数学基础（一）之矩阵的基本概念

「爱情、让人受尽委屈。」 2022-06-02 02:50 246阅读 0赞

## 1. 矩阵和向量 ##

### 1.1 矩阵 ###

⎡⎣⎢⎢⎢⎢1402137194914719182114371448⎤⎦⎥⎥⎥⎥

这个是4x2的矩阵，即4行2列。矩阵的维度即行数乘以列数。

矩阵的元素（矩阵项）：

A=⎡⎣⎢⎢⎢⎢1402137194914719182114371448⎤⎦⎥⎥⎥⎥

Ai,j 指第i行，第j列的元素。

### 1.2 向量 ###

向量是一种特殊的矩阵，此处我们一般指列向量，以下是四维的列向量。

⎡⎣⎢⎢⎢⎢14021371949147⎤⎦⎥⎥⎥⎥

1索引向量：

y=⎡⎣⎢⎢⎢⎢y1y2y3y4⎤⎦⎥⎥⎥⎥

0索引向量：

y=⎡⎣⎢⎢⎢⎢y0y1y2y3⎤⎦⎥⎥⎥⎥

## 2. 加法和标量乘法 ##

### 2.1 加法 ###

对应行列数相等的元素相加。例如

⎡⎣⎢⎢123051⎤⎦⎥⎥\+⎡⎣⎢⎢4200.551⎤⎦⎥⎥=⎡⎣⎢⎢5430.5102⎤⎦⎥⎥

### 2.2 标量乘法 ###

每个元素乘以标量得到对应元素。例如

3×⎡⎣⎢⎢123051⎤⎦⎥⎥=⎡⎣⎢⎢3690153⎤⎦⎥⎥

## 3. 矩阵向量乘法 ##

m×n的矩阵乘以n×1的向量，得到m×1的向量，例如：

⎡⎣⎢⎢142301⎤⎦⎥⎥×\[15\]=⎡⎣⎢⎢1×1\+3×54×1\+0×52×1\+1×5⎤⎦⎥⎥=⎡⎣⎢⎢1647⎤⎦⎥⎥

该乘法规则即将m  × n的每行 `行向量`与n  × 1的 `列向量`对应 `元素相乘的和`，作为结果向量m  × 1的对应元素。

## 4. 矩阵乘法 ##

m×n矩阵乘以n×o矩阵变成m×o矩阵。

\[a0a2a1a3\]×\[b0b2b1b3\]=\[a0×b0\+a1×b2a2×b0\+a3×b2a0×b1\+a1×b3a2×b1\+a3×b3\]=\[c0c2c1c3\]

即：

c0=a0×b0\+a1×b2c1=a0×b1\+a1×b3c2=a2×b0\+a3×b2c3=a2×b1\+a3×b3

该乘法规则即将m×n的每行`行向量`与n×o的`列向量`对应`元素相乘的和`，作为结果向量m×o的对应元素。

矩阵乘以向量n×1可以理解为向量是`o=1`的特殊的矩阵。

## 5. 矩阵乘法的性质 ##

矩阵乘法满足结合律：A×(B×C)=(A×B)×C

矩阵乘法不满足交换律：A×B≠B×A

**单位矩阵**

矩阵中的单位矩阵就像整数1，矩阵乘以单位矩阵等于矩阵本身。单位矩阵即矩阵斜对角元素都为1，其他元素为0，单位矩阵行数等于列数，是个方阵，一般用`I`或`E`表示。例如：

⎡⎣⎢⎢100010001⎤⎦⎥⎥

对于单位矩阵，A  × I=I  × A=A

## 6. 逆矩阵和转置矩阵 ##

**逆矩阵**

矩阵的逆：如A是一个m×m的矩阵（方阵），如果有逆矩阵，则：

AA−1=A−1A=I

**转置矩阵**

设A是一个m×n阶的矩阵，第i行j列的元素是a(i,j)，即A=a(i,j)。则A的转置矩阵为n×m阶的矩阵B，满足B=a(j,i)，即b(i,j)=a(i,j)，B的第i行第j列的元素是A的第j行第i列的元素，记AT=B(或A′=B)。

可以理解为转置矩阵即将原矩阵按斜对角线镜面翻转。例如：

⎡⎣⎢⎢acebdf⎤⎦⎥⎥T=\[abcdef\]

**矩阵转置的基本性质**

(A±B)T=AT ± BT

(A×B)T=BT×AT

(AT)T=A

(KA)T=KAT

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