数学库中应用SSE之一

àì夳堔傛蜴生んèń 2022-06-11 00:40 180阅读 0赞

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毫无疑问，数学库是图形程序的基石，是图形程序运行效率的关键之一。一个优秀的数学库可以让图形程序运行得更流畅，甚至要快上几十倍上百倍。有时候替换一条除法运算会带来成倍的效率增长，比如用乘以 1/op 替换 vector 里的 operator /。当然，更高级的优化是使用 SIMD 优化海量运算，这就是本文的中心——SSE/SSE2 优化。

在描述 SSE/SSE2 优化前，我先介绍一般的 vector/matrix 库构造。当然，在 OpenEXR 里已经有一个非常优秀的 Imath 实现了，数学库的实现细节可以参照它。

在图形程序里我们经常会遇到向量运算，这是标准C++编译器所不能直接支持的，如三维空间向量。传统的C图形程序会使用“数组+宏”的实现方式：

typedef float vector[3];

到了C++时代，一般会封装成：

class Vector
    {
    private:
        float x , y , z;
    };

然后加入通常的各种method，如

const float& X( void ) const {
        return x;
    }

标准的向量算法如内积、外积、单位化、长度、运算等等，都可以封装为成员函数。

Vector operator + ( const Vector& a , const float & b ) {
        return Vector( a.x + b , a.y + b , a.z + b );
    }

类似的数学库可以在Aqsis等一些开源的图形程序里找到。不过这些结构并不适合接下来我们要讨论的SSE/SSE2优化。

SSE – Streaming SIMD Extension，是Intel从PIII开始加入的一种x86扩展指令集。在SSE以前，x86的浮点运算都是以栈式FPU完成的，有一定x86汇编经验的人应该不会对那些复杂的fld、fst指令陌生吧。而SSE一方面让浮点运算可以像整数运算的模式、如 add eax , ebx 那样通过直接访问寄存器完成，绕开了讨厌的栈，另一方面引入了SIMD这个概念。SIMD – Single Instruction Multiply Data，顾名思义，它可以同时让一条指令在多个数据上执行，这种体系结构在一度在大型机上非常流行，需要经常进行海量运算的大型机器通常会通过一个数学SIMD虚拟机加快处理速度，比如同时让一组数据执行一个变换，数据的规模有上百万之巨，而SIMD则可以优化数据的存储与运算，减免某些切换Context的开销。

在硬件层面上面支持SIMD，某程度是因游戏需要的驱使，因为越来越多的3D游戏涉及大量的向量操作，一般的浮点运算优化已经不能再适应这种并行运算的需要了，而直接从指令上支持SIMD操作则可以进一步简化向量运算的优化，提高指令执行效率。像 addps 这样的SSE指令，可以并行执行四个32位浮点数的加法运算，而延迟只有4 cycle；相比之下，原来的fadd指令光执行一个32位单精度浮点数加法的延迟已经达到了3 cycle了，还没计算fst等存储指令的延迟。（具体见后面的指令执行单元表）

显然，**SSE能给图形程序带来极大的优化**，其提高远胜于基于整数的MMX与双单元单精度浮点数的3DNow!。但SSE对数据组织的要求是苛刻的，若要发挥SSE的最大威力，我们还需要进行对齐向量数据，把向量对齐到16字节。如果我们正在使用一般的三分量向量，那么就意味着有要浪费四分之一的存储空间来换取速度。当然，这４字节还可以有很多用途，只是你必须处理得非常小心，因为任何运算都将同时应用到四个分量上。

要使用SSE，必须先确认你的编译器是否支持新的指令集。VC6 sp6、VC.net、.net 2003、ICL、GCC 、nasm 都支持SSE指令集。我推荐使用ICL，它的优化做得最棒，生成的指令最紧凑、效率最高。使用SSE有两种途径，**一是直接编写汇编代码**，但难度较大，需要有一定的汇编经验；**二是使用SSE intrinsic**，一种直接在C/C++里使用SSE指令的伪函数调用。在图形运算的核心环节上、如raytrace核心，我建议使用汇编，这样才能极大地体现出SSE的优势、与x86指令混合使用，并充分使用它的并行性。而在大多数场合下则推荐使用intrinsic，它的可读性高，而且编译器会在最后把函数调用替换成SSE指令，这样既不需要写内嵌汇编代码，又可以保证代码的执行效率。

下面将通过几个简单的运算例子介绍SSE intrinsic的使用。首先，使用SSE需要一个新的头文件

#include <intrin.h>

里面定义了一个新的数据类型，\_\_m128，这是一个128位、４个32位单精度浮点数的结构，如果你正在使用VC.net，你会看到它是一个关键字，被当作一种基本数据类型。要是你不打算使用汇编SSE，那么就没必要深究编译器在幕后到底如何处理\_\_m128类型的数据，你只需要知道里面能存放四个float，而这四个float可以进行并行运算。

在定义了\_\_m128后，文件声明一大堆对\_\_m128进行运算的函数，如\_mm\_add\_ps、\_mm\_sub\_ps等等，这就是SSE运算指令的声明。使用SSE优化在这些声明的帮助下变得非常简单，如计算两个向量之和，平时需要每一个元素进行一次加法运算，现在只需要简单地：

__m128 a , b , c;
    c = _mm_add_ps( a , b );
    这样等价于：
    float a[4] , b[4] , c[4];
    for( int i = 0 ; i < 4 ; ++ i )
        c[i] = a[i] + b[i];

但前者的运算是并行的，在一般情况下效率远比后者要高。况且在描述复杂的运算的时候，如：

**a** = **b** \* **c** + **d** / **e**;

则可以直接写成：

__m128 a = _mm_add_ps( _mm_mul_ps( b , c ) , _mm_div_ps( d , e ) );

咋看之下，很多效率至上的人马上就会大叫“昂贵的函数调用啊！Bad smell code!”。其实我正要告诉你，我也是效率至上派的。前面已经说过了，这些看上去貌似函数的调用实际上并非函数，而是所谓intrinsic，它们在编译优化中将被解释为单条或多条SSE指令，而且编译器会自动调节调用顺序以使其最大并行效率。

不过除了直接使用这些intrinsic以外，我们还可以把它们封装到类里面，重载运算符，这样就可以把运算写成可读性更强的算术式。如果你不愿意自己动手封装，也可以使用Intel封装好了的F32vec4类，它提供了完备的运算符重载，完全使用SSE，非常方便。

虽然Intel封装好的类已经很完善了，但还有一大堆数学运算需要我们自己动手进行编写，如内积（点积）和外积（叉积）。

首先来看一个比较实用的运算，求倒数。求倒数在很多数学库里都有专门的优化，通常原理都是先求出一个近似值，然后通过Newton-Raphson逼近法求出较精确值，下面的代码摘自NV的fastmath.cpp:

#define FP_ONE_BITS 0x3F800000
    // r = 1/p
    #define FP_INV(r,p)                                                   \
    {                                                                          \
        int _i = 2 * FP_ONE_BITS - *(int *)&(p);                  \
        r = *(float *)&_i;                                                \
        r = r * (2.0f - (p) * r);                                       \
    }

而在SSE里也提供了两条求倒数的指令rcpss/rcpps（对应的intrinsic是\_mm\_rcp\_ss与\_mm\_rcp\_ps），不过这两条指令求的并非是精确值，而是近似值，所以我们需要对它的结果进行逼近处理。

float __rcp<float>( const float& a ) {
        register float r;
        __m128 rcp = _mm_load_ss( &a );
    
    rcp = _mm_rcp_ss( rcp );
        _mm_store_ss( &r , rcp );
        /* [2 * rcpps(x) - (x * rcpps(x) * rcpps(x))] */
        r = 2.0f * r - ( a * r * r );
        return r;
    }

原理一致，只不过我们还可以用\_mm\_rcp\_ps并行求四分量的倒数。如果你还对SSE的威力有所保留，那我建议你设计一个测试单元测试一下使用除法求倒数与使用SSE求倒数，看效率到底是谁更高、高多少。当然，我自己已经测试过很多次了J。

然后我们把注意力放到一条非常特殊的指令shufps（对应intrinsic是\_mm\_shuffle\_ps）上面。这是一条非常有用的指令，它可以把两个操作数的分量以特定的顺序排列并赋予给目标数。比如

__m128 b = _mm_shuffle_ps( a , a , 0 );

则 b 的所有分量都是 a 中下标为0的分量。第三个参数控制分量分配，是一个8bit的常量，这个常量的1~8位分别控制了从两个操作数中选择分量的情况，具体怎么控制将在后面讨论SSE汇编中一并说明，而在使用intrinsic的时候，最好使用\_MM\_SHUFFLE宏，它可以定义分配情况。下面我们来复习一下叉积的求法。

**c** = **a** x **b**

可以写成：

Vector cross(const Vector& a , const Vector& b ) {
        return Vector(
            ( a[1] * b[2] - a[2] * b[1] ) ,
            ( a[2] * b[0] - a[0] * b[2] ) ,
            ( a[0] * b[1] - a[1] * b[0] ) );
    }

那么写成SSE intrinsic形式则是：

/* cross */
    __m128 _mm_cross_ps( __m128a , __m128 b ) {
        __m128 ea , eb;
        // set to a[1][2][0][3] , b[2][0][1][3]
        ea = _mm_shuffle_ps( a , a , _MM_SHUFFLE( 3 , 0 , 2 , 1 ) );
        eb = _mm_shuffle_ps( b , b , _MM_SHUFFLE( 3 , 1 , 0 , 2 ) );
        // multiply
        __m128 xa = _mm_mul_ps( ea , eb );
        // set to a[2][0][1][3] , b[1][2][0][3]
        a = _mm_shuffle_ps( a , a , _MM_SHUFFLE( 3 , 1 , 0 , 2 ) );
        b = _mm_shuffle_ps( b , b , _MM_SHUFFLE( 3 , 0 , 2 , 1 ) );
        // multiply
        __m128 xb = _mm_mul_ps( a , b );
        // subtract
        return _mm_sub_ps( xa , xb );
    }

这就是shuffle强大的地方，它可以直接在寄存器里直接调整分量的顺序。而且配合\_mm\_movehl\_ps，我们可以轻松解决点积的运算。\_mm\_movehl\_ps把操作数高位两个分量赋予目标数的低位两分量，而目标数的高位两分量值不变，相当于：

a\[0\] = b\[2\];

a\[1\] = b\[3\];

三分量的向量求点积，可以写成：

float dot( const float& a , const float& b ) const {
        return a[0] * b[0] + a[1] * b[1] + a[2] * b[2];
    }

则用SSE intrinsic可以写成：

/* x[0] * x[1] + y[0] * y[1] + z[0] * z[1] */
    __m128 _mm_dot_ps( __m128 x , __m128 y ) {
        __m128 s , r;
        s = _mm_mul_ps( x , y );
        r = _mm_add_ss( s , _mm_movehl_ps( s , s ) );
        r = _mm_add_ss( r , _mm_shuffle_ps( r , r , 1 ) );
        return r;
    }

通过这两个例子，可以留意到向量内元素的垂直相加一般形式，即：

/* x[0] + x[1] + x[2] + x[3] */
    __m128 _mm_sum_ps( __m128 x ) {
        __m128 r;
        r = _mm_add_ps( x , _mm_movehl_ps( x , x ) );
        r = _mm_add_ss( r , _mm_shuffle_ps( r , r , 1 ) );
        return r;
    }

那么通过扩展，可以得到求向量长度的函数，首先是求分量平方和函数：

/* x[0] * x[0] + y[0] * y[0] + z[0] * z[0] */
    __m128 _mm_square_ps( __m128 x ) {
        __m128 s , r;
        s = _mm_mul_ps( x , x );
        r = _mm_add_ss( s , _mm_movehl_ps( s , s ) );
        r = _mm_add_ss( r , _mm_shuffle_ps( r , r , 1 ) );
        return r;
    }

然后就可以直接把结果求平方根，可得长度。解决了长度，接下来则是很重要的单位化了。可以说单位化是最重要的一个函数，它经常被调用到，而函数内的陷阱却又最多。求单位化其实并不难，就是分量除以向量长度，可以写成：

void normalize( const Vector& a ) {
        float len = a[0] * a[0] + a[1] * a[1] + a[2] * a[2];
        if( is_zero( len ) )
            return;
        len = 1 / len;
        a[0] *= len;
        a[1] *= len;
        a[2] *= len;
    }

我和这个家伙打交道已经有差不多七年时间了，所以脾性非常熟悉。首先求分量的平方和，判断是否为0（问我为什么不直接用 if( len == 0 )？好样的，请先去复习一下浮点数的基本知识），然后再求倒数，最后反映到分量上。在把它写成SSE intrinsic格式前，我先引入另外一个能极大提升运算效率的函数，求平方根的倒数。有数值运算编成经验的人都知道，如果说除法是恶魔的话，那么平方根就是撒旦了，而平方根的倒数简直就是撒旦他妈。虽然上面提供了倒数的逼近方法，但仅仅使用它还是绕不开最主要的开销、平方根运算。幸好，SSE提供了一个直接计算平方根倒数近似值的指令，rsqrtss/rsqrtps（即\_mm\_rsqrt\_ss和\_mm\_rsqrt\_ps）。照搬倒数求法，可以轻松得出：/\* r = 1 / sqrt(a) \*/

/* 0.5 * rsqrtss * (3 - x * rsqrtss(x) * rsqrtss(x)) */
    __m128 _mm_rsqrt( __m128a )
    {
        /／ divisor
        static const __m128 _05 = _mm_set1_ps( 0.5f );
        static const __m128 _3 = _mm_set1_ps( 3.f );
        __m128 rsqrt = _mm_rsqrt_ss( a );
        rsqrt =
    _mm_mul_ss(
    _mm_mul_ss( _05 , rsqrt ) ,
    _mm_sub_ss( _3 , _mm_mul_ss( a , _mm_mul_ss( rsqrt , rsqrt ) ) ) );
        return rsqrt;
    }

那么就可以轻松得出单位化向量的函数了：

// normalize & return value
    __m128 _mm_normalize( const __m128a ) {
        // get length square
        __m128l = _mm_square_ps( a );
        // test if length is zero
        if( _mm_iszero_ss( l ) )
            return z;
        // length inverse
        l = _mm_rsqrt( l );
        // shuffle
        l = _mm_shuffle_ps( l , l , 0 );
        // multiply to vector
        return _mm_mul_ps( a , l );
    }

SSE除了以上这些数学运算操作外，还提供了位运算。位运算？想到什么了吗？对！比较与选择。首先来看一个最简单的，求绝对值。通常我们会把 abs 写成非常简洁的形式：

float abs( float a ) {
        a >= 0 ? a : -a;
    }

但当我们已经Pack了一个向量到\_\_m128结构里，而又不希望Unpack他们进行浮点数的比较，那么就可以使用SSE的位操作。

/* abs */
    __m128 _mm_abs_ps( __m128a )
    {
        static const union { int i[4]; __m128m; } __mm_abs_mask_cheat_ps
    = {0x7fffffff, 0x7fffffff, 0x7fffffff, 0x7fffffff};
        return _mm_and_ps( a, __mm_abs_mask_cheat_ps.m );
    }

还记得单精度浮点数的符号存放在什么位上面吗？我们只需把它除掉，然后就可以很轻松地得到了正值了。

图形程序很多时候会用到32位浮点色彩，其值域通常为\[0,1\]，所以clamp函数出现的频率也十分频繁。要将rgba的值同时clamp到值域内，毫无疑问，SSE的并行特性又得到了发挥的机会。先来看cut函数，它负责把超出值域的值干掉，但为了更灵活，我们一次只cut一边的区间，所以cut有两兄弟，分别是locut和hicut。

__m128 _mm_locut_ps( __m128 val , __m128 bound )
    {
        __m128 mask = _mm_cmplt_ps( val , bound );
        return _mm_or_ps( _mm_and_ps( mask , bound ) , _mm_andnot_ps( mask , val ) );
    }
    __m128 _mm_hicut_ps( __m128 val , __m128 bound )
    {
        __m128 mask = _mm_cmpgt_ps( val , bound );
        return _mm_or_ps( _mm_and_ps( mask , bound ) , _mm_andnot_ps( mask , val ) );
    }

\_mm\_cmp\*\*\_ps是一系列的比较函数，非常丰富，也很好用，如果替换成相应的if-else，并行性将被大大削弱。不过\_mm\_cmp\*\*\_ps的最大缺点就是灵活度不够，返回值是一系列位标记，其具体的用法将在SSE汇编中讨论。有了这俩哥们，clamp变得非常简单：

__m128 _mm_clamp_ps( __m128 val , __m128 min , __m128 max )
    {
        return _mm_locut_ps( _mm_hicut_ps( val , max ) , min );
    }

以上只是一些很简单的实现，利用了SSE intrinsic对数学运算进行优化，并尽可能地不分拆向量，这样可以保证8个128位的xmm寄存器可以满足大部分运算。不过SSE intrinsic始终受编译器生成代码的质量好坏影响，没能真正发挥出SSE的全部威力，接下来我们将讨论SSE汇编的用法与优化。