POJ 2914 Minimum Cut （最小割模板题）

矫情吗；* 2022-06-15 09:07 164阅读 0赞

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题解：最小割模板题。

可以用网络流？不行的。枚举举汇点要O(n)，最短增广路最大流算法求最大流是O(n2m)复杂度，在复杂网络中O(m)=O(n2)，算法总复杂度就是O(n5)；就算你用其他求最大流的算法，算法总复杂度也要O(n4)。所以用网络流算法求解最小割集复杂度不会低于O(n4)。所以就要用Stoer\_Wagner算法。算法复杂度为O(n3)。如果在prim中加堆优化，复杂度会降为O(n2logn)。

讲一下，Stoer\_Wagner算法：  
Stoer\_Wagner算法是求无向图全局最小割的一个有效算法，最坏时间复杂度O(n3)，主要思想是先找任意2点的最小割，然后记录下这个最小割，再合并这2个点。这样经过n−1次寻找任意2点最小割，每次更新全局最小割，最后整张图缩成一个点，算法结束，所保存下来的最小割就是全局最小割。

Stoer−Wagner的正确性：  
设S和T是图G的2个顶点，图G的全局最小割要么是S−T的最小割，此时S和T在G的全局最小割的2个不同的子集中，要么就是G中将S和T合并得的的新图G′的全局最小割，此时S和T在G的全局最小割的同一个子集中。所以只需要不断求出当前图中任意2个点的最小割，然后合并这2<script type="math/tex" id="MathJax-Element-130">2</script>个点。不断缩小图的规模求得最小割。

代码：

//#include <bits/stdc++.h>
    #include <iostream>
    #include <cstdio>
    #include <algorithm>
    #include <cstring>
    #define N 500+10
    #define INF 0x3f3f3f3f
    using namespace std;
    
    int mp[N][N];
    int v[N]; // v[i]代表节点i合并到的顶点
    int dis[N];//dis数组用来表示该点与A集合中所有点之间的边的长度之和
    bool vis[N]; //是否已并入集合
    int n,m;
    
    int Stoer_Wagner(int n)
    {
        int i, j, res = INF;
        for(i = 0; i < n; i ++)
            v[i] = i;保存顶点 ，固定顶点为自己
        while(n > 1)
        {
            //pre用来表示之前加入A集合的点
            //我们每次都以0点为第一个加入A集合的点 
            int k = 1, pre = 0;
            for(i = 1; i < n; i ++){
                dis[v[i]] = mp[v[0]][v[i]];
                if(dis[v[i]] > dis[v[k]])
                    k = i;
            }
            memset(vis, 0, sizeof(vis));
            vis[v[0]] = true;//标记该点已经加入A集合  
            for(i = 1; i < n; i ++)
            {
                if(i == n-1)//最后一次加入的点就要更新答案
                {
                    res = min(res, dis[v[k]]);
                    for(j = 0; j < n; j ++) //将该点合并到pre上，相应的边权就要合并  
                    {
                        mp[v[pre]][v[j]] += mp[v[j]][v[k]];
                        mp[v[j]][v[pre]] += mp[v[j]][v[k]];
                    }
                    v[k] = v[-- n];//删除最后一个点
                }
                vis[v[k]] = true;
                pre = k;
                k = -1;
                for(j = 1; j < n; j ++)
                    if(!vis[v[j]])
                    {
                        //将上次求的 k 加入集合，合并与它相邻的边到割集 
                        dis[v[j]] += mp[v[pre]][v[j]];
                        if(k == -1 || dis[v[k]] < dis[v[j]])
                            k = j;
                    }
            }
        }
        return res;
    }
    
    int main()
    {
        while(~scanf("%d%d", &n, &m))
        {
            memset(mp, 0, sizeof(mp));
            int a, b, c;
            for(int i = 0; i < m; i++)
            {
                scanf("%d%d%d", &a, &b, &c); //从 0 开始 
                mp[a][b] += c;
                mp[b][a] += c;
            }
            printf("%d\n", Stoer_Wagner(n));
        }
        return 0;
    }

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