关于多元正态分布的条件概率密度

朴灿烈づ我的快乐病毒、 2022-07-13 13:16 425阅读 0赞

**原文来师兄的博客：[http://blog.csdn.net/wjj5881005/article/details/53320403][http_blog.csdn.net_wjj5881005_article_details_53320403]**

*  多元正态分布
 *  多元正态分布的条件密度

# 多元正态分布 #

多元正态分布的密度函数如下 ：

fx(x1,...xn)=1(2π)k√|Σ|1/2exp(−12(x−μ)TΣ−1(x−μ)) (1)  
其对应的矩母函数（也有称动差函数）为  exp(μTt\+12tTΣt) 。事实上，如果随机向量  \[X1,...Xn\] 满足上面的动差函数，那么我们就称随机向量  \[X1,...Xn\] 服从多元高斯分布。具体地证明可以看 [这里][Link 1]。

# 多元正态分布的条件密度 #

令随机向量\[X1,...Xn\]服从多元高斯分布。我们可以推导Xn在给定X1,...Xn−1的情况下的条件密度分布：

f(xn|x1,...,xn−1)=f(x1,...,xn−1,xn)f(x1,...,xn−1) (2)，  
其中  f(x1,...,xn)=(2π)−n/2(|Σ|−1/2)exp\[−12∑ni,j=1yiqijyj\] (3)  
其中  Q=Σ−1=\[qij\],yi=xi−μi 。同样地，  
 f(x1,...,xn−1)=∫∞∞f(x1,...,xn−1,xn)dxn=B(y1,...,yn−1) (4).  
现在我们将公式(3)中的求和项进行分解，有：  
 ∑ni,j=1yiqijyj=∑n−1i,j=1yiqijyj\+yn∑n−1j=1qnjyj\+yn∑n−1i=1qinyj\+qnny2n (5)  
因此，最终地条件分布具有如下的形式：  
 A(y1,...,yn−1)B(y1,...,yn−1)exp\[−(Cy2n\+D(y1,...,yn−1)yn)\] (6)  
其中  C=(1/2)qnn ，因为  Q=Σ−1 是对称矩阵，所以  D=∑n−1j=1qnjyj=∑n−1i=1qinyi .(6)式又可以进一步表示称如下的式子：  
 \[ABexp(DD24C)\]exp\[−(yn\+D2C)2\]1C (7)  
从公式(7)很容看出  xn 的条件密度函数是服从正态分布的。  
所以条件分布的方差为：  2Var(Xn|X1,...,Xn−1)=1/C ，进一步有：  Var(Xn|X1,...,Xn−1)=12C=1qnn  
均值为：  
 E(Xn|X1,...,Xn−1)=μn−D2C=μn−1qnn∑n−1j=1qnj(Xj−μj)  
这就说明了再抽样多元正态分布时，如果已知了其它维度的随机变量值， **剩下的那个维度的随机变量也是服从正态分布**。

[http_blog.csdn.net_wjj5881005_article_details_53320403]: http://blog.csdn.net/wjj5881005/article/details/53320403
[Link 1]: http://101.96.10.62/www.math.uiuc.edu/~r-ash/Stat/StatLec21-25.pdf