MATLAB绘制3D隐函数曲面的方法总结

比眉伴天荒 2022-06-03 03:42 184阅读 0赞

背景介绍  
 Matlab提供了一系列绘图函数，常见的包括绘制2D曲线的plot函数、绘制2D隐函数曲线的ezplot函数、绘制3D曲面的mesh和surf函数、绘制3D显函数曲面的ezmesh和ezsurf函数。值得注意的是，ez系列的绘图函数里只有ezplot是绘制隐函数曲线的，ezmesh和ezsurf都是画显函数曲面的（不要被ez的名字误解了）。遗憾的是，matlab里并没有提供直接绘制3D隐函数曲面的函数。本帖的目的就是归纳总结几种方便易用的绘制隐函数曲面的办法。

问题描述

如何绘制 3 元方程 f(x, y,z) = 0 确立的隐函数曲面 z = g(x,y) ？其中，方程 f(x, y,z) = 0 无法求解 z 关于 x 、 y 的表达式，即 g(x, y) 的显式表达式无法获取。

准备工作——基础函数介绍

为了解决上述问题，我们需要先 对几个重要的图形函数 isosurface 、 patch 、 isonormals 取得初步的了解，如果您已经对这三个函数很熟悉，可以直接跳过这一步。

l.  isosurface 等值面函数

调用格式： fv = isosurface(X,Y,Z,V,isovalue)

作用：返回某个等值面（由 isovalue 指定）的表面（ faces ）和顶点（ vertices ）数据，存放在结构体 fv 中（ fv 由 vertices 、 faces 两个域构成）。如果是画隐函数  v = f(x,y,z) = 0  的三维图形，那么等值面的数值为 isovalue = 0 。

2.  patch函数

调用格式： patch(X,Y,C)  以平面坐标 (X, Y) 为顶点，构造平面多边形， C 是 RGB 颜色向量

patch(X,Y,Z,C) 以空间 3-D 坐标 (X, Y,Z) 为顶点，构造空间 3D 曲面， C 是 RGB 颜色向量

patch(fv) 通过包含vertices、faces两个域的结构体fv来构造3D曲面，fv可以直接由等值面函数isosurface得到  
例如：patch(isosurface(X,Y,Z,V,0))

3.  isonormals等值面法线函数

调用格式： isonormals(X,Y,Z,V,p)

实现功能：计算等值面 V 的顶点法线，将 patch 曲面 p 的法线设置为计算得到的法线（ p 是 patch 返回得到的句柄）。如果不设置法线的话，得到曲面在过渡地带看起来可能不是很光滑

有了上述三个函数后，我们已经具备间接绘制3D隐函数曲面的能力了。下面以方程  
f(x,y, z) = x.\*y.\*z.\*log(1+x.^2+y.^2+z.^2)-10 = 0为例，讲解如何画3D隐函数曲面。

解决办法一：isosurface + patch+ isonormals

实现原理：先定义 3 元显函数 v =f(x, y, z),  则  v = 0  定义的等值面就是 z = g(x,y) 的 3D 曲面。利用 isosurface 函数获取 v= 0  的等值面，将得到的等值面直接输入给 patch 函数，得出 patch 句柄 p ，并画出 patch 曲面的平面视角图形。对 p 用 isonormals 函数设置曲面顶点数据的法线，最后设置颜色、亮度、 3D 视角，得到 3D 曲面。

代码如下：

1.  f = @(x,y,z) x.\*y.\*z.\*log(1+x.^2+y.^2+z.^2)-10;      % 函数表达式  
    
2.  \[x,y,z\] = meshgrid(-10:.2:10,-10:.2:10,-10:.2:10);       % 画图范围  
    
3.  v = f(x,y,z);  
    
4.  h = patch(isosurface(x,y,z,v,0));   
    
5.  isonormals(x,y,z,v,h)                
    
6.  set(h,'FaceColor','r','EdgeColor','none');  
    
7.  xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z');   
    
8.  alpha(1)     
    
9.  grid on; view(\[1,1,1\]); axis equal; camlight; lighting gouraud  
    
10.

复制代码

代码说明：

*  alpha函数用于设置patch曲面的透明度（可以是0~1任意数值），1 表示不透明，0 表示最大透明度。如果想设置透明度为0.7，可以修改alpha(1)为alpha(0.7)。

*  使用此代码解决特定问题时，只需将第1行的函数表达式替换为特定问题的函数表达式，将第2行数据（x、y、z）范围换成合适的范围，后续代码无需任何变动。

得到图形：

![1.png][]

[1.png]: /images/20220603/9c6e7dfe734646d3ad264e156c849661.png