理解Markov假设

￡神魔★判官ぃ 2022-05-31 05:52 155阅读 0赞

# 引言 #

`Markov假设`是基于模板表示的`时序模型`的基础。也是理解HMM的前提。  
简单说来，`Markov假设`使得概率计算得到简化。下面讲解如何直观的理解`Markov假设`，以及它详细推导过程。

# 时序模型 #

当对动态环境进行建模时，我们感兴趣的是，当问题的`状态`随时间变化时，对其关于`状态`进行推理。

这种环境可以根据系统`状态`进行建模。用X(t)  X ( t ) 表示系统变量（也叫`模板变量`）。可以用下面的`贝叶斯网`来表示`时序模型`。

![这里写图片描述][70]

在这个模型中，概率P(X(0:T))  P ( X ( 0 : T ) ) 的表达如下：

P(X(0:T))=P(X(0),X(1),X(2),...,X(T))  P ( X ( 0 : T ) ) = P ( X ( 0 ) , X ( 1 ) , X ( 2 ) , . . . , X ( T ) )

概率P(X(0:T))  P ( X ( 0 : T ) ) 的计算如下：

P(X(0:T))=P(X(0),X(1),X(2),...,X(T))  P ( X ( 0 : T ) ) = P ( X ( 0 ) , X ( 1 ) , X ( 2 ) , . . . , X ( T ) )

=P(X(0))P(X(1)|X(0))P(X(2)|X(0:1))...P(X(T)|X(0:T−1))  = P ( X ( 0 ) ) P ( X ( 1 ) | X ( 0 ) ) P ( X ( 2 ) | X ( 0 : 1 ) ) . . . P ( X ( T ) | X ( 0 : T − 1 ) )

所以，一般表达式为：

P(X(0:T))=P(X(0))∏0T−1P(X(t\+1)|X(0:t))  P ( X ( 0 : T ) ) = P ( X ( 0 ) ) ∏ 0 T − 1 P ( X ( t + 1 ) | X ( 0 : t ) )

这个概率的计算还是比较复杂的。有没有办法简化呢？

# Markov假设 #

只要`时序模型`满足`Markov假设`，概率P(X(0:T))  P ( X ( 0 : T ) ) 的计算就能得到简化。

所谓`Markov假设`，就是

X(t\+1)⊥X(0:t−1)|X(t)  X ( t + 1 ) ⊥ X ( 0 : t − 1 ) | X ( t )

即X(t\+1)  X ( t + 1 ) 与X(0:t−1)  X ( 0 : t − 1 ) 关于X(t)  X ( t ) 条件独立。

满足`Markov假设`的`贝叶斯网`如下

![这里写图片描述][70 1]

这样的贝叶斯网比上图简化了不少，所以计算P(X(0:T))  P ( X ( 0 : T ) ) 也得到了简化：

P(X(0:T))=P(X(0))∏0T−1P(X(t\+1)|X(t))  P ( X ( 0 : T ) ) = P ( X ( 0 ) ) ∏ 0 T − 1 P ( X ( t + 1 ) | X ( t ) )

# 总结 #

满足`Markov假设`后，概率P(X(0:T))  P ( X ( 0 : T ) ) 的计算可以得到简化。满足`Markov假设`的贝叶斯网，各`模板变量`之间的关系也简单一些。

# 参考 #

*  (1) Daphne Koller。概率图模型。第六章-基于模板的表示

[70]: /images/20220531/cf7af12a0cf3402fa3fd98fe7a579661.png
[70 1]: /images/20220531/6f48fee92487452ca407c65b6aa7aa44.png

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