二分查找的时间复杂度(TODO )

曾经终败给现在 2022-05-21 20:36 182阅读 0赞

**1.二分查找的时间复杂度**  
假使总共有n个元素，那么二分后每次查找的区间大小就是n，n/2，n/4，…，n/2^k（接下来操作元素的剩余个数），其中k就是循环的次数。  
最坏的情况是K次二分之后,每个区间的大小为1,找到想要的元素  
令n/2^k=1，  
可得k=log2n,（是以2为底，n的对数），所以时间复杂度可以表示O()=O(logn).

**2.算法的时间复杂度**  
定义： 存在常数 c，使得当 N >= c 时 T(N) <= f(N)，表示为 T(n) = O(f(n)) 。

大O记号的两条性质：
    （1）对于任意常数c>0，有O(f(n))=O(c∙f(n))
    （2）对于任意常数a>b>0,有O(na+nb)=O(na)

算法的时间复杂度，用来度量算法的运行时间，记作: T(n) = O(f(n))。它表示随着 输入大小n 的增大，算法执行需要的时间的增长速度可以用 f(n) 来描述。

显然如果 T(n) = n^2，那么 T(n) = O(n^2)，T(n) = O(n^3)，T(n) = O(n^4) 都是成立的，但是因为第一个 f(n) 的增长速度与 T(n) 是最接近的，所以第一个是最好的选择，所以我们说这个算法的复杂度是 O(n^2) 。

**3. 根据算法的执行次数获得其时间复杂度:**  
那么当我们拿到算法的执行次数函数 T(n) 之后怎么得到算法的时间复杂度呢？  
**<1>:**  
我们知道常数项并不影响函数的增长速度，所以当 T(n) = c，c 为一个常数的时候，我们说这个算法的时间复杂度为 O(1)；如果 T(n) 不等于一个常数项时，直接将常数项省略。  
一般来讲,不含转向(循环,递归,调用等)必顺序执行,即是O(1);

比如
    第一个 Hello, World 的例子中 T(n) = 2，所以我们说那个函数(算法)的时间复杂度为 O(1)。
    T(n) = n + 29，此时时间复杂度为 O(n)。

高效解: O(n),O(logn)  
图一:  
![这里写图片描述][70]  
图二:  
![这里写图片描述][70 1]

**<2>**  
我们知道高次项对于函数的增长速度的影响是最大的。n^3 的增长速度是远超 n^2 的，同时 n^2 的增长速度是远超 n 的。 同时因为要求的精度不高，所以我们直接忽略低此项。

比如 T(n) = n^3 + n^2 + 29，此时时间复杂度为 O(n^3)。

图三:  
![这里写图片描述][70 2]

有效解:O(n^c):  
![这里写图片描述][70 3]

难解:O(2^n)  
![这里写图片描述][70 4]

4 .分析法则:

对于一个循环，假设循环体的时间复杂度为 O(n)，循环次数为 m，则这个  
循环的时间复杂度为 O(n×m)。

void aFunc(int n) {
        for(int i = 0; i < n; i++) {         // 循环次数为 n
            printf("Hello, World!\n");      // 循环体时间复杂度为 O(1)
        }
    }

此时时间复杂度为 O(n × 1)，即 O(n)。

对于多个循环，假设循环体的时间复杂度为 O(n)，各个循环的循环次数分别是a, b, c…，则这个循环的时间复杂度为 O(n×a×b×c…)。分析的时候应该由里向外分析这些循环。

void aFunc(int n) {
        for(int i = 0; i < n; i++) {         // 循环次数为 n
            for(int j = 0; j < n; j++) {       // 循环次数为 n
                printf("Hello, World!\n");      // 循环体时间复杂度为 O(1)
            }
        }
    }

此时时间复杂度为 O(n × n × 1)，即 O(n^2)。

对于顺序执行的语句或者算法，总的时间复杂度等于其中最大的时间复杂度。

void aFunc(int n) {
        // 第一部分时间复杂度为 O(n^2)
        for(int i = 0; i < n; i++) {
            for(int j = 0; j < n; j++) {
                printf("Hello, World!\n");
            }
        }
        // 第二部分时间复杂度为 O(n)
        for(int j = 0; j < n; j++) {
            printf("Hello, World!\n");
        }
    }

此时时间复杂度为 max(O(n^2), O(n))，即 O(n^2)。

对于条件判断语句，总的时间复杂度等于其中 时间复杂度最大的路径 的时间复杂度。

void aFunc(int n) {
        if (n >= 0) {
            // 第一条路径时间复杂度为 O(n^2)
            for(int i = 0; i < n; i++) {
                for(int j = 0; j < n; j++) {
                    printf("输入数据大于等于零\n");
                }
            }
        } else {
            // 第二条路径时间复杂度为 O(n)
            for(int j = 0; j < n; j++) {
                printf("输入数据小于零\n");
            }
        }
    }

此时时间复杂度为 max(O(n^2), O(n))，即 O(n^2)。

时间复杂度分析的基本策略是：从内向外分析，从最深层开始分析。如果遇到函数调用，要深入函数进行分析。

5.练习  
最后，我们来练习一下

一. 基础题  
求该方法的时间复杂度

void aFunc(int n) {
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = i; j < n; j++) { 
                printf("Hello World\n");
            }
        }
    }

参考答案：  
当 i = 0 时，内循环执行 n 次运算，当 i = 1 时，内循环执行 n - 1 次运算……当 i = n - 1 时，内循环执行 1 次运算。  
所以，执行次数 T(n) = n + (n - 1) + (n - 2)……+ 1 = n(n + 1) / 2 = n^2 / 2 + n / 2。  
根据上文说的 大O推导法 可以知道，此时时间复杂度为 O(n^2)。

二. 进阶题  
求该方法的时间

void aFunc(int n) {
        for (int i = 2; i < n; i++) {
            i *= 2;
            printf("%i\n", i);
        }
    }

参考答案：  
假设循环次数为 t，则循环条件满足 2^t < n。  
可以得出，执行次数t = log(2)(n)，即 T(n) = log(2)(n)，可见时间复杂度为 O(log(2)(n))，即 O(log n)。

三. 再次进阶  
求该方法的时间复杂度

long aFunc(int n) {
        if (n <= 1) {
            return 1;
        } else {
            return aFunc(n - 1) + aFunc(n - 2);
        }
    }

参考答案： **TODO** (20180619)  
显然运行次数，T(0) = T(1) = 1，同时 T(n) = T(n - 1) + T(n - 2) + 1，这里的 1 是其中的加法算一次执行。  
显然 T(n) = T(n - 1) + T(n - 2) 是一个斐波那契数列，通过归纳证明法可以证明，当 n >= 1 时 T(n) < (5/3)^n，同时当 n > 4 时 T(n) >= (3/2)^n。  
所以该方法的时间复杂度可以表示为 O((5/3)^n)，简化后为 O(2^n)。

\*\*  
递归+分治的时间复杂度: 5n/3-2?  
![这里写图片描述][70 5]

因为: T(n)<=3从上图得知;  
![这里写图片描述][70 6]

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@参考 :[https://www.jianshu.com/p/f4cca5ce055a][https_www.jianshu.com_p_f4cca5ce055a]

[70]: /images/20220522/b761595b70a448d78c529775f157f360.png
[70 1]: /images/20220522/6c704c4b75c14c0a94b09f126b25b4bd.png
[70 2]: /images/20220522/d718cd582fd34539950a2e1127f4331d.png
[70 3]: /images/20220522/0621e7614e55496493b8d59eba0ffd2e.png
[70 4]: /images/20220522/ab8ab28d74f04377a9c6dba7b6745504.png
[70 5]: /images/20220522/3b4e0e12c386473bb2b6239b059356be.png
[70 6]: /images/20220522/c53cc2ff6fe64a13943748e36579ae62.png
[https_www.jianshu.com_p_f4cca5ce055a]: https://www.jianshu.com/p/f4cca5ce055a