最小二乘法

朴灿烈づ我的快乐病毒、 2022-06-14 00:19 170阅读 0赞

**一.定义**

先看下百度百科的介绍：最小二乘法（又称最小平方法）是一种[数学][Link 1]优化技术。它通过最小化[误差][Link 2]的平方和寻找数据的最佳[函数][Link 3]匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间[误差][Link 2]的平方和为最小。最小二乘法还可用于[曲线拟合][Link 4]。其他一些优化问题也可通过最小化[能量][Link 5]或最大化熵用最小二乘法来表达。

通过这段描述可以看出来，最小二乘法也是一种优化方法，求得目标函数的最优值。并且也可以用于曲线拟合，来解决回归问题。难怪《统计学习方法》中提到，回归学习最常用的损失函数是平方损失函数，在此情况下，回归问题可以著名的最小二乘法来解决。看来最小二乘法果然是机器学习领域做有名和有效的算法之一。

**二. 最小二乘法**

我们以最简单的一元线性模型来解释最小二乘法。什么是一元线性模型呢？ 监督学习中，如果预测的变量是离散的，我们称其为分类（如决策树，支持向量机等），如果预测的变量是连续的，我们称其为回归。回归分析中，如果只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析。如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量和自变量之间是线性关系，则称为多元线性回归分析。对于二维空间线性是一条直线；对于三维空间线性是一个平面，对于多维空间线性是一个超平面...

对于一元线性回归模型, 假设从总体中获取了n组观察值（X1，Y1），（X2，Y2）， …，（Xn，Yn）。对于平面中的这n个点，可以使用无数条曲线来拟合。要求样本回归函数尽可能好地拟合这组值。综合起来看，这条直线处于样本数据的中心位置最合理。 选择最佳拟合曲线的标准可以确定为：使总的拟合误差（即总残差）达到最小。有以下三个标准可以选择：

（1）用“残差和最小”确定直线位置是一个途径。但很快发现计算“残差和”存在相互抵消的问题。  
（2）用“残差绝对值和最小”确定直线位置也是一个途径。但绝对值的计算比较麻烦。  
（3）最小二乘法的原则是以“残差平方和最小”确定直线位置。用最小二乘法除了计算比较方便外，得到的估计量还具有优良特性。这种方法对异常值非常敏感。

最常用的是普通最小二乘法（ Ordinary Least Square，OLS）：所选择的回归模型应该使所有观察值的残差平方和达到最小。（Q为残差平方和）- 即采用平方损失函数。

样本回归模型：

![1354428434_7303.jpg][] 其中ei为样本（Xi, Yi）的误差

平方损失函数：

![1354428515_1582.jpg][]

则通过Q最小确定这条直线，即确定![1354428590_9906.jpg][]，以![1354428601_4150.jpg][]为变量，把它们看作是Q的函数，就变成了一个求极值的问题，可以通过求导数得到。求Q对两个待估参数的偏导数：

![1354428700_9699.jpg][]

根据数学知识我们知道，函数的极值点为偏导为0的点。

解得：

![1354428824_3244.jpg][]

这就是最小二乘法的解法，就是求得平方损失函数的极值点。

**三. C++实现代码**

![复制代码][copycode.gif]

1 /*
     2 最小二乘法C++实现
     3 参数1为输入文件
     4 输入 ： x
     5 输出： 预测的y  
     6 */
     7 #include<iostream>
     8 #include<fstream>
     9 #include<vector>
    10 using namespace std;
    11 
    12 class LeastSquare{
    13     double a, b;
    14 public:
    15     LeastSquare(const vector<double>& x, const vector<double>& y)
    16     {
    17         double t1=0, t2=0, t3=0, t4=0;
    18         for(int i=0; i<x.size(); ++i)
    19         {
    20             t1 += x[i]*x[i];
    21             t2 += x[i];
    22             t3 += x[i]*y[i];
    23             t4 += y[i];
    24         }
    25         a = (t3*x.size() - t2*t4) / (t1*x.size() - t2*t2);  // 求得β1 
    26         b = (t1*t4 - t2*t3) / (t1*x.size() - t2*t2);        // 求得β2
    27     }
    28 
    29     double getY(const double x) const
    30     {
    31         return a*x + b;
    32     }
    33 
    34     void print() const
    35     {
    36         cout<<"y = "<<a<<"x + "<<b<<"\n";
    37     }
    38 
    39 };
    40 
    41 int main(int argc, char *argv[])
    42 {
    43     if(argc != 2)
    44     {
    45         cout<<"Usage: DataFile.txt"<<endl;
    46         return -1;
    47     }
    48     else
    49     {
    50         vector<double> x;
    51         ifstream in(argv[1]);
    52         for(double d; in>>d; )
    53             x.push_back(d);
    54         int sz = x.size();
    55         vector<double> y(x.begin()+sz/2, x.end());
    56         x.resize(sz/2);
    57         LeastSquare ls(x, y);
    58         ls.print();
    59         
    60         cout<<"Input x:\n";
    61         double x0;
    62         while(cin>>x0)
    63         {
    64             cout<<"y = "<<ls.getY(x0)<<endl;
    65             cout<<"Input x:\n";
    66         }
    67     }
    68 }

![复制代码][copycode.gif]

**四. 最小二乘法与梯度下降法**

最小二乘法跟梯度下降法都是通过求导来求损失函数的最小值，那它们有什么区别呢。

相同

1.本质相同：两种方法都是在给定已知数据（independent & dependent variables）的前提下对dependent variables算出出一个一般性的估值函数。然后对给定新数据的dependent variables进行估算。  
　　2.目标相同：都是在已知数据的框架内，使得估算值与实际值的总平方差尽量更小（事实上未必一定要使用平方），估算值与实际值的总平方差的公式为：

其中为第i组数据的independent variable，为第i组数据的dependent variable，为系数向量。

不同  
　　1.实现方法和结果不同：最小二乘法是直接对求导找出**全局最小**，是非迭代法。而梯度下降法是一种迭代法，先给定一个，然后向下降最快的方向调整，在若干次迭代之后找到**局部最小**。梯度下降法的缺点是到最小点的时候收敛速度变慢，并且对初始点的选择极为敏感，其改进大多是在这两方面下功夫。

参考： http://blog.csdn.net/qll125596718/article/details/8248249

[Link 1]: http://baike.baidu.com/view/1284.htm
[Link 2]: http://baike.baidu.com/view/40051.htm
[Link 3]: http://baike.baidu.com/view/15061.htm
[Link 4]: http://baike.baidu.com/view/325179.htm
[Link 5]: http://baike.baidu.com/view/14394.htm
[1354428434_7303.jpg]: https://img-my.csdn.net/uploads/201212/02/1354428434_7303.jpg
[1354428515_1582.jpg]: https://img-my.csdn.net/uploads/201212/02/1354428515_1582.jpg
[1354428590_9906.jpg]: https://img-my.csdn.net/uploads/201212/02/1354428590_9906.jpg
[1354428601_4150.jpg]: https://img-my.csdn.net/uploads/201212/02/1354428601_4150.jpg
[1354428700_9699.jpg]: https://img-my.csdn.net/uploads/201212/02/1354428700_9699.jpg
[1354428824_3244.jpg]: https://img-my.csdn.net/uploads/201212/02/1354428824_3244.jpg
[copycode.gif]: /images/20220614/fc4ea00dc3484f319072489d1cf7cc42.png