小波降噪详解

比眉伴天荒 2022-05-17 09:35 1003阅读 0赞

“小波”就是小的波形。所谓“小”是指它具有衰减性，而称之为“波”则是指它的[波动性][Link 1]，其振幅正负相间的震荡形式。

小波在整个时间范围的幅度平均值是0，具有有限的持续时间和突变的频率和振幅，可以是不规则，也可以是不对称。

**[小波变换][Link 2]是时间（空间）频率的局部化分析，它通过伸缩[平移][Link 3]运算对信号(函数)逐步进行多尺度细化，最终达到高频处时间细分，低频处频率细分，能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节。**

傅里叶变换不具有局部性，而小波变换不但具有局部性，而且尺度参数a可以改变频谱结构和窗口的形状，起到“变焦”的作用，因此小波分析可达到多分辨率分析的效果。

参考资料：  
[http://blog.csdn.net/jbb0523/article/details/42028587][http_blog.csdn.net_jbb0523_article_details_42028587]

### 小波公式 ###

对于任意实数对(a,b)，其中参数a必须为非零实数，称如下形式的函数：

![\\Psi \_\{a,b\}=\\frac\{1\}\{\\sqrt\{\\left | a \\right |\}\} \\Psi \\left ( \\frac\{x-b\}\{a\} \\right )][Psi _a_b_frac_1_sqrt_left _ a _right _ _Psi _left _ _frac_x-b_a_ _right]

为由小波母函数ψ(x)生成的依赖于参数(a,b)的连续小波函数，简称小波。小波母函数ψ(x)只有在原点的附近才会有明显偏离水平轴的波动，在远离原点的地方函数值将迅速衰减为零。所以对于任意参数(a,b)，小波函数ψa,b(x)在x=b附近存在明显的波动，远离x=b的地方迅速衰减到零（因为b是时移量，母小波是以原点为中心，时移就以b为中心了，如果有尺度变换的话再考虑进去就可以了）。

小波形状

db:  
![70][]

coif:  
![70 1][]

**多尺度一维离散小波分解**

the first step is

![70 2][]  
The length of each filter is equal to 2N. If n = length(s), the signals F and G are of length n + 2N −1 and the coefficients cA1 and cD1 are of length floor(n−12)+N.

The next step splits the approximation coefficients cA1 in two parts using the same scheme, replacing s by cA1, and producing cA2 andcD2, and so on.

The tree is known as a [filter bank][].

![70 3][]

参考资料：  
[https://en.wikipedia.org/wiki/Discrete\_wavelet\_transform][https_en.wikipedia.org_wiki_Discrete_wavelet_transform]

**小波去噪过程**

**去噪步骤**  
对原始信号进行小波分解，得到各细节分量（高频）与近似分量（低频）  
对细节分量进行阈值处理  
用处理后的各分量进行小波重构，得到去噪后的信号

**去噪过程详解**

依据MATLAB函数介绍整个去噪过程

**函数原型**

XD = wden(X,TPTR,SORH,SCAL,N,'wname')  
\[XD,CXD,LXD\] = wden(...)

**函数功能**

[wden][] is a one-dimensional de-noising function.  
[wden][] performs an automatic de-noising process of a one-dimensional signal using wavelets.  
[wden][]  returns a de-noised version XD of input signal X obtained by thresholding the wavelet coefficients.

参考资料  
[https://cn.mathworks.com/help/wavelet/ref/wden.html?searchHighlight=wden&s\_tid=doc\_srchtitle][https_cn.mathworks.com_help_wavelet_ref_wden.html_searchHighlight_wden_s_tid_doc_srchtitle]

**1. 选择合适的小波，分解尺度**

小波coif2，分解尺度N=4

**2. 选择合适的计算阈值方法  **

TPTR = 'rigrsure', adaptive threshold selection using principle of Stein's Unbiased Risk Estimate.  
1)无偏似然估计原则(rigrsure): 是一种基于Stein无偏似然估计的自适应阈值选择。对于给定的阈值T，得到它的似然估计，再讲似然T最小化，就得到了所选的阈值，这是一种软件阈值估计。  
TPTR = 'heursure', heuristic variant of the first option.  
2)启发式阈值原则(heursure): 是无偏似然估计和固定阈值估计原则的折中。如果信噪比很小，按无偏似然估计原则处理的信号噪声较大，在这种情况下，就采用固定阈值形式。  
TPTR = 'sqtwolog', threshold is sqrt(2\*log(length(X))).  
3)固定阈值原则(sqtwlolg): 固定阈值T的计算公式![T=\\sqrt\{2\\log(n)\}][T_sqrt_2_log_n]  
TPTR = 'minimaxi', minimax thresholding.  
4)极值阈值原则(minimax): 采用极大极小原理选择阈值，它产生一个最小均方误差的极值，而不是没有误差。统计学上，这种极值原理用来设计估计器。因为被消噪的信号可以看作与未知回归函数的估计器相似，这种极值估计器可在给定的函数中实现最大均方误差最小化。

参考资料  
[https://cn.mathworks.com/help/wavelet/ref/thselect.html][https_cn.mathworks.com_help_wavelet_ref_thselect.html]

**3. 阈值处理方法**

SORH ('s' or 'h') is for soft or hard thresholding

![70 4][]

![Y=X \\cdot 1\_\{(\\left | X \\right |>T)\}][Y_X _cdot 1_left _ X _right _T]

![Y=sign(X)\\cdot (\\left | X \\right |-T)\_\{+\}][Y_sign_X_cdot _left _ X _right _-T]

硬阈值方法能够保留更多尖峰特征，软阈值方法使重建信号比较光滑。

参考资料  
[https://cn.mathworks.com/help/wavelet/ref/wthresh.html][https_cn.mathworks.com_help_wavelet_ref_wthresh.html]

**4. 对细节信号做阈值处理**

SCAL defines multiplicative threshold rescaling:  
'one' for no rescaling  
'sln' for rescaling using a single estimation of level noise based on first-level coefficients  
'mln' for rescaling done using level-dependent estimation of level noise  
Wnoisest returns estimates of the detail coefficients' standard deviation for levels  
The estimator used is Median Absolute Deviation / 0.6745, well suited for zero mean Gaussian white noise in the de-noising one-dimensional model.

参考资料  
[https://cn.mathworks.com/help/wavelet/ref/wnoisest.html?searchHighlight=wnoisest&s\_tid=doc\_srchtitle][https_cn.mathworks.com_help_wavelet_ref_wnoisest.html_searchHighlight_wnoisest_s_tid_doc_srchtitle]

[Link 1]: https://baike.baidu.com/item/%E6%B3%A2%E5%8A%A8%E6%80%A7
[Link 2]: https://baike.baidu.com/item/%E5%B0%8F%E6%B3%A2%E5%8F%98%E6%8D%A2
[Link 3]: https://baike.baidu.com/item/%E5%B9%B3%E7%A7%BB
[http_blog.csdn.net_jbb0523_article_details_42028587]: http://blog.csdn.net/jbb0523/article/details/42028587
[Psi _a_b_frac_1_sqrt_left _ a _right _ _Psi _left _ _frac_x-b_a_ _right]: https://private.codecogs.com/gif.latex?%5CPsi%20_%7Ba%2Cb%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B%5Cleft%20%7C%20a%20%5Cright%20%7C%7D%7D%20%5CPsi%20%5Cleft%20%28%20%5Cfrac%7Bx-b%7D%7Ba%7D%20%5Cright%20%29
[70]: /images/20220517/fd1299247805423aa16b78371068c7a3.png
[70 1]: /images/20220517/fe897062877244b5b4442dfea08c2647.png
[70 2]: /images/20220517/e7d5ca8a7e1c46c4aec6dfd48d2799b0.png
[filter bank]: https://en.wikipedia.org/wiki/Filter_bank
[70 3]: /images/20220517/70958ae0ebc04518b9f906e1b7ebaddd.png
[https_en.wikipedia.org_wiki_Discrete_wavelet_transform]: https://en.wikipedia.org/wiki/Discrete_wavelet_transform
[wden]: https://cn.mathworks.com/help/wavelet/ref/wden.html
[https_cn.mathworks.com_help_wavelet_ref_wden.html_searchHighlight_wden_s_tid_doc_srchtitle]: https://cn.mathworks.com/help/wavelet/ref/wden.html?searchHighlight=wden&s_tid=doc_srchtitle
[T_sqrt_2_log_n]: https://private.codecogs.com/gif.latex?T%3D%5Csqrt%7B2%5Clog%28n%29%7D
[https_cn.mathworks.com_help_wavelet_ref_thselect.html]: https://cn.mathworks.com/help/wavelet/ref/thselect.html
[70 4]: /images/20220517/aa1f38cc8532417a806c84436441914b.png
[Y_X _cdot 1_left _ X _right _T]: https://private.codecogs.com/gif.latex?Y%3DX%20%5Ccdot%201_%7B%28%5Cleft%20%7C%20X%20%5Cright%20%7C%3ET%29%7D
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[https_cn.mathworks.com_help_wavelet_ref_wthresh.html]: https://cn.mathworks.com/help/wavelet/ref/wthresh.html
[https_cn.mathworks.com_help_wavelet_ref_wnoisest.html_searchHighlight_wnoisest_s_tid_doc_srchtitle]: https://cn.mathworks.com/help/wavelet/ref/wnoisest.html?searchHighlight=wnoisest&s_tid=doc_srchtitle