最佳拟合直线

怼烎@ 2022-05-29 10:39 166阅读 0赞

### 最佳拟合直线 ###

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#### Problem Description ####

在很多情况下，天文观测得到的数据是一组包含很大数量的序列点图象，每一点用x值和y值定义。这就可能需要画一条通过这些点的最佳拟合曲线。

为了避免只对个别数据分析，需要进行最佳曲线拟合。考虑N个数据点，它们的坐标是(X1,Y1)，(X2,Y2)...，(XN,YN)。假设这些值中的X是严格的精确值，Y的值是测量值(含有一些误差)。  
![2728.png][]

对于一个给定的X，如X1，对应的值Y1与曲线C上对应的Y值将存在一个差值。我们用D1表示这个差值，有时我们也称这个差值为偏差、误差或残差，它可能是正、负或零。类似的，X2...，XN，对应的差值为D2，....，DN。

我们用D12 \+ D22 \+ ... + DN2 作为衡量曲线C拟合的“最佳”程度，这个值越小越好，越大则越不好。因此，我们做以下定义：任何一种类型的曲线，它们都有一个共同的特性，当ΣDi2最小时，称为最佳拟合曲线。注：∑指“取和”计算。 一条曲线具有这一特性时，称之为“最小二乘拟合”，这样的曲线称为“最小二乘曲线”。

本次的计算任务是拟合为一条直线，数学上称之为“线性回归”。“回归”一词看起来有点陌生，因为计算最佳曲线没什么好“回归”的，最好的术语就是“曲线似合”，在直线情况下就是“线性曲线拟合”。

你的任务是编写程序用最小二乘法计算出以下线性方程的系数(斜率a以及y轴的截距b)：

y = a\*x + b (4.1)

a和b可以使用以下公式计算：  
![2728_2.png][]  
式中N是数据点的个数。注意，以上两式具有相同的分母，∑指逐项加法计算(取和)。∑x指对所有的x值求和，∑y指对所以的y值求和，∑(x^2)指对所有x的平方求和。∑xy指对所有的积xy进行取和计算。应注意，∑xy 与 ∑x\*∑y是不相同的(“积的和”与“和的积”是不同的)，同样(∑x)^2与∑(x^2)也是不相同的(“和的平方”与“平方的和”是不相同的)。

#### Input ####

n 组整数表示 x i ， y i  ，期中|x|<=10 6 ，|y|<=106, n < 15

#### Output ####

最佳拟合曲线参数 a 和 b ， a 和 b 各占一行， a  和 b 精确到小数点后 3 位。

#### Sample Input ####

4
    1  6
    2  5
    3  7
    4  10

#### Sample Output ####

1.400
    3.500

本题就是按照题目中给出的公式依次求出即可，题目的信息量很大，但是最终的落脚点都在公式中，当然，数学中的这种拟合方法还是值得我们学习的。

//package hello;
    
    import java.util.*;
    
    public class Main {
    	public static int sum(int[]... arr) {
    		int len = arr.length;
    		int arrlength = arr[0].length;
    		int sum = 0;
    		for (int i = 0; i < arrlength; i++) {
    			if (len == 1) {
    				sum += arr[0][i];
    			} else if (len == 2) {
    				sum += arr[0][i] * arr[1][i];
    			}
    		}
    		return sum;
    	}
    	public static void main(String[] args) {
    		Scanner cin = new Scanner(System.in);
    		int n = cin.nextInt();
    		int[] x = new int[n];
    		int[] y = new int[n];
    		for (int i = 0; i < n; i++) {
    			x[i] = cin.nextInt();
    			y[i] = cin.nextInt();
    		}
    		int result_x = sum(x);
    		int result_y = sum(y);
    		int result_xx = sum(x, x);
    		int result_xy = sum(x, y);
    		double a = (double) (n * result_xy - result_x * result_y) / (n * result_xx - result_x * result_x);
    		double b = (double) (result_y * result_xx - result_x * result_xy) / (n * result_xx - result_x * result_x);
    		System.out.println(String.format("%.3f", a));
    		System.out.println(String.format("%.3f", b));
    		cin.close();
    	}
    	
    }

[Submit]: https://acm.sdut.edu.cn/onlinejudge2/index.php/Home/Contest/contestsubmit/cid/2434/pid/2728.html
[Statistic]: https://acm.sdut.edu.cn/onlinejudge2/index.php/Home/Contest/conteststatus/cid/2434/pid/2728.html
[2728.png]: /images/20220529/6174a247330d4d88bef4983abf8f25e2.png
[2728_2.png]: /images/20220529/acbaeb4ccca04b089087253ebfdd39e3.png