极大似然估计求解多项式分布参数

刺骨的言语ヽ痛彻心扉 2022-05-25 04:08 225阅读 0赞

本文作者：合肥工业大学 管理学院 钱洋 email：1563178220@qq.com 内容可能有不到之处，欢迎交流。

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\#原因  
今天晚上，老师在看LDA数学八卦的时候，问我一个问题，如下图所示：

![这里写图片描述][Image 1]

这个多项式分布的参数，采用极大估计是怎么求的呢?当时想了想还真不知道，于是在网上找了资料，学习了一下，特此记录。

\#公式推导  
很多情况下，假定一个变量 X X X有 k k k个状态，其中 k > 2 k>2 k>2,每个状态假定的可能性为 p 1 , p 2 , ⋯ &ThinSpace; , p k p\_\{1\},p\_\{2\},\\cdots ,p\_\{k\} p1,p2,⋯,pk，且 ∑ i = 1 k p i = 1 \\sum \_\{i=1\}^\{k\}p\_\{i\}=1 ∑i=1kpi=1,独立进行 n n n次实验，用 n 1 , n 2 , ⋯ &ThinSpace; , n k n\_\{1\},n\_\{2\},\\cdots ,n\_\{k\} n1,n2,⋯,nk表示每个状态发生的次数，发生的次数服从多项式分布：  
 p ( n 1 , n 2 , ⋯ &ThinSpace; , n k ∣ p 1 , p 2 , ⋯ &ThinSpace; , p k ) = n ! ∏ i = 1 k n i ! ∏ i = 1 k p i n i p\\left ( n\_\{1\},n\_\{2\},\\cdots ,n\_\{k\}|p\_\{1\},p\_\{2\},\\cdots ,p\_\{k\} \\right )=\\frac\{n!\}\{\\prod \_\{i=1\}^\{k\}n\_\{i\}!\}\\prod \_\{i=1\}^\{k\}p\_\{i\}^\{n\_\{i\}\} p(n1,n2,⋯,nk∣p1,p2,⋯,pk)=∏i=1kni!n!i=1∏kpini

下面采用极大似然求解：

L ( p 1 , p 2 , ⋯ &ThinSpace; , p k ) = l o g ( n ! ∏ i = 1 k n i ! ∏ i = 1 k p i n i ) L\\left ( p\_\{1\},p\_\{2\},\\cdots ,p\_\{k\} \\right )=log\\left (\\frac\{n!\}\{\\prod \_\{i=1\}^\{k\}n\_\{i\}!\}\\prod \_\{i=1\}^\{k\}p\_\{i\}^\{n\_\{i\}\} \\right ) L(p1,p2,⋯,pk)=log(∏i=1kni!n!i=1∏kpini)  
 = l o g ( n ! ) − ∑ i = 1 k l o g n k ! + ∑ i = 1 k l o g p k =log\\left ( n! \\right )-\\sum \_\{i=1\}^\{k\}logn\_\{k\}!+\\sum \_\{i=1\}^\{k\}logp\_\{k\} =log(n!)−i=1∑klognk!\+i=1∑klogpk

对于有约束条件的极值求解问题可使用拉格朗日乘法：  
 L a g r a n g e ( p 1 , p 2 , ⋯ &ThinSpace; , p k , λ ) = L ( p 1 , p 2 , ⋯ &ThinSpace; , p k ) − λ ( ∑ i = 1 k p i − 1 ) Lagrange\\left ( p\_\{1\},p\_\{2\},\\cdots ,p\_\{k\},\\lambda \\right )=L\\left ( p\_\{1\},p\_\{2\},\\cdots ,p\_\{k\} \\right )-\\lambda\\left ( \\sum \_\{i=1\}^\{k\}p\_\{i\}-1 \\right ) Lagrange(p1,p2,⋯,pk,λ)=L(p1,p2,⋯,pk)−λ(i=1∑kpi−1)

求导(计算梯度)：  
 ∂ L a g r a n g e ( p 1 , p 2 , ⋯ &ThinSpace; , p k , λ ) ∂ p i = n i p i − λ \\frac\{\\partial Lagrange\\left ( p\_\{1\},p\_\{2\},\\cdots ,p\_\{k\},\\lambda \\right )\}\{\\partial p\_\{i\}\}=\\frac\{n\_\{i\}\}\{p\_\{i\} \}-\\lambda ∂pi∂Lagrange(p1,p2,⋯,pk,λ)=pini−λ

进而有：  
 p i = n i λ p\_\{i\}=\\frac\{n\_\{i\}\}\{\\lambda \} pi=λni

由于  
 ∑ i = 1 k n i λ = 1 \\sum \_\{i=1\}^\{k\}\\frac\{n\_\{i\}\}\{\\lambda \}=1 i=1∑kλni=1

得到：  
 λ = n \\lambda=n λ=n

进而有：  
 p i ^ = n i n \\hat\{p\_\{i\}\}=\\frac\{n\_\{i\}\}\{n\} pi^=nni

[Image 1]: