【算法】你真的会二分查找吗？(结合leetcode)

爱被打了一巴掌 2022-05-25 01:20 233阅读 0赞

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写这篇文章的初衷是因为leetcode遇到了一个坑。我们先一起来看看。

## leetcode 34 ##

Given an array of integers nums sorted in ascending order, find the starting and ending position of a given target value.

Your algorithm’s runtime complexity must be in the order of O(log n).

If the target is not found in the array, return \[-1, -1\].

Example 1:Input: nums = \[5,7,7,8,8,10\], target = 8  
Output: \[3,4\]

Example 2:Input: nums = \[5,7,7,8,8,10\], target = 6  
Output: \[-1,-1\]

## 代码 ##

要求算法复杂度为O(log n)。很显然，肯定是二分查找。二分查找到target然后在两边扩展找边界呗。

public int[] searchRange(int[] nums, int target) {
        if (nums.length == 0) return new int[]{-1, -1};
        int left = 0, right = nums.length - 1, mid;
    
        while (left < right) {
            mid = (left + right)/ 2;
    
            if (nums[mid] < target) {
                left = mid;
            } else if (nums[mid] > target){
                right = mid;
            } else {
                  left = mid; 
                  right = mid;
                  break;
            }
        }
    
        if (nums[left] != target) {
            return new int[]{-1, -1};
        } else {
            while (left - 1 >= 0 && nums[left - 1] == target) left--;
            while (right + 1 < nums.length && nums[right + 1] == target) right++;
            return new int[]{left, right};
        }
    }

然后拿个测试\[5, 7, 7, 8, 8, 10\]， target6 用例跑一下。WTF？死循环？？

## 问题在哪？ ##

很困惑，之前一直这么写，没出过问题，怎么会死循环。那我就跟着代码走一遍看看。

数组\[5, 7, 7, 8, 8, 10\]， target 6

<table> 
 <thead> 
  <tr> 
   <th align="center">left</th> 
   <th align="center">right</th> 
   <th align="center">mid</th> 
  </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
  <tr> 
   <td align="center">0</td> 
   <td align="center">5</td> 
   <td align="center">2</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td align="center">0</td> 
   <td align="center">2</td> 
   <td align="center">1</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td align="center">0</td> 
   <td align="center">1</td> 
   <td align="center">0</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td align="center">0</td> 
   <td align="center">1</td> 
   <td align="center">0</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td align="center">0</td> 
   <td align="center">1</td> 
   <td align="center">0</td> 
  </tr> 
 </tbody> 
</table>

找到了问题。left=0，right=1， mid=0的时候，nums\[left\]=5, nums\[right\]=7,nums\[mid\]=5在如下代码里，会一直执行if的第一个分支，三个值都不会改变。

if (nums[mid] <= target) {
        left = mid;
    } else {
        right = mid;
    }

而**left = mid;**才是罪魁祸首，如果这么写了，一旦target元素不在数组，那么就是死循环。所以应该改成**left = mid + 1;**。这样就顺利通过test case。总结起来，这个错误更是因为自己的疏忽。

## 还可能有什么问题？ ##

1.  mid的选取
    
    代码中我写的是`mid = (left + right)/ 2;`，但其实是有问题的，问题在于如果left和right都很大，那么两者相加是很可能溢出的。所以最好的写法应该是`mid = left + (right - left)/ 2;`
2.  left和right怎么跳?
    
    这问题也是我最初出现死循环的原因。我把`left = mid`改成了`left = mid + 1`，为什么不把`right = mid`也改成`right = mid - 1`呢。在这里当然也是可以的，因为我只是想在数组里找到一个等于target的值的下标。

**验证一下我的结论**，我们来看一下jdk里面对于二分查找的实现。在`Arrays`这个类里面。

// Like public version, but without range checks.
    private static int binarySearch0(int[] a, int fromIndex, int toIndex, int key) {
        int low = fromIndex;
        int high = toIndex - 1;
    
        while (low <= high) {
            int mid = (low + high) >>> 1;
            int midVal = a[mid];
    
            if (midVal < key)
                low = mid + 1;
            else if (midVal > key)
                high = mid - 1;
            else
                return mid; // key found
        }

没错这里确实是，`low = mid + 1`和`high = mid - 1`。但是前面mid的选取好像和我说的有点冲突。

`int mid = (low + high) >>> 1`。这里>>>是指无符号右移，高位补0，而这里的low、high都是非负数，用这个应该只是一个防御性的编程。

> （计算机移位操作的效率要高很多，jdk里面很多用到了移位，如`ArrayList`、`HashMap`等等）

low和high直接相加，难道jdk没有考虑溢出的情况吗？其实不是，Java里数组的长度是有限制的，这个限制具体是由jvm可配置的（？）,我查看源码没有找到具体值是多少，至少当我执行`int[] test = new int[Integer.MAX_VALUE/2];`的时候，会报OutOfMemoryError错。既然这样也就不用考虑溢出问题，直接用移位操作反而更快。

## 更多情况 ##

上面讨论的都是标准的二分查找，也就是在一个数组里找一个数的下标，找不到返回负数。其实还会经常遇到另一种，就是找到第一次出现该数的下标，或者最后一次出现该数的下标。显然jdk里的`binarySearch`并不能实现这个要求，java doc里面也有明说

> Searches the specified array of ints for the specified value using thebinary search algorithm. **If the array contains multiple elements with the specified value, there is no guarantee which one will be found.**

对于”查找第一次出现该数的下标”，我们可以理解成二分查找就是left不断往后走，找到目标位置的过程（最终结果肯定是left的值）。所以为了不出错，我们最好每次移动只改变left。

而对于“查找最后一次出现该数的下标”可以看作是“查找第一次出现该数的下标“的镜像，可以理解为后从往前进行二分查找（把数组反转就是求解第一种情况了），**所以在mid选取的时候，要反一反`mid = right - ((right-left)>> 1)`**

> 看到很多地方的写法都是`mid = left + ((right-left + 1)>> 1);`，这样反而不好理解。写成`mid = right - ((right-left)>> 1)`就好理解多了。

1.  二分查找第一次出现该数的下标
    
        while (left < right) {
            mid = left + ((right-left)>> 1);
        
            if (nums[mid] < target) {   
            // 如果中间值比target小，left移到mid+1
                left = mid + 1;
            } else {
            // 如果中间值不比target小即可能等于，right移到mid
                right = mid;
            }   
         }
2.  二分查找最后一次出现该数的下标
    
        while (left < right) {
            mid = right - ((right-left)>> 1);//注意这里！！
        
            if (nums[mid] <= target) {  
            // 如果中间值小于等于target即不比target大，left移到mid 因为left的目标是和target相等的最后一个下标
                left = mid;
            } else {
            // 如果中间值比target大，right移到mid-1
                right = mid -1 ;
            }   
         }

## 完善 ##

仔细看看自己的解法，最后那个while循环有点问题，如果这个范围很大，那岂不是要循环整个数组了？

所以有了前面的铺垫，这个题目可以用更快更清晰的方法解决。**分别找到target的第一次和最后一次出现的位置即可**。最后附上代码

public int[] searchRange(int[] nums, int target) {
        if (nums.length == 0) return new int[]{-1, -1};
        int left = 0, right = nums.length - 1, first;
    
        //找到第一次出现的位置
        while (left < right) {
            int mid = left + ((right - left) >> 1);
            if (nums[mid] < target) {
                left = mid + 1;
            } else {
                right = mid;
            }
        }
    
        if (nums[left] != target) {
            return new int[]{-1, -1};
        }
        first = left;
    
        left = 0;
        right = nums.length - 1;
    
        //找到最后一次出现的位置
        while (left < right) {
            int mid = right - ((right - left) >> 1);
            if (nums[mid] <= target) {
                left = mid;
            } else {
                right = mid - 1;
            }
        }
    
        return new int[]{first, left};
    }