HYSBZ - 4753最佳团体(01分数规划+树形dp)

迷南。 2022-05-17 01:58 121阅读 0赞

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思路：首先这是一道01分数规划，二分枚举答案

也就是![\\sum pi<=mid\*\\sum si][sum pi_mid_sum si] 成立，l=mid，提高答案， 否则 r=mid， 减小答案

然后是树形dp，有两种方法：

第一种：直接dp， dp\[i\]\[j\]为i节点必选，以i为根节点的子树选择j个的最大值

转移方程为![dp\[rt\]\[j+c\]=max(dp\[rt\]\[j+c\], dp\[rt\]\[j\]+dp\[to\]\[c\]);][dp_rt_j_c_max_dp_rt_j_c_ dp_rt_j_dp_to_c] rt根节点+其他子树选j个， 该子树选c个

第二种：先求出dfs序， 再dp；

if(dp\[i\]\[j\]+val\[i\]>dp\[i+1\]\[j+1\])  ![dp\[i+1\]\[j+1\]=dp\[i\]\[j\]+val\[i\];][dp_i_1_j_1_dp_i_j_val_i] 由该节点转移到孩子节点

if(dp\[i\]\[j\]>dp\[out\[i\]\]\[j\])  ![dp\[out\[i\]\]\[j\]=dp\[i\]\[j\];][dp_out_i_j_dp_i_j] 由该节点转移到其他子树；

#include<bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    typedef long long ll;
    const int N=2e3+600;
    const int mo=998244353;
    const double eps=1e-4;
    int n, k, si[N], pi[N], sz[N];
    double val[N];
    vector<int> G[N];
    double dp[N][N];
    
    int dcmp(double x){
        if(fabs(x)<eps)
            return 0;
        else
            return x<0?-1:1;
    }
    
    void dfs(int rt){
        dp[rt][1]=val[rt];
        sz[rt]=1;
        for(int i=0; i<G[rt].size(); i++){
            int to=G[rt][i];
            dfs(to);
    
            int up=min(k, sz[rt]);
            for(int j=up; j>=1; j--){
                for(int c=1; c<=sz[to]; c++){
                    if(j+c>k) break;
                    dp[rt][j+c]=max(dp[rt][j+c], dp[rt][j]+dp[to][c]);
                }
            }
            sz[rt]+=sz[to];
        }
    }
    
    int main(){
            scanf("%d%d", &k, &n);
    
            int f, mx=-1;
            for(int i=1; i<=n; i++){
                scanf("%d%d%d", &si[i], &pi[i], &f);
                G[f].push_back(i);
                mx=max(mx, pi[i]);
            }
            k++;
            val[0]=0.0;
            double l=0.0, r=mx*1.0;
            while(l+eps<r){
                for(int i=0; i<=n; i++)
                    for(int j=0; j<=k; j++)
                        dp[i][j]=-999999999;
    
                double mid=(l+r)/2;
                for(int i=1; i<=n; i++)
                    val[i]=1.0*pi[i]-mid*si[i];
                dfs(0);
                if(dp[0][k]>0)
                    l=mid;
                else
                    r=mid;
            }
            printf("%.3lf\n", (l+r)/2);
            return 0;
    }

#include<bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    typedef long long ll;
    const int N=2e3+600;
    const int mo=998244353;
    const double eps=1e-4;
    int n, k, si[N], pi[N], out[N], cnt, dfn[N];
    double val[N];
    vector<int> G[N];
    double dp[N][N];
    
    void dfs(int x){
        dfn[x]=cnt++;
        for(int i=0; i<G[x].size(); i++) dfs(G[x][i]);
        out[dfn[x]]=cnt;
    }
    
    void work(double mid){
        for(int i=0; i<=cnt; i++)
            for(int j=0; j<=k; j++)
                dp[i][j]=-9999999999;
        for(int i=1; i<=cnt; i++)
            val[dfn[i]]=pi[i]-mid*si[i];
        dp[0][0]=0;
        for(int i=0; i<=n; i++){
            int up=min(i+1, k);
            for(int j=0; j<=up; j++){
                if(dp[i][j]+val[i]>dp[i+1][j+1])
                    dp[i+1][j+1]=dp[i][j]+val[i];
                if(dp[i][j]>dp[out[i]][j])
                    dp[out[i]][j]=dp[i][j];
            }
        }
    }
    
    int main(){
            scanf("%d%d", &k, &n);
    
            int f, mx=-1;
            for(int i=1; i<=n; i++){
                scanf("%d%d%d", &si[i], &pi[i], &f);
                G[f].push_back(i);
                mx=max(mx, pi[i]);
            }
            dfs(0);
            k++;
            val[0]=0.0;
            double l=0.0, r=mx*1.0;
            while(l+eps<r){
                double mid=(l+r)/2;
                work(mid);
                if(dp[cnt][k]>0)
                    l=mid;
                else
                    r=mid;
            }
            printf("%.3lf\n", (l+r)/2);
            return 0;
    }

[Link 1]: https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4753
[sum pi_mid_sum si]: https://private.codecogs.com/gif.latex?%5Csum%20pi%3C%3Dmid*%5Csum%20si
[dp_rt_j_c_max_dp_rt_j_c_ dp_rt_j_dp_to_c]: https://private.codecogs.com/gif.latex?dp%5Brt%5D%5Bj&plus;c%5D%3Dmax%28dp%5Brt%5D%5Bj&plus;c%5D%2C%20dp%5Brt%5D%5Bj%5D&plus;dp%5Bto%5D%5Bc%5D%29%3B
[dp_i_1_j_1_dp_i_j_val_i]: https://private.codecogs.com/gif.latex?dp%5Bi&plus;1%5D%5Bj&plus;1%5D%3Ddp%5Bi%5D%5Bj%5D&plus;val%5Bi%5D%3B
[dp_out_i_j_dp_i_j]: https://private.codecogs.com/gif.latex?dp%5Bout%5Bi%5D%5D%5Bj%5D%3Ddp%5Bi%5D%5Bj%5D%3B