numpy实战（高级编程技术week 11）

た入场券 2022-05-24 04:37 266阅读 0赞

# numpy实战（高级编程技术week 11） #

## 做题前 ##

在这里，我使用了这样的代码来产生符合题目条件的矩阵

import numpy as np
    from scipy.linalg import toeplitz
    A = np.mat(np.random.normal(size=(200,500)))
    B = np.mat(toeplitz(np.random.normal(size=500),np.random.normal(size=500)))
    A,B

![这里写图片描述][70]

## 第一题 ##

![这里写图片描述][70 1]

这里还是一些比较简单正常的计算，代码如下

a1 = A + A
    a2 = A.dot(A.T)
    a3 = A.T.dot(A)
    a4 = A.dot(B)
    a1,a2,a3,a4

结果如下：  
![1526817566141][].png)

同时，根据题目要求，我还写了这样的一个函数，并且测试了一下。

def t1(lamda):
        return A.dot(B-lamda*np.eye(500))
    t1(4)

结果如图所示  
![这里写图片描述][70 2]

## 第二题 ##

![这里写图片描述][70 3]  
首先使用`np.random.normal`函数生成这样的向量，为了求解该方程，可以考虑方程左右两边同时乘上矩阵B  B 的逆，即x=B′b x =B ′b。

b = np.random.normal(size=(500,1))
    x = B.I.dot(b)
    x

结果如下

![这里写图片描述][70 4]

## 问题三：范数 ##

![这里写图片描述][70 5]  
这一道题主要考虑的是`np.linalg.norm`函数的使用。

查阅文档得知，该函数的原型为`numpy.linalg.norm(x, ord=None, axis=None, keepdims=False)`同时参数的功能如下表：  
![这里写图片描述][70 6]  
由此，可以写出这道题的代码

np.linalg.norm(A, ord='fro') # Frobenius norm
    np.linalg.norm(B, ord=np.inf) # infinity norm
    np.linalg.norm(B, ord=2) # biggest singular values
    np.linalg.norm(B, ord=-2) # smallest singular values

结果可见  
![这里写图片描述][70 7]

## 问题四 ##

![这里写图片描述][70 8]  
关于这个幂迭代法求解矩阵的特征向量，我使用了以下代码来实现。

def power_iteration(A, error):
        v_k = np.random.rand(A.shape[1])
        v_k1 = np.random.rand(A.shape[1])
        count = 0
        while np.linalg.norm(v_k - v_k1) >= error:
            v_k = v_k1
            u_k1 = np.dot(A, v_k)
            m_k1 = np.max(u_k1)
            v_k1 = u_k1/m_k1
            count += 1
    
        return (np.max(u_k1), v_k1, count)
    
    power_iteration(np.array([[-4, 14, 0], [-5, 13, 0], [-1, 0, 2]]), 0.00000001)
    #Z = np.random.normal(size=(200,200))
    #power_iteration(Z, 0.000000001)

在进一步的测试中，验证了该程序的正确性。

我计算了⎡⎣⎢−4−5−114130002⎤⎦⎥  \[ − 4 14 0 − 5 13 0 − 1 0 2 \] 该矩阵的特征值和特征向量，与自己算的值是一致的。见下图：

![1526821761320][].png)

## 问题五 ##

![这里写图片描述][70 9]  
这里需要探寻n  n , p p,还有最大奇异值之间的关系。从`scipy`的文档中找到关于求奇异值的函数：`scipy.linalg.svd(C)`,其中第二个返回值就是奇异值列表。

from scipy import linalg
    def get_singular_value(size, p):
        t = np.random.rand(size, size) > p
        C = np.zeros((size,size))
        C[t]=1
        s_v = linalg.svd(C)[1]
        l_s_v = np.max(s_v)
        return l_s_v
    
    get_singular_valut(200,0.6)
    
    t = []
    for n in range(5,300):
         t.append(get_singular_value(n,0.6))
    plt.plot(range(5,300), t)
    
    t = []
    for n in np.linspace(0,1,30):
        t.append(get_singular_value(100,n))
    plt.plot(np.linspace(0,1,30),t)
    
    plt.show()

通过实验，得知，当n渐渐变大时，最大奇异值也在变大

![这里写图片描述][70 10]  
当p变小的时候，最大奇异值变小，如下图  
![这里写图片描述][70 11]

## 问题六 ##

![这里写图片描述][70 12]

这里要写一个函数，去寻找数据A中最接近z  z <script type="math/tex" id="MathJax-Element-21">z</script>的数，函数需要返回最接近的值，以下是代码实现。

def find_nearest(A, z):
        return A[np.argmin(np.abs(A-z))]

以下是运行截图：  
![1526823900930][]

## 参考资料 ##

1.  wiki：[https://en.wikipedia.org/wiki/Power\_iteration][https_en.wikipedia.org_wiki_Power_iteration]
2.  numpy文档：[https://www.numpy.org/devdocs/reference/][https_www.numpy.org_devdocs_reference]

[70]: /images/20220524/372e7c3006a548baa322c026dde12fdc.png
[70 1]: /images/20220524/0d1c4a5727024975b6d20b588611994d.png
[1526817566141]: /images/20220524/39df50b79e5c429e9987d12ba08ce18e.png
[70 2]: /images/20220524/4d4acdad822b48549ab8b1c6b26aa589.png
[70 3]: /images/20220524/c954f814e3eb4a979354ecaf037f3156.png
[70 4]: /images/20220524/d973f84b944a446b813aa89cb5c760b5.png
[70 5]: /images/20220524/ac8aefb8e885464e8553931d544c9d11.png
[70 6]: /images/20220524/8a1b2058834c4a0b98f6d3d63556644e.png
[70 7]: /images/20220524/9dcf136f4ce74defa6a74420dcc8aeb0.png
[70 8]: /images/20220524/2fa5274747ca468e82434ac3eec8aaf2.png
[1526821761320]: /images/20220524/437844af540c4c5fb9e07cf45e7c7da7.png
[70 9]: /images/20220524/78d17878ce0244f5beb42f5611bda415.png
[70 10]: /images/20220524/470e8337077a4af1938f4e84d34664a8.png
[70 11]: /images/20220524/f20236432180468cab9e58ecfd0b988f.png
[70 12]: /images/20220524/59f8420ad1c84fdf88d4b6685b75066c.png
[1526823900930]: /images/20220524/f0b68f30191e4f3399403685c0738015.png
[https_en.wikipedia.org_wiki_Power_iteration]: https://en.wikipedia.org/wiki/Power_iteration
[https_www.numpy.org_devdocs_reference]: https://www.numpy.org/devdocs/reference/