二叉查找树 - 删除节点详解(Java实现)

待我称王封你为后i 2022-05-24 00:27 253阅读 0赞

在浏览 [二叉查找树(三)之 Java的实现][Java] 时，发现所有操作都很容易理解，只有**删除**看的很糊涂。原文作者在方法上也没有任何注释，因此理解起来很不容易。因此本文是在这篇的基础上，对**删除**操作进行详细的讲解，所以如果你对二叉查找树还不了解，先看前面这篇博客，如果你能直接看懂那篇博客中的删除方法，也不必再看本文。

虽然我自己也完全从头实现了一遍二叉查找树，但是为了和前面这篇博客衔接的更好，这里就直接拿这篇博客的代码来说明，并且会对删除操作进行简单的调整。

完整的代码在本文最后，在测试类中还提供了一个简单的输出树结构的工具类。

## 删除节点 ##

删除节点存在 3 种情况，几乎所有类似博客都提到了这点。这 3 种情况分别如下：

1.  没有左右子节点，可以直接删除
2.  存在左节点或者右节点，删除后需要对子节点移动
3.  同时存在左右子节点，不能简单的删除，但是可以通过和**后继**节点交换后转换为前两种情况

> 实际上在 3 种情况中，还有一个特例就是删除**根节点**，后续代码会有处理。

下面，我们使用图详细来说说怎么删除。

**初始状态**如下图所示，我们可以按照 50, 30, 80, 20, 35, 34, 32, 40, 70, 75, 100 的顺序插入到树中，就会产生下图所示的树。  
![这里写图片描述][70]

下面按照这 3 种情况分别来讲。

### 1. 没有左右子节点时 ###

在我们图中，符合这个条件的有 20,32,40,75,100，随便找个 20 来演示删除该节点：  
![这里写图片描述][70 1]  
这种情况是最简单的，我们只需要删除该节点和父节点的关系即可。删除的时候需要先判断自己和父节点的关系是左侧还是右侧，判断方式很简单，如下：

//这里忽略了父节点不存在的情况，最后会巧妙的处理这种情况
    if(node.parent.left == node){
        node.parent.left = null;
    } else {
        node.parent.right = null;
    }

如果父节点的左节点是自己，就清左侧，否则就是右侧。删除后如下图所示：

![这里写图片描述][70 2]

### 2. 存在左节点或者右节点时 ###

满足这个情况的节点有 34, 70 两个节点，这里以 70 为例，如下图所示：  
![这里写图片描述][70 3]  
删除 70 的时候，需要断两个关系，然后建立父节点和子节点的关系，代码如下：

//先找到子节点，不需要管他是左是右
    BSTNode<T> child = null;
    if(node.left != null){
        child = node.left;
    } else {
        child = node.right;
    }
    //这里忽略了父节点不存在的情况，最后会巧妙的处理这种情况
    //将父节点和子节点建立关系
    if(node.parent.left == node){
        node.parent.left = child;
    } else {
        node.parent.right = child;
    }
    child.parent = node.parent;

经过上述操作后，节点状态如下图所示：  
![这里写图片描述][70 4]

### 3. 同时存在左右子节点 ###

满足**同时存在左右节点**的节点有 50,30,80,35 这 4 个节点，30 看起来更复杂，我们以 30 为例。

当二叉查找树以中序遍历时，遍历的结果是一个从小到大排列的顺序，如下图所示：  
![这里写图片描述][70 5]  
当我们删除 30 节点的时候，整个中序遍历的结果中，从 32 开始都往前移动了一位。32 是 30 的**后继节点**，就是比 30 大的节点中最小的节点。当某个节点存在右节点时，后继结点就是右节点中的最小值，由于左侧节点总比右侧节点和父节点小，所以**后继**节点一定没有左节点。从这一个特点就能看出来，后继结点有可能存在右节点，也有可能没有任何节点。后继结点还有一个特点，就是他比 30 的左节点大，比 30 所有的右节点都小，因此删除 30 的时候，可以直接将后继结点 32 的值（`key`）转移到 30 节点上，然后删除后继结点 32。由于后继结点最多只有一个子节点，因此删除**后继**节点时，就变成了 3 种情况中的前两种。图示如下：  
![这里写图片描述][70 6]  
转移节点值的代码很容易：

//获取当前节点的后继结点
    Node<T> successor = successor(node);
    //转移值
    node.key = successor.key;
    //后续变成删除 successor，就变成了前两种情况
    //在图示例子中，就是第一种没有子节点的情况
    node = successor;

看到这里应该都不难，没什么问题，接下来开始将 3 种情况合并到一起处理，先按照本文的逻辑来写。

### 整合 3 种情况的删除 ###

代码如下，详细说明看注释

private BSTNode<T> delete(BSTNode<T> node) {
        //第 3 种情况，如果同时存在左右子节点
        if (node.left != null && node.right != null){
            //获取后继结点
            BSTNode<T> successor = successor(node);
            //转移后继结点值到当前节点
            node.key = successor.key;
            //把要删除的当前节点设置为后继结点
            node = successor;
        }
        //经过前一步处理，下面只有前两种情况，只能是一个节点或者没有节点
        //不管是否有子节点，都获取子节点
        BSTNode<T> child;
        if (node.left != null)
            child = node.left;
        else
            child = node.right;
        //如果 child != null，就说明是有一个节点的情况 
        if (child != null)
            //将子节点和父节点关联上
            child.parent = node.parent;
        //如果当前节点没有父节点（后继情况到这儿时一定有父节点）
        //说明要删除的就是根节点
        if (node.parent == null)
            //根节点设置为子节点
            //按照前面逻辑，根只有一个或者没有节点，所以直接赋值 child 即可
            mRoot = child;
        else if (node == node.parent.left)//存在父节点，并且当前节点是左节点时
            //将父节点的左节点设置为 child
            node.parent.left = child;
        else//右节点时
            //将父节点的右节点设置为 child
            node.parent.right = child;
        //返回被删除的节点
        return node;
    }
    //删除指定的值
    public void delete(T key) {
        //获取要删除的节点
        BSTNode<T> node = search(mRoot, key);
        //如果存在就删除
        if (node != null)
           delete(node);
    }

在上面这段代码中，和原文相比不一样，这里对后继结点的处理更好理解。

通过前面的铺垫和这里的代码注释，删除这个操作应该能真正领会了，下面针对 [二叉查找树(三)之 Java的实现][Java] 中的删除，增加注释，代码如下：

/* * 删除结点(z)，并返回被删除的结点 * * 参数说明： * bst 二叉树 * z 删除的结点 */
    private BSTNode<T> remove(BSTree<T> bst, BSTNode<T> z) {
        //这里没起个好名字，让人看着默默奇妙，实际上 x 就是子节点 child
        BSTNode<T> x=null;
        //这里的 y 节点就是要删除的节点 delete
        BSTNode<T> y=null;
        //这个写法理解比较绕，不如反转后容易理解
        //只有一个节点或者没有节点时
        if ((z.left == null) || (z.right == null) )
            //z 就是要删除的节点
            y = z;
        else
            //当有两个子节点时，删除后继结点
            y = successor(z);
        //获取子节点，不管是左是右
        if (y.left != null)
            x = y.left;
        else
            x = y.right;
        //如果存在子节点，就关联被删节点的父节点
        if (x != null)
            x.parent = y.parent;
        //如果父节点是空，说明要删的是根节点
        if (y.parent == null)
            //设置根为 child（此时根只有一个或没有节点）
            bst.mRoot = x;
        else if (y == y.parent.left)//要删的是左节点
            y.parent.left = x;//左节点关联子节点
        else//要删的是右节点
            y.parent.right = x;//右节点关联子节点
        //如果要删的节点和一开始传入的不一样，就是后继的情况
        if (y != z)
            z.key = y.key;//后继的值传给本来要删除的节点
        //返回被删除的节点
        return y;
    }
    
    /* * 删除结点(z)，并返回被删除的结点 * * 参数说明： * tree 二叉树的根结点 * z 删除的结点 */
    public void remove(T key) {
        BSTNode<T> z, node;
    
        if ((z = search(mRoot, key)) != null)
            if ( (node = remove(this, z)) != null)
                node = null;
    }

理解前面代码后，再看上面这段代码也不难理解。所有代码中都没有处理 `node` 节点的上下级关系，因为通过其他节点已经无法引用到该 `node` 节点了，所以 `node` 能被 GC 正常回收。

## 完整代码 ##

下面包含了完整的二叉查找树代码，90% 来自于前面的那篇博客，增加了删除节点注释和上面增加的 `delete` 方法，后面还有一个测试和输出树节点的代码，最后有测试输出的结果。

### 树代码 ###

/** * Java 语言: 二叉查找树 * * @author skywang * @date 2013/11/07 */
    
    public class BSTree<T extends Comparable<T>> { 
    
        BSTNode<T> mRoot;    // 根结点
    
        public class BSTNode<T extends Comparable<T>> { 
            T key;                // 关键字(键值)
            BSTNode<T> left;    // 左孩子
            BSTNode<T> right;    // 右孩子
            BSTNode<T> parent;    // 父结点
    
            public BSTNode(T key, BSTNode<T> parent, BSTNode<T> left, BSTNode<T> right) {
                this.key = key;
                this.parent = parent;
                this.left = left;
                this.right = right;
            }
    
            public T getKey() {
                return key;
            }
    
            public String toString() {
                return "key:"+key;
            }
        }
    
        public BSTree() {
            mRoot=null;
        }
    
        /* * 前序遍历"二叉树" */
        private void preOrder(BSTNode<T> tree) {
            if(tree != null) {
                System.out.print(tree.key+" ");
                preOrder(tree.left);
                preOrder(tree.right);
            }
        }
    
        public void preOrder() {
            preOrder(mRoot);
        }
    
        /* * 中序遍历"二叉树" */
        private void inOrder(BSTNode<T> tree) {
            if(tree != null) {
                inOrder(tree.left);
                System.out.print(tree.key+" ");
                inOrder(tree.right);
            }
        }
    
        public void inOrder() {
            inOrder(mRoot);
        }
    
    
        /* * 后序遍历"二叉树" */
        private void postOrder(BSTNode<T> tree) {
            if(tree != null)
            {
                postOrder(tree.left);
                postOrder(tree.right);
                System.out.print(tree.key+" ");
            }
        }
    
        public void postOrder() {
            postOrder(mRoot);
        }
    
    
        /* * (递归实现)查找"二叉树x"中键值为key的节点 */
        private BSTNode<T> search(BSTNode<T> x, T key) {
            if (x==null)
                return x;
    
            int cmp = key.compareTo(x.key);
            if (cmp < 0)
                return search(x.left, key);
            else if (cmp > 0)
                return search(x.right, key);
            else
                return x;
        }
    
        public BSTNode<T> search(T key) {
            return search(mRoot, key);
        }
    
        /* * (非递归实现)查找"二叉树x"中键值为key的节点 */
        private BSTNode<T> iterativeSearch(BSTNode<T> x, T key) {
            while (x!=null) {
                int cmp = key.compareTo(x.key);
    
                if (cmp < 0)
                    x = x.left;
                else if (cmp > 0)
                    x = x.right;
                else
                    return x;
            }
    
            return x;
        }
    
        public BSTNode<T> iterativeSearch(T key) {
            return iterativeSearch(mRoot, key);
        }
    
        /* * 查找最小结点：返回tree为根结点的二叉树的最小结点。 */
        private BSTNode<T> minimum(BSTNode<T> tree) {
            if (tree == null)
                return null;
    
            while(tree.left != null)
                tree = tree.left;
            return tree;
        }
    
        public T minimum() {
            BSTNode<T> p = minimum(mRoot);
            if (p != null)
                return p.key;
    
            return null;
        }
    
        /* * 查找最大结点：返回tree为根结点的二叉树的最大结点。 */
        private BSTNode<T> maximum(BSTNode<T> tree) {
            if (tree == null)
                return null;
    
            while(tree.right != null)
                tree = tree.right;
            return tree;
        }
    
        public T maximum() {
            BSTNode<T> p = maximum(mRoot);
            if (p != null)
                return p.key;
    
            return null;
        }
    
        /* * 找结点(x)的后继结点。即，查找"二叉树中数据值大于该结点"的"最小结点"。 */
        public BSTNode<T> successor(BSTNode<T> x) {
            // 如果x存在右孩子，则"x的后继结点"为 "以其右孩子为根的子树的最小结点"。
            if (x.right != null)
                return minimum(x.right);
    
            // 如果x没有右孩子。则x有以下两种可能：
            // (01) x是"一个左孩子"，则"x的后继结点"为 "它的父结点"。
            // (02) x是"一个右孩子"，则查找"x的最低的父结点，并且该父结点要具有左孩子"，找到的这个"最低的父结点"就是"x的后继结点"。
            BSTNode<T> y = x.parent;
            while ((y!=null) && (x==y.right)) {
                x = y;
                y = y.parent;
            }
    
            return y;
        }
    
        /* * 找结点(x)的前驱结点。即，查找"二叉树中数据值小于该结点"的"最大结点"。 */
        public BSTNode<T> predecessor(BSTNode<T> x) {
            // 如果x存在左孩子，则"x的前驱结点"为 "以其左孩子为根的子树的最大结点"。
            if (x.left != null)
                return maximum(x.left);
    
            // 如果x没有左孩子。则x有以下两种可能：
            // (01) x是"一个右孩子"，则"x的前驱结点"为 "它的父结点"。
            // (01) x是"一个左孩子"，则查找"x的最低的父结点，并且该父结点要具有右孩子"，找到的这个"最低的父结点"就是"x的前驱结点"。
            BSTNode<T> y = x.parent;
            while ((y!=null) && (x==y.left)) {
                x = y;
                y = y.parent;
            }
    
            return y;
        }
    
        /* * 将结点插入到二叉树中 * * 参数说明： * tree 二叉树的 * z 插入的结点 */
        private void insert(BSTree<T> bst, BSTNode<T> z) {
            int cmp;
            BSTNode<T> y = null;
            BSTNode<T> x = bst.mRoot;
    
            // 查找z的插入位置
            while (x != null) {
                y = x;
                cmp = z.key.compareTo(x.key);
                if (cmp < 0)
                    x = x.left;
                else
                    x = x.right;
            }
    
            z.parent = y;
            if (y==null)
                bst.mRoot = z;
            else {
                cmp = z.key.compareTo(y.key);
                if (cmp < 0)
                    y.left = z;
                else
                    y.right = z;
            }
        }
    
        /* * 新建结点(key)，并将其插入到二叉树中 * * 参数说明： * tree 二叉树的根结点 * key 插入结点的键值 */
        public void insert(T key) {
            BSTNode<T> z=new BSTNode<T>(key,null,null,null);
    
            // 如果新建结点失败，则返回。
            if (z != null)
                insert(this, z);
        }
    
        private BSTNode<T> delete(BSTNode<T> node) {
            //第 3 种情况，如果同时存在左右子节点
            if (node.left != null && node.right != null){
                //获取后继结点
                BSTNode<T> successor = successor(node);
                //转移后继结点值到当前节点
                node.key = successor.key;
                //把要删除的当前节点设置为后继结点
                node = successor;
            }
            //经过前一步处理，下面只有前两种情况，只能是一个节点或者没有节点
            //不管是否有子节点，都获取子节点
            BSTNode<T> child;
            if (node.left != null)
                child = node.left;
            else
                child = node.right;
            //如果 child != null，就说明是有一个节点的情况
            if (child != null)
                //将子节点和父节点关联上
                child.parent = node.parent;
            //如果当前节点没有父节点（后继情况到这儿时一定有父节点）
            //说明要删除的就是根节点
            if (node.parent == null)
                //根节点设置为子节点
                //按照前面逻辑，根只有一个或者没有节点，所以直接赋值 child 即可
                mRoot = child;
            else if (node == node.parent.left)//存在父节点，并且当前节点是左节点时
                //将父节点的左节点设置为 child
                node.parent.left = child;
            else//右节点时
                //将父节点的右节点设置为 child
                node.parent.right = child;
            //返回被删除的节点
            return node;
        }
        //删除指定的值
        public void delete(T key) {
            //获取要删除的节点
            BSTNode<T> node = search(mRoot, key);
            //如果存在就删除
            if (node != null)
                delete(node);
        }
    
        /* * 删除结点(z)，并返回被删除的结点 * * 参数说明： * bst 二叉树 * z 删除的结点 */
        private BSTNode<T> remove(BSTree<T> bst, BSTNode<T> z) {
            //这里没起个好名字，让人看着默默奇妙，实际上 x 就是子节点 child
            BSTNode<T> x=null;
            //这里的 y 节点就是要删除的节点 delete
            BSTNode<T> y=null;
            //这个写法理解比较绕，不如反转后容易理解
            //只有一个节点或者没有节点时
            if ((z.left == null) || (z.right == null) )
                //z 就是要删除的节点
                y = z;
            else
                //当有两个子节点时，删除后继结点
                y = successor(z);
            //获取子节点，不管是左是右
            if (y.left != null)
                x = y.left;
            else
                x = y.right;
            //如果存在子节点，就关联被删节点的父节点
            if (x != null)
                x.parent = y.parent;
            //如果父节点是空，说明要删的是根节点
            if (y.parent == null)
                //设置根为 child（此时根只有一个或没有节点）
                bst.mRoot = x;
            else if (y == y.parent.left)//要删的是左节点
                y.parent.left = x;//左节点关联子节点
            else//要删的是右节点
                y.parent.right = x;//右节点关联子节点
            //如果要删的节点和一开始传入的不一样，就是后继的情况
            if (y != z)
                z.key = y.key;//后继的值传给本来要删除的节点
            //返回被删除的节点
            return y;
        }
    
        /* * 删除结点(z)，并返回被删除的结点 * * 参数说明： * tree 二叉树的根结点 * z 删除的结点 */
        public void remove(T key) {
            BSTNode<T> z, node;
    
            if ((z = search(mRoot, key)) != null)
                if ( (node = remove(this, z)) != null)
                    node = null;
        }
    
        /* * 销毁二叉树 */
        private void destroy(BSTNode<T> tree) {
            if (tree==null)
                return ;
    
            if (tree.left != null)
                destroy(tree.left);
            if (tree.right != null)
                destroy(tree.right);
    
            tree=null;
        }
    
        public void clear() {
            destroy(mRoot);
            mRoot = null;
        }
    
        /* * 打印"二叉查找树" * * key -- 节点的键值 * direction -- 0，表示该节点是根节点; * -1，表示该节点是它的父结点的左孩子; * 1，表示该节点是它的父结点的右孩子。 */
        private void print(BSTNode<T> tree, T key, int direction) {
    
            if(tree != null) {
    
                if(direction==0)    // tree是根节点
                    System.out.printf("%2d is root\n", tree.key);
                else                // tree是分支节点
                    System.out.printf("%2d is %2d's %6s child\n", tree.key, key, direction==1?"right" : "left");
    
                print(tree.left, tree.key, -1);
                print(tree.right,tree.key,  1);
            }
        }
    
        public void print() {
            if (mRoot != null)
                print(mRoot, mRoot.key, 0);
        }
    }

### 测试代码 ###

public class BSTreeTest { 
    
        public static BSTree<Integer> newTree() {
            int[] array = new int[]{
       50, 30, 80, 20, 35, 34, 32, 40, 70, 75, 100};
            BSTree<Integer> tree = new BSTree<>();
            for (int i = 0; i < array.length; i++) {
                tree.insert(array[i]);
            }
            return tree;
        }
    
        public static void main(String[] args) {
            BSTree<Integer> tree = newTree();
            System.out.println("----------初始--------");
            print(tree);
            tree.delete(20);
            System.out.println("----------删除 20--------");
            print(tree);
            tree = newTree();
            tree.delete(70);
            System.out.println("----------删除 70--------");
            print(tree);
            tree = newTree();
            tree.delete(30);
            System.out.println("----------删除 30--------");
            print(tree);
        }
    
    
        //------------下面代码是用于输出树的工具代码------------------------
    
        public static final String  PREFIX_BRANCH = "├";//树枝
        public static final String  PREFIX_TRUNK  = "│ ";//树干
        public static final String  PREFIX_LEAF   = "└";//叶子
        public static final String  PREFIX_EMP    = " ";//空
        public static final String  PREFIX_LEFT   = "─L─";//左
        public static final String  PREFIX_RIGTH  = "─R─";//右
    
        private static boolean hasChild(BSTree.BSTNode node){
            return node.left != null || node.right != null;
        }
    
        public static void print(BSTree tree){
            if(tree != null && tree.mRoot != null){
                System.out.println(tree.mRoot.key);
                print(tree.mRoot, "");
            }
        }
    
        public static void print(BSTree.BSTNode node, String prefix){
            if(prefix == null){
                prefix = "";
            } else {
                prefix = prefix.replace(PREFIX_BRANCH, PREFIX_TRUNK);
                prefix = prefix.replace(PREFIX_LEAF, PREFIX_EMP);
            }
            if(hasChild(node)){
                if(node.right != null){
                    System.out.println(prefix + PREFIX_BRANCH + PREFIX_RIGTH + node.right.key);
                    if(hasChild(node.right)){
                        print(node.right, prefix + PREFIX_BRANCH);
                    }
                } else {
                    System.out.println(prefix + PREFIX_BRANCH + PREFIX_RIGTH);
                }
    
                if(node.left != null){
                    System.out.println(prefix + PREFIX_LEAF + PREFIX_LEFT + node.left.key);
                    if(hasChild(node.left)){
                        print(node.left, prefix + PREFIX_LEAF);
                    }
                } else {
                    System.out.println(prefix + PREFIX_LEAF + PREFIX_LEFT);
                }
            }
        }
    }

### 测试结果 ###

注意：每次删除都在在初始树的状态下删除的，不是在同一个树连续执行的。

----------初始--------
    50
    ├─R─80
    │ ├─R─100
    │ └─L─70
    │   ├─R─75
    │   └─L─
    └─L─30
      ├─R─35
      │ ├─R─40
      │ └─L─34
      │   ├─R─
      │   └─L─32
      └─L─20
    ----------删除 20--------
    50
    ├─R─80
    │ ├─R─100
    │ └─L─70
    │   ├─R─75
    │   └─L─
    └─L─30
      ├─R─35
      │ ├─R─40
      │ └─L─34
      │   ├─R─
      │   └─L─32
      └─L─
    ----------删除 70--------
    50
    ├─R─80
    │ ├─R─100
    │ └─L─75
    └─L─30
      ├─R─35
      │ ├─R─40
      │ └─L─34
      │   ├─R─
      │   └─L─32
      └─L─20
    ----------删除 30--------
    50
    ├─R─80
    │ ├─R─100
    │ └─L─70
    │   ├─R─75
    │   └─L─
    └─L─32
      ├─R─35
      │ ├─R─40
      │ └─L─34
      └─L─20

## 推荐阅读 ##

后来在看 AVL 树的时候，发现了两个特别好的网站，一个全图方式讲解，很容易理解。还有一个是动态可视化在线操作，可以方便的看到算法执行的过程，在此留个记录：

*  **数据结构：**[http://btechsmartclass.com/DS/U5\_T2.html][http_btechsmartclass.com_DS_U5_T2.html]  
    上面链接是 AVL 平衡树的地址，从左侧菜单能看到特别全的内容。
 *  **数据结构可视化：**[https://www.cs.usfca.edu/~galles/visualization/Algorithms.html][https_www.cs.usfca.edu_galles_visualization_Algorithms.html]  
    内容也很全面，暂停（pause）后，可以手动逐步操作（前进、后退），非常方便。

[Java]: http://www.cnblogs.com/skywang12345/p/3576452.html
[70]: /images/20220524/937749c8fbce4aa4a82e62f21685a244.png
[70 1]: /images/20220524/0968292881e44c05a95ca6743598ec74.png
[70 2]: /images/20220524/6910d8a295854578a99f29e188477256.png
[70 3]: /images/20220524/097c48ee21714aa4a616111fb8e566ea.png
[70 4]: /images/20220524/4625b200881449bf848709b2b985c373.png
[70 5]: /images/20220524/160e39afd3e84a468029f7065fc36ebf.png
[70 6]: /images/20220524/ddcffb6741084a5abb38c1dcc3b42155.png
[http_btechsmartclass.com_DS_U5_T2.html]: http://btechsmartclass.com/DS/U5_T2.html
[https_www.cs.usfca.edu_galles_visualization_Algorithms.html]: https://www.cs.usfca.edu/~galles/visualization/Algorithms.html