {
            Node node = getNode(root, key);
            if (node == null)
                throw new IllegalArgumentException(key + " doesn't exist!");
    
            node.value = newValue;
        }
    
        // 返回以node为根的二分搜索树的最小值所在的节点
        private Node minimum(Node node) {
            if (node.left == null)
                return node;
            return minimum(node.left);
        }
    
        // 删除掉以node为根的二分搜索树中的最小节点
        // 返回删除节点后新的二分搜索树的根
        private Node removeMin(Node node) {
    
            if (node.left == null) {
                Node rightNode = node.right;
                node.right = null;
                size--;
                return rightNode;
            }
    
            node.left = removeMin(node.left);
            return node;
        }
    
        // 从二分搜索树中删除键为key的节点
        public V remove(K key) {
    
            Node node = getNode(root, key);
            if (node != null) {
                root = remove(root, key);
                return node.value;
            }
            return null;
        }
    
        private Node remove(Node node, K key) {
    
            if (node == null)
                return null;
    
            Node retNode;
            if (key.compareTo(node.key) < 0) {
                node.left = remove(node.left, key);
                retNode = node;
            } else if (key.compareTo(node.key) > 0) {
                node.right = remove(node.right, key);
                retNode = node;
            } else {   // key.compareTo(node.key) == 0
    
                // 待删除节点左子树为空的情况
                if (node.left == null) {
                    Node rightNode = node.right;
                    node.right = null;
                    size--;
                    retNode = rightNode;
                }
    
                // 待删除节点右子树为空的情况
                else if (node.right == null) {
                    Node leftNode = node.left;
                    node.left = null;
                    size--;
                    retNode = leftNode;
                } else {
                    // 待删除节点左右子树均不为空的情况
                    // 找到比待删除节点大的最小节点, 即待删除节点右子树的最小节点
                    // 用这个节点顶替待删除节点的位置
                    Node successor = minimum(node.right);
                    successor.right = remove(node.right, successor.key);
                    successor.left = node.left;
    
                    node.left = node.right = null;
    
                    retNode = successor;
                }
            }
    
            if(retNode == null)
                return null;
    
            //更新height
            retNode.height = 1 + Math.max(getHeight(retNode.left), getHeight(retNode.right));
    
            //计算平衡因子
            int balanceFacotor = getBalanceFactor(retNode);
    
            //LL
            if (balanceFacotor > 1 && getBalanceFactor(retNode.left) >= 0)
                //右旋转
                return rightRotate(retNode);
            //RR
            if (balanceFacotor < -1 && getBalanceFactor((retNode.right)) <= 0)
                //左旋转
                return leftRotate(retNode);
            //LR
            if (balanceFacotor > 1 && getBalanceFactor(retNode.left) < 0) {
                retNode.left = leftRotate(retNode.left);
                return rightRotate(retNode);
            }
            //RL
            if (balanceFacotor < -1 && getBalanceFactor(retNode.right) > 0) {
                retNode.right = rightRotate(retNode.right);
                return leftRotate(retNode);
            }
            return retNode;
        }
    
    }

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