数据白化

た入场券 2022-06-15 12:17 67阅读 0赞

出处：[http://blog.163.com/qiu\_zhi2008/blog/static/60140977201262132339388/][http_blog.163.com_qiu_zhi2008_blog_static_60140977201262132339388]

在CC的系统芯片中都有数据白化功能.whiting的中文件直译为白化,真实的意思应该是**数据加噪.**

白化处理主要是为了避免在传输过程中出现过长的连续0或1的位流模式。基带处理器需要从接收到的模拟数据信号中判断数据是0还是1，但过长的连续0或1位流会造成问题。因为**在接收到的模拟数据信号中并不存在象直流信号中那样的参考点，因此必须依靠接收到的最后几个传输信号进行校正。任何连续的0或1的长序列位流串都可能导致校正失败。因此需要采用数据白化技术对信号进行扰码处理，以大大降低出现长序列0或1位流串的可能性。**

**白化的原理：**

随机向量的“零均值化”和“空间解相关”（也叫白化）是最常用的两个预处理过程，其中“零均值化”比较简单，而“空间解相关”涉及一些矩阵的知识。

设有均值为零的随机信号向量 *x* ，其**自相关矩阵**为

*Rx*=E\[*xxT*\] ≠ I

很明显， *Rx*是对称矩阵，且是非负定的（所有特征值都大于或等于0）。

现在，寻找一个线性变换 *B* 对 *x* 进行变换，即 *y* = *Bx* ，使得

*Ry*= *B* E\[*xxT*\]*BT*= *I*

上式的含义是：*y*的各分量是不相关的，即 E\[*yi yj*\]=δ ij 。通常将这个过程称为“空间解相关”、“空间白化”或“球化”。 *B* 称为空间解相关矩阵（空间白化矩阵、球化矩阵）。

由 *Rx*的性质可知，其存在特征值分解：

*Rx* = *Q* Σ *QT*

*Q* 是正交矩阵， Σ 是对角矩阵，其对角元素是 *Rx* 特征值。

令

*B* = Σ −1/2*QT*(1)

则有

*Ry* =(Σ −1/2 *QT* ) *Q* Σ *QT*(Σ −1/2 *QT*) *T* = *I*

因此，通过矩阵 *B* 线性变换后， *y* 的各个分量变得不相关了。

对于 *Rx* 来说，特征值分解和奇异值分解是等价的，而**奇异值分解的数值算法比特征值分解的数值算法具有更好的稳定性**，因此一般都用奇异值分解来构造白化矩阵 *B* 。

术语**“白”**来自于白噪声的能谱在所有频率上是一个常数这一事实，就像含有各种颜色的白光谱一样。**白化的本质就是去相关加缩放。从上述原理可以看出，白化的过程跟PCA是一样的**，经过PCA处理过之后的数据是不相关的，且具有压缩数据的作用，但只能保证各分量信号之间“不相关”，不能保证的“独立性”，，但它能够简化盲分离算法或改善分离算法的性能。

此外，白化矩阵*B* 肯定不是唯一的。容易看到，任何矩阵 *UB* （ *U* 为正交矩阵）也是白化矩阵。这是因为对 *y = UBx* ，下式成立：

E\[*yyT* \]=*UB* E\[*xxT* \]*BTUT* = *UIUT* = *I*

一个重要的例子是矩阵 QΣ −1/2 *QT* 。这也是一个白化矩阵，因为它是用正交矩阵 *Q* 左乘式[(1)][1] 的 *B* 得到的。这个矩阵称为 *Cx*的逆均方根，并用 *Cx*−1/2表示，因为它来自于均方根概念向矩阵的标准推广。

**图像数据的白化代码（matlab）：**

该pca函数接口形式为：  \[Y,V,E,D\] = pca(X)

**其中X为输入数据，X的每一列是一个输入样本。**返回值Y是对X进行PCA分析后的投影矩阵。**V是与X有关的协方差矩阵特征向量的白化矩阵，**E是对应的特征向量（列）构成的矩阵，D是对应的特征值构成的对角矩阵（特征值处于对角线上）。返回值中的白化矩阵，特征向量和特征值都是按照对应特征值大小进行排序后了的。

function \[Y,V,E,D\] = pca(X)  
% do PCA on image patches  
% INPUT variables:  
% Xmatrix with image patches as columns  
% OUTPUT variables:  
% Ythe project matrix of the input data X without whiting  
% Vwhitening matrix  
% Eprincipal component transformation (orthogonal)  
% Dvariances of the principal components  
  
%去除直流成分  
X = X-ones(size(X,1),1)\*mean(X);  
%其中r=size(A,1)该语句返回的时矩阵A的行数，c=size(A,2) 该语句返回的时矩阵A的列%数  
  
% Calculate the eigenvalues and eigenvectors of the new covariance matrix.  
covarianceMatrix = X\*X'/size(X,2); % 求出其协方差矩阵

%E是特征向量构成，它的每一列是特征向量，D是特征值构成的对角矩阵  
%这些特征值和特征向量都没有经过排序  
\[E, D\] = eig(covarianceMatrix);

% Sort the eigenvalues  and recompute matrices  
% 因为sort函数是升序排列，而需要的是降序排列，所以先取负号,diag(a)是取出a的对角元素构成  
% 一个列向量，这里的dummy是降序排列后的向量，order是其排列顺序  
\[dummy,order\] = sort(diag(-D));  
E = E(:,order);%将特征向量按照特征值大小进行降序排列，每一列是一个特征向量  
Y = E'\*X;  
d = diag(D); %d是一个列向量

%dsqrtinv是列向量，特征值开根号后取倒,仍然是与特征值有关的列向量  
%其实就是求开根号后的逆矩阵  
dsqrtinv = real(d.^(-0.5));  
Dsqrtinv = diag(dsqrtinv(order));%是一个对角矩阵，矩阵中的元素时按降序排列好了的特征值（经过取根号倒后）  
D = diag(d(order));%D是一个对角矩阵，其对角元素由特征值从大到小构成  
V = Dsqrtinv\*E';%特征值矩阵乘以特征向量矩阵  
end

**在进行 ICA或者ISA处理之前**，首先要对训练样本图像集进行预处理，包括去均值和白化，分为两步进行：**首先要对观测数据阵X进行主成分分析，再对X进行白化。**

1.对X进行主成分分析

求X的协方差矩阵，如下式：

C = X \* X’；

对C进行奇异值分解，如下式：

C = U\*D\*U’；

式中D为特征值的对角阵**，U为C的奇异值分解中的左奇异阵，U的各个分量u1,u2,...,um为C的特征向量。**

2. 对X进行白化

观测数据阵X的白化过程如下：

Z = M \* X；

上式中的M为白化矩阵，M = inv(sqrt(D)) \* U'，其中D极为X的协方差矩阵C的奇异值分解中的特征根对角阵。Z即为白化后的数据阵。

C语言代码：

unsigned short whiting\_data(unsigned char \*data, unsigned short whiting\_pn9)\{  
unsigned char i, c;  
\*data ^= (whiting\_pn9&0xFF);  
for(i=0; i<8; i++)\{  
c = whiting\_pn9 & 0x21;  
whiting\_pn9 >>= 1;  
if ((c==0x21)||(c==0))\{  
whiting\_pn9 &= 0x0FF;  
\}else\{  
whiting\_pn9 |= 0x100;  
\}  
\}  
return whiting\_pn9;  
\}  
  
  
// 数据串白化处理  
void whiting\_buff(unsigned char \*buff, unsigned short len)  
\{  
unsigned short whiting\_pn9;  
whiting\_pn9 = 0x1FF;  
while (len--)\{  
whiting\_pn9 = whiting\_data(buff++, whiting\_pn9);  
\}  
\}

[http_blog.163.com_qiu_zhi2008_blog_static_60140977201262132339388]: http://blog.163.com/qiu_zhi2008/blog/static/60140977201262132339388/
[1]: http://chunqiu.blog.ustc.edu.cn/?p=170#mjx-eqn-eqB