bzoj-3884(指数循环节)

我不是女神ヾ 2022-06-10 14:07 133阅读 0赞

## Description ##

## 根据一些书上的记载，上帝的一次失败的创世经历是这样的： ##

第一天， 上帝创造了一个世界的基本元素，称做“元”。

第二天， 上帝创造了一个新的元素，称作“α”。“α”被定义为“元”构成的集合。容易发现，一共有两种不同的“α”。

第三天， 上帝又创造了一个新的元素，称作“β”。“β”被定义为“α”构成的集合。容易发现，一共有四种不同的“β”。

第四天， 上帝创造了新的元素“γ”，“γ”被定义为“β”的集合。显然，一共会有16种不同的“γ”。

如果按照这样下去，上帝创造的第四种元素将会有65536种，第五种元素将会有2^65536种。这将会是一个天文数字。

然而，上帝并没有预料到元素种类数的增长是如此的迅速。他想要让世界的元素丰富起来，因此，日复一日，年复一年，他重复地创造着新的元素……

然而不久，当上帝创造出最后一种元素“θ”时，他发现这世界的元素实在是太多了，以致于世界的容量不足，无法承受。因此在这一天，上帝毁灭了世界。

至今，上帝仍记得那次失败的创世经历，现在他想问问你，他最后一次创造的元素“θ”一共有多少种？

上帝觉得这个数字可能过于巨大而无法表示出来，因此你只需要回答这个数对p取模后的值即可。

你可以认为上帝从“α”到“θ”一共创造了10^9次元素，或10^18次，或者干脆∞次。

一句话题意：

![1.png][]

Input

接下来T行，每行一个正整数p，代表你需要取模的值

Output

T行，每行一个正整数，为答案对p取模后的值

Sample Input

Sample Output

Hint

T<=1000,p<=10^7

题目题意：题目题意很清楚了，就是让你求2无穷次方mod p的数值

题目分析：这个题目的确很吓人，2的无穷次方，看上出的确没办法的，但是我们再之前做题目时用到了一个公式的:

对于A^x % mod 的式子，我们有如下的展开式：

A^x % mod=A^(x%phi\[m\]+phi\[m\])%m (当且仅当x>=phi\[m\]时成立)

这个公式唯一的条件是x>=phi\[m\],在这里已经不存在了，因为x是无穷大，看起来很吓人的无穷大给我们带来了便利。

记N=2的无穷大次方(无穷大)，也就是说我们的式子2^ N% p =2^ (N%phi\[p\]+phi\[p\])%p,里面的N%phi\[p\]也是形如这样的式子，只是我们的模数变成了phi\[p\]

即N%phi\[p\]=2^N%phi\[p\]=2^(N%phi\[phi\[p\]\]+phi\[phi\[p\]\])%phi\[p\],这是一个递归的形式：

简单写成：

令f(p)=2^N %p;

则我们有f(p)=2^(f(phi\[p\])%phi\[p\]+phi\[p\])%p;

代码如下:

#include<iostream>
    #include<cstdio>
    #include<cstring>
    #include<cmath>
    #define ll long long
    using namespace std;
    
    ll get_euler(ll n)
    {
        ll res=n,a=n;
        for (ll i=2;i*i<=a;i++) {
            if (a%i==0) {
                res=res/i*(i-1);
                while (a%i==0) a/=i;
            }
        }
        if (a>1) res=res/a*(a-1);
        return res;
    }
    
    ll fast_pow(ll base,ll k,ll mod)
    {
        ll ans=1;
        while (k) {
            if (k&1)
                ans=ans*base%mod;
            base=base*base%mod;
            k>>=1;
        }
        return ans;
    }
    ll f(ll p)//递归f
    {
        ll phi=get_euler(p);
        if (p==1)//边界
            return 0;
        else {
            ll ans=fast_pow(2,f(phi)%phi+phi,p);
            return ans;
        }
    }
    int main()
    {
        ll t,p;
        scanf("%lld",&t);
        while (t--) {
            scanf("%lld",&p);
            printf("%lld\n",f(p)%p);
        }
        return 0;
    }

[1.png]: http://www.lydsy.com/JudgeOnline/upload/201502/1.png