平面最近点对问题求解

朴灿烈づ我的快乐病毒、 2022-07-20 12:24 243阅读 0赞

# 平面最近点对问题求解 #

问题描述：

> 最近点对问题是指求解平面点集n个点中距离最近的两个点间的问题。为简单起见，在二维坐标平面来考虑该问题。如果说讨论的点以标准二维坐标给出，则有点![这里写图片描述][20160725010133719]和![这里写图片描述][20160725010146610],那么这两点之间的距离![这里写图片描述][20160725010202673]。通过这个公式，我们可以计算平面上任意两点之间的距离。

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本章主要通过两种方法来求解

1.  蛮力法
2.  分治法

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## 1.蛮力法 ##

顾名思义，蛮力法指的就是通过遍历所有解之后通过对比求出最近点对问题。  
基本思路：

> 对平面中的n个点两两进行组队，计算并记录最小距离。这里需要注意两个问题，其一，点对之间的距离是没有方向性的，即dis( Pi , Pj )=dis,( Pj , Pi ),所以任意两点只需要计算一次即可。其二，计算的时候如果只是求解大小，可以不同开方，这样有一定的优化，简化了公式的计算。

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这里以杭电ACM 1007作为例子，蛮力法代码如下：  
（由于是蛮力法，所以时间复杂度很高,无法AC1007，这里只是作为例子讲解）  
题目链接：[杭电ACM 1007][ACM 1007]

#include "stdio.h"
    #include "math.h"
    double Point[100001][2];
    int main()
    {
    
      int N,a=0,b=0,i,j;
      double Min;
      while(scanf_s("%d",&N) && N!=0)
      {
         Min=9999999;
         for(i=0;i<N;i++)
             scanf_s("%lf%lf",&Point[i][0],&Point[i][1]);
         for(i=0;i<N-1;i++) //N-1
         {
           for(j=i+1;j<N;j++)//这里可以避免对同一对坐标计算两次距离
           {
              double  dis=(Point[j][1]-Point[i][1])*(Point[j][1]-Point[i][1])+
                    (Point[j][0]-Point[i][0])*(Point[j][0]-Point[i][0]);
              if(dis<Min)
              {
                  Min=dis;
                  a=i;  
                  b=j;  
              }
           }
         }
         double dis=sqrt((Point[b][1]-Point[a][1])*(Point[b][1]-Point[a][1])+
              (Point[b][0]-Point[a][0])*(Point[b][0]-Point[a][0]));
         printf("%.2lf\n",dis/2);
      }
      return 0;
    }

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## 2.分治法 ##

分治法思路：  
1) 把它分成两个或多个更小的问题；  
2) 分别解决每个小问题；  
3) 把各小问题的解答组合起来，即可得到原问题的解答。小问题通常与原问题相似，可以递归地使用分而治之策略来解决。

> 这里的分治算法的主要思路是将平面上的n个点分为两个子集S1,S2。每个子集中有n/2个点，然后递归的在每个子集中求解最近点对，两边求得的结果如图所示：
> 
> ## ![这里写图片描述][20160726001541359] ##
> 
> 那么可以看出左边的最近点对的距离为**d1**,右边为**d2**.但是最近对可能一个点在S1中而另一个点在S2中。这样，我们，就要去想办法对其进行合并,然后求得合并区域的最近对距离，假设为**d3**，那么只需要比较**d1,d2,d3**的大小关系即可，最小的就是平面最近对的距离。通过分析我们可以知道，如果存在这样的最近对的点，那么这个点在S1集合中，肯定是横坐标最靠近中位线 ***L*** 的点，S2中同理。那么这个范围如何划定呢？
> 
> --------------------
> 
> 设***d=min(d1,d2)***假定中位线横坐标为**X**，那么范围就是***\[X-d,X+d\]***.这个范围是怎么划定的呢？根据平面中点的位置我们就可以知道，两点的距离为横纵坐标之间的差值的平方和。那么如果要存在这样的点，他们之间的横坐标之间的差值的绝对值必须要小于等于**d**（这里包括这点恰好就在中位线 ***L*** 上）。这样可以筛选出横坐标为***\[X-d,X+d\]***的区域。如下图所示：
> 
> --------------------
> 
> ![这里写图片描述][20160726012613123]
> 
> 可以看出这个区域中包含三个点，只需要求出这三个点之间的最近点对即可（蛮力法）。这里还需要注意一点，上面是通过横坐标筛选的这个区域，这里可以根据纵坐标将纵坐标差的绝对值大于 **d** 的坐标剔除。

这里是分治法求解代码：

#include "stdio.h"
    #include "math.h"
    #include <cstdio>  
    #include "algorithm"
    #define MAX 100005 
    const double inf = 1e20;
    struct Point{
        double x;
        double y;
    };
    Point p[MAX];
    int ans[MAX];
    double dis(Point p1,Point p2)
    {
        return sqrt((p2.y-p1.y)*(p2.y-p1.y)+(p2.x-p1.x)*(p2.x-p1.x));
    }
    bool cmpy(const int & a,int& b)
    {
         return p[a].y < p[b].y;
    }
    bool compxy(const Point& p1,Point& p2)
    {
        if(p1.x!=p2.x)
            return p1.x<p2.x;
        return p1.y<p2.y;
    }
    
    double min(double a,double b)
    {
        return a<b?a:b;
    }
    double divide(int left,int right)
    {
        double d=inf;
        /*这里指只有一个点，那么最近点对的话距离自然就是inf了*/
        if(left==right)
            return d;
        //这里是判断是否为只有两个点，如果只有两个点的话那么直接求解。
        if(left+1==right)
            return dis(p[left],p[right]);
        //右移除2，对区域进行合理的划分，使得左右两边保持大致相等个数点
        int mid=(left+right)>>1; 
        double d1=devide(left,mid);
        double d2=devide(mid+1,right);
        d=min(d1,d2);
        int i,j,k=0;
        //通过横坐标确定[X-d,X+d]区域
        for(i=left;i<=right;i++)
        {
            if(fabs(p[mid].x-p[i].x)<=d)
               ans[k++]=i;
        }
        //通过排序，确定这写点按照纵坐标升序
        std::sort(ans, ans + k, cmpy);//线性扫描
        for(i=0;i<k-1;i++)
        {
            for(j=i+1;j<k && p[ans[j]].y-p[ans[i]].y<d;j++)
            {
                double distance=dis(p[ans[i]],p[ans[j]]);
                if(distance <d)
                    d=distance;
            }
        }
        return d;
    }
    int main()
    {
      int  i,j,N;
      while(scanf_s("%d",&N) && N!=0)
      {
         for(i=0;i<N;i++)
             scanf_s("%lf%lf",&p[i].x,&p[i].y);
         std::sort(p,p+N,compxy);//这里按照横坐标大小预排序，利用横坐标求中位线
         printf("%.2lf\n",divide(0,N-1)/2);
      }
      return 0;
    }

其实，分治法的理解确实比较难，我在看了算法导论上面讲解之后也是一头雾水。所以后面就百度最近点对的分治算法。看了好多博客，最后终于明白了。所以这里**真的非常感谢**那些在自己明白了算法之后还乐于分享理解思路的博主们！所以，这里我也写一下自己对于算法的大概理解吧，或许在冥冥之中会给你带来一点点头绪。

Up\_Junior1.

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1.  \*. ↩

[20160725010133719]: https://img-blog.csdn.net/20160725010133719
[20160725010146610]: https://img-blog.csdn.net/20160725010146610
[20160725010202673]: /images/20220719/30bc881764584636bc3fde52539e31e9.png
[ACM 1007]: http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1007
[20160726001541359]: /images/20220719/469836c9541d4abfb3c9902f1ce106ef.png
[20160726012613123]: /images/20220719/58654018ec494a4b851310cefdea7c99.png