栈 - 关于出栈序列，判断合法的出栈序列

梦里梦外; 2022-06-06 13:13 170阅读 0赞

### 文章目录 ###

*   *  1 引例
     *  2 做题方法
     *  3 原因
     *   *  3.1 选项D（4 3 1 2）的模拟

## 1 引例 ##

> （例）设栈的入栈序列是 1 2 3 4，则下列不可能是其出栈序列的是（ ）。  
> A. 1 2 4 3  
> B. 2 1 3 4  
> C. 1 4 3 2  
> D. 4 3 1 2  
> E. 3 2 1 4

一般人看到此类题目，都会拿起草稿纸，将各个选项都模拟一遍选出正确答案  
这当然可以得出正确的答案 （**D** ）  
但当元素个数过多的时候，这个方法不可取，而且，这种人工模拟过程浪费时间且容易出错，下面将介绍一种简单的做题方法。

## 2 做题方法 ##

> **按顺序入栈的序列，任意元素 e ，比 e 先入栈的元素，并且比 e 后出栈的元素，一定是逆序的。**

读起来有点绕口，那么先记下 **“ 后出先入逆序 ”**

1、以最上面的例题为例，若要**写出所有以 1 2 3 4 为入栈顺序的出栈序列**  
暴力求解：4个元素一共有  A 4 4 A\_4^4 A44 共24种排列（下表**加粗*斜体***的排列为合法排列）

表格中加粗斜体的排列为合法排列一共有 **14** 个  
现在可以随意选一个序列来理解一下什么是 **“ 后出先入逆序 ”**  
比如序列：**3 1 2 4**

> 1.  选择任意元素 e ，这里选择 3
> 2.  比 3 后出栈的有三个元素 1 2 4
> 3.  其中比 3 先入栈的有两个元素 1 2
> 4.  但是 1 2 是正序的，而不是逆序的
> 5.  所以这个序列不是合法出栈序列

（注：可以利用递归设计出相应的算法来判断所有合法序列）

2、若只要**求出一共有多少个合法出栈序列**

![在这里插入图片描述][format_png]

将元素个数替换 n 计算即可，计算得 14  
该公式称为卡塔兰数（Catalan number）公式，了解更多 [点这里][Link 1]

> 注：上式中的括号上下两个数（2n和n）代表数学中排列组合公式中的C上下两个数，即用组合公式来求即可。

## 3 原因 ##

### 3.1 选项D（4 3 1 2）的模拟 ###

1、将 1 2 3 4 顺序依次入栈：  
![这里写图片描述][format_png 1]  
2、弹出栈顶元素 4：  
![这里写图片描述][format_png 2]  
3、弹出栈顶元素 3：  
![这里写图片描述][format_png 3]

接下来栈内只剩下元素 1 和 2 ，并且 2 在栈顶  
所以说 **D （4 3 1 2）** 选项的出栈顺序最后的 1 和 2 是无法完成的

可以发现：  
**如果把最后两个元素的顺序逆置一下，就可以完成了**

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[Link 1]: https://en.wikipedia.org/wiki/Catalan_number
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