记录几个开平方算法

柔情只为你懂 2022-06-13 07:26 191阅读 0赞

**整数开平方算法:**

本算法只采用移位、加减法、判断和循环实现，因为它不需要浮点运算，也不需要乘除运算，因此可以很方便地运用到各种芯片上去。  
  
  
我们先来看看10进制下是如何手工计算开方的。  
先看下面两个算式，  
x = 10\*p + q (1)  
公式(1)左右平方之后得：  
x^2 = 100\*p^2 + 20pq + q^2 (2)  
现在假设我们知道x^2和p，希望求出q来，求出了q也就求出了x^2的开方x了。  
我们把公式(2)改写为如下格式：  
q = (x^2 - 100\*p^2)/(20\*p+q) (3)  
这个算式左右都有q，因此无法直接计算出q来，因此手工的开方算法和手工除法算法一样有一步需要猜值。  
  
  
我们来一个手工计算的例子：计算1234567890的开方  
  
  
首先我们把这个数两位两位一组分开，计算出最高位为3。也就是(3)中的p，最下面一行的334为余数，也就是公式(3)中的(x^2 - 100\*p^2)近似值  
  
  
3  
\---------------  
| 12 34 56 78 90  
9  
\---------------  
| 3 34  
下面我们要找到一个0-9的数q使它最接近满足公式(3)。我们先把p乘以20写在334左边：  
  
  
3 q  
\---------------  
| 12 34 56 78 90  
9  
\---------------  
6q| 3 34  
我们看到q为5时(60+q\*q)的值最接近334，而且不超过334。于是我们得到：  
  
  
3 5  
\---------------  
| 12 34 56 78 90  
9  
\---------------  
65| 3 34  
| 3 25  
\---------------  
9 56  
接下来就是重复上面的步骤了，这里就不再啰嗦了。  
  
  
这个手工算法其实和10进制关系不大，因此我们可以很容易的把它改为二进制，改为二进制之后，公式(3)就变成了：  
  
  
q = (x^2 - 4\*p^2)/(4\*p+q) (4)  
我们来看一个例子，计算100(二进制1100100)的开方：  
  
  
1 0 1 0  
\---------------  
| 1 10 01 00  
1  
\---------------  
100| 0 10  
| 0 00  
\---------------  
| 10 01  
1001| 10 01  
\---------------  
0 00  
这里每一步不再是把p乘以20了，而是把p乘以4，也就是把p右移两位，而由于q的值只能为0或者1，所以我们只需要判断余数(x^2 - 4\*p^2)和(4\*p+1)的大小关系，如果余数大于等于(4\*p+q)那么该上一个1，否则该上一个0。  
  
  
下面给出完成的C语言程序，其中root表示p，rem表示每步计算之后的余数，divisor表示(4\*p+1)，通过a>>30取a的最高2位，通过a<<=2将计算后的最高2位剔除。其中root的两次<<1相当于4\*p。程序完全是按照手工计算改写的，应该不难理解。  
  
  
unsigned short sqrt(unsigned long a)\{  
unsigned long rem = 0;  
unsigned long root = 0;  
unsigned long divisor = 0;  
for(int i=0; i<16; i++)\{  
root <<= 1;  
rem = ((rem << 2) + (a >> 30));  
a <<= 2;  
divisor = (root<<1) + 1;  
if(divisor <= rem)\{  
rem -= divisor;  
root++;  
\}  
\}  
return (unsigned short)(root);  
\}

**基于二分法的开平方算法**

\#include <stdio.h>  
//求绝对值  
\#define abs(x) (x)>0?(x):(-(x))  
  
int main()\{  
double val;  
double eps;  
//value及精度  
printf("Input $value $eps->");  
scanf("%lf %lf",&val,&eps);  
if(val < 0 )  
\{  
val\*=-1;  
\}  
double low,high;  
if(val < 1)  
\{  
low = val;  
high = 1;  
\}  
else  
\{  
low= 1;  
high = val;  
\}  
while(1)  
\{  
double mid = (high + low)/2;  
double tmp = mid \* mid;  
if((abs(tmp-val))< eps)  
\{  
printf("%f\\n",mid);  
break;  
\}  
if(tmp > val)  
\{  
high = mid;  
\}  
else  
\{  
low = mid;  
\}  
\}  
\}

**神秘的0x5f3759df之卡马克的开平方算法**

float kamake\_sqr(float number) \{

long i;  
float x, y;  
const float f = 1.5F;  
x = number \* 0.5F;  
y = number;  
i = \*(long \*) &y;  
i = 0x5f3759df - (i >> 1);  
y = \*(float \*) &i;  
y = y \* (f - (x \* y \* y));  
y = y \* (f - (x \* y \* y));  
return number \* y;  
\}  
  
main() \{  
printf("sqr(100)=%f", kamake\_sqr(100.0));  
getch();  
\}

输出：sqr(100)=9.999964  
  
  
算法里面求平方根一般采用的是无限逼近的方法，比如牛顿迭代法，  
  
  
比如求5的平方根，选一个猜测值比如2，那么我们可以这么算  
5/2 = 2.5; 2.5+2/2 = 2.25; 5/2.25 = xxx; 2.25+xxx/2 = xxxx ...  
  
  
这样反复迭代下去，结果必定收敛于sqrt(5)  
  
  
卡马克牛就牛在选择了0x5f3759df 这个开始值，使得迭代的时候收敛速度暴涨，对于Quake III所要求的精度10的负三次方，只需要一次迭代就能够得到结果。  
  
  
附加一个小故事：  
  
  
普渡大学的数学家Chris Lomont看了以后觉得有趣，决定要研究一下卡马克弄出来的这个猜测值有什么奥秘。Lomont也是个牛人，在精心研究之后从理论上也推导出一个最佳猜测值，和卡马克的数字非常接近, 0x5f37642f。卡马克真牛，他是外星人吗？  
  
  
传奇并没有在这里结束。Lomont计算出结果以后非常满意，于是拿自己计算出的起始值和卡马克的神秘数字做比赛，看看谁的数字能够更快更精确的求得平方根。结果是卡马克赢了... 谁也不知道卡马克是怎么找到这个数字的。  
  
  
最后Lomont怒了，采用暴力方法一个数字一个数字试过来，终于找到一个比卡马克数字要好上那么一丁点的数字，虽然实际上这两个数字所产生的结果非常近似，这个暴力得出的数字是0x5f375a86。