深入理解红黑树

Love The Way You Lie 2022-07-16 04:14 198阅读 0赞

本文参考：  
I、 The Art of Computer Programming Volume I  
II、 Introduction to Algorithms, Second Edition  
III、The Annotated STL Sources  
IV、 Wikipedia  
V、 Algorithms In C Third Edition

VI、 本人写的关于红黑树的前三篇文章：

第一篇：教你透彻了解红黑树：  
[http://blog.csdn.net/v\_JULY\_v/archive/2010/12/29/6105630.aspx][http_blog.csdn.net_v_JULY_v_archive_2010_12_29_6105630.aspx]  
第二篇：红黑树[算法][Link 1]的层层剖析与逐步实现  
[http://blog.csdn.net/v\_JULY\_v/archive/2010/12/31/6109153.aspx][http_blog.csdn.net_v_JULY_v_archive_2010_12_31_6109153.aspx]  
第三篇：教你彻底实现红黑树：红黑树的c源码实现与剖析  
[http://blog.csdn.net/v\_JULY\_v/archive/2011/01/03/6114226.aspx][http_blog.csdn.net_v_JULY_v_archive_2011_01_03_6114226.aspx]

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前言：  
1、有读者反应，说看了我的前几篇文章，对红黑树的了解还是不够透彻。  
2、我个人觉得，如果我一步一步，用图+代码来阐述各种插入、删除情况，可能会更直观易懂。  
3、既然写了红黑树，那么我就一定要把它真正写好，让读者真正彻底明白红黑树。

本文相对我前面红黑树相关的3篇文章，主要有以下几点改进：  
1.图、文字叙述、代码编写，彼此对应，明朗而清晰。  
2.宏观总结，红黑树的性质与插入、删除情况的认识。  
3.代码来的更直接，结合图，给你最直观的感受，彻底明白红黑树。

ok，首先，以下几点，你现在应该是要清楚明白了的：  
I、红黑树的五个性质：  
1）每个结点要么是红的，要么是黑的。  
2）根结点是黑的。  
3）每个叶结点，即空结点（NIL）是黑的。  
4）如果一个结点是红的，那么它的俩个儿子都是黑的。  
5）对每个结点，从该结点到其子孙结点的所有路径上包含相同数目的黑结点。  
![8394323_1294495427BREm.jpg][]

II、红黑树插入的几种情况：  
情况1，z的叔叔y是红色的。  
情况2：z的叔叔y是黑色的，且z是右孩子  
情况3：z的叔叔y是黑色的，且z是左孩子

III、红黑树删除的几种情况。  
情况1：x的兄弟w是红色的。  
情况2：x的兄弟w是黑色的，且w的俩个孩子都是黑色的。  
情况3：x的兄弟w是黑色的，且w的左孩子是红色，w的右孩子是黑色。  
情况4：x的兄弟w是黑色的，且w的右孩子是红色的。

除此之外，还得明确一点：  
IV、我们知道，红黑树插入、或删除结点后，  
可能会违背、或破坏红黑树的原有的性质，  
所以为了使插入、或删除结点后的树依然维持为一棵新的红黑树，  
那就要做俩方面的工作：  
1、部分结点颜色，重新着色  
2、调整部分指针的指向，即左旋、右旋。

V、并区别以下俩种操作：  
1)红黑树插入、删除结点的操作，RB-INSERT(T, z)，RB-DELETE(T, z)  
2).红黑树已经插入、删除结点之后，  
为了保持红黑树原有的红黑性质而做的恢复与保持红黑性质的操作。  
如RB-INSERT-FIXUP(T, z)，RB-DELETE-FIXUP(T, x)

以上这5点，我已经在我前面的2篇文章，都已阐述过不少次了，希望，你现在已经透彻明了。

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**本文，着重图解分析红黑树插入、删除结点后为了维持红黑性质而做修复工作的各种情况。**  
\[下文各种插入、删除的情况，与我的第二篇文章，红黑树算法的实现与剖析相对应\]

ok，开始。  
**一、在下面的分析中，我们约定：**  
要插入的节点为，N  
父亲节点，P  
祖父节点，G  
叔叔节点，U  
兄弟节点，S

如下图所示，找一个节点的祖父和叔叔节点:  
node grandparent(node n) //祖父

\{  
return n->parent->parent;  
\}  
  
node uncle(node n) //叔叔

\{  
if (n->parent == grandparent(n)->left)  
return grandparent(n)->right;  
else  
return grandparent(n)->left;  
\}

![8394323_1294495426lkGg.jpg][]

**二、红黑树插入的几种情况  
情形1: 新节点N位于树的根上，没有父节点**  
void insert\_case1(node n) \{  
if (n->parent == NULL)  
n->color = BLACK;  
else  
insert\_case2(n);  
\}

**情形2: 新节点的父节点P是黑色**  
void insert\_case2(node n) \{  
if (n->parent->color == BLACK)  
return; /\* 树仍旧有效 \*/  
else  
insert\_case3(n);  
\}

![8394323_12944954255Z35.jpg][]

**情形3:父节点P、叔叔节点U，都为红色，**  
\[对应第二篇文章中，的情况1：z的叔叔是红色的。\]  
void insert\_case3(node n) \{  
if (uncle(n) != NULL && uncle(n)->color == RED) \{  
n->parent->color = BLACK;  
uncle(n)->color = BLACK;  
grandparent(n)->color = RED;  
insert\_case1(grandparent(n)); //因为祖父节点可能是红色的，违反性质4，递归情形1.  
\}  
else  
insert\_case4(n); //否则，叔叔是黑色的，转到下述情形4处理。

![8394323_129449542512Dx.jpg][]

此时新插入节点N做为P的左子节点或右子节点都属于上述**情形3**,上图仅显示N做为P左子的情形。

**情形4: 父节点P是红色，叔叔节点U是黑色或NIL;**  
插入节点**N是其父节点P的右孩子**，而父节点P又是其父节点的左孩子。  
\[对应我第二篇文章中，的情况2：z的叔叔是黑色的，且z是右孩子\]  
void insert\_case4(node n) \{  
if (n == n->parent->right && n->parent == grandparent(n)->left) \{  
rotate\_left(n->parent);  
n = n->left;  
\} else if (n == n->parent->left && n->parent == grandparent(n)->right) \{  
rotate\_right(n->parent);  
n = n->right;  
\}  
insert\_case5(n); //转到下述情形5处理。

![8394323_1294495425ibdd.jpg][]

**情形5: 父节点P是红色，而叔父节点U 是黑色或NIL，**  
要插入的节点**N 是其父节点的左孩子**，而父节点P又是其父G的左孩子。  
\[对应我第二篇文章中，情况3：z的叔叔是黑色的，且z是左孩子。\]  
void insert\_case5(node n) \{  
n->parent->color = BLACK;  
grandparent(n)->color = RED;  
if (n == n->parent->left && n->parent == grandparent(n)->left) \{  
rotate\_right(grandparent(n));  
\} else \{  
/\* 反情况，N 是其父节点的右孩子，而父节点P又是其父G的右孩子 \*/  
rotate\_left(grandparent(n));  
\}  
\}

![8394323_12944954245E2h.jpg][]

**三、红黑树删除的几种情况**  
上文我们约定，兄弟节点设为S，我们使用下述函数找到兄弟节点:  
struct node \* sibling(struct node \*n) //找兄弟节点  
\{  
if (n == n->parent->left)  
return n->parent->right;  
else  
return n->parent->left;  
\}

**情况1: N 是新的根。**  
void  
delete\_case1(struct node \*n)  
\{  
if (n->parent != NULL)  
delete\_case2(n);  
\}  
![8394323_1294495424Fet7.jpg][]

**情形2：兄弟节点S是红色**  
\[对应我第二篇文章中，情况1：x的兄弟w是红色的。\]  
void delete\_case2(struct node \*n)  
\{  
struct node \*s = sibling(n);  
  
if (s->color == RED) \{  
n->parent->color = RED;  
s->color = BLACK;  
if (n == n->parent->left)  
rotate\_left(n->parent); //左旋  
else  
rotate\_right(n->parent);  
\}  
delete\_case3(n);  
\}

![8394323_1294495423pyuy.jpg][]

**情况 3: 兄弟节点S是黑色的，且S的俩个儿子都是黑色的。但N的父节点P，是黑色。**  
\[对应我第二篇文章中，情况2：x的兄弟w是黑色的，且兄弟w的俩个儿子都是黑色的。  
(这里，父节点P为黑)\]  
void delete\_case3(struct node \*n)  
\{  
struct node \*s = sibling(n);  
  
if ((n->parent->color == BLACK) &&  
(s->color == BLACK) &&  
(s->left->color == BLACK) &&  
(s->right->color == BLACK)) \{  
s->color = RED;  
delete\_case1(n->parent);  
\} else  
delete\_case4(n);  
\}

![8394323_1294495423M5Bq.jpg][]

**情况4:** 兄弟节点**S 是黑色的、S 的儿子也都是黑色的，但是 N 的父亲P，是红色。**  
\[还是对应我第二篇文章中，情况2：x的兄弟w是黑色的，且w的俩个孩子都是黑色的。  
(这里，父节点P为红)\]  
void delete\_case4(struct node \*n)  
\{  
struct node \*s = sibling(n);  
  
if ((n->parent->color == RED) &&  
(s->color == BLACK) &&  
(s->left->color == BLACK) &&  
(s->right->color == BLACK)) \{  
s->color = RED;  
n->parent->color = BLACK;  
\} else  
delete\_case5(n);  
\}

![8394323_129449542350bl.jpg][]

**情况5: 兄弟S为黑色，S 的左儿子是红色，S 的右儿子是黑色，而N是它父亲的左儿子。**  
//此种情况，最后转化到下面的情况6。  
\[对应我第二篇文章中，情况3：x的兄弟w是黑色的，w的左孩子是红色，w的右孩子是黑色。\]  
void delete\_case5(struct node \*n)  
\{  
struct node \*s = sibling(n);  
  
if (s->color == BLACK)  
if ((n == n->parent->left) &&  
(s->right->color == BLACK) &&  
(s->left->color == RED)) \{  
// this last test is trivial too due to cases 2-4.  
s->color = RED;  
s->left->color = BLACK;  
rotate\_right(s);  
\} else if ((n == n->parent->right) &&  
(s->left->color == BLACK) &&  
(s->right->color == RED)) \{  
// this last test is trivial too due to cases 2-4.  
s->color = RED;  
s->right->color = BLACK;  
rotate\_left(s);  
\}  
\}  
delete\_case6(n); //转到情况6。

![8394323_12944954228IIA.jpg][]

**情况6: 兄弟节点S是黑色，S的右儿子是红色，而 N 是它父亲的左儿子。**  
\[对应我第二篇文章中，情况4:x的兄弟w是黑色的，且w的右孩子时红色的。\]  
void delete\_case6(struct node \*n)  
\{  
struct node \*s = sibling(n);  
  
s->color = n->parent->color;  
n->parent->color = BLACK;  
  
if (n == n->parent->left) \{  
s->right->color = BLACK;  
rotate\_left(n->parent);  
\} else \{  
s->left->color = BLACK;  
rotate\_right(n->parent);  
\}  
\}  
![8394323_1294495422E1VW.jpg][]

//呵呵，画这12张图，直接从中午画到了晚上。希望，此文能让你明白。

**四、红黑树的插入、删除情况时间复杂度的分析**  
因为每一个红黑树也是一个特化的二叉查找树，  
因此红黑树上的只读操作与普通二叉查找树上的只读操作相同。  
然而，在红黑树上进行插入操作和删除操作会导致不再符合红黑树的性质。

恢复红黑树的属性需要少量(O(log n))的颜色变更(实际是非常快速的)和  
不超过三次树旋转(对于插入操作是两次)。  
虽然插入和删除很复杂，但操作时间仍可以保持为 O(log n) 次。

![8394323_1294495421izYI.jpg][]  
ok，完。

后记：  
此红黑树系列，前前后后，已经写了4篇文章，如果读者读完了这4篇文章，  
对红黑树有一个相对之前来说，比较透彻的理解，  
那么，也不枉费，我花这么多篇幅、花好几个钟头去画红黑树了。

真正理解一个[数据结构][Link 1]、算法，最紧要的还是真正待用、实践的时候体会。  
欢迎，各位，将现在、或以后学习、工作中运用此红黑树结构、算法的经验与我分享。  
谢谢。:D。  
\----------------------------------------

[http_blog.csdn.net_v_JULY_v_archive_2010_12_29_6105630.aspx]: http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2010/12/29/6105630.aspx
[Link 1]: http://lib.csdn.net/base/datastructure
[http_blog.csdn.net_v_JULY_v_archive_2010_12_31_6109153.aspx]: http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2010/12/31/6109153.aspx
[http_blog.csdn.net_v_JULY_v_archive_2011_01_03_6114226.aspx]: http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/03/6114226.aspx
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