深入浅出K-Means算法

待我称王封你为后i 2022-07-26 00:13 64阅读 0赞

在数据挖掘中，K-Means算法是一种[cluster analysis][]的算法，其主要是来计算数据聚集的算法，主要通过不断地取离种子点最近均值的算法。

#### 问题 ####

K-Means算法主要解决的问题如下图所示。我们可以看到，在图的左边有一些点，我们用肉眼可以看出来有四个点群，但是我们怎么通过计算机程序找出这几个点群来呢？于是就出现了我们的K-Means算法（[Wikipedia链接][Wikipedia]）

![K-Means 要解决的问题][K-Means]

K-Means要解决的问题

**算法概要**

这个算法其实很简单，如下图所示：

![K-Means 算法概要][K-Means 1]

从上图中，我们可以看到，**A，B，C，D，E是五个在图中点。而灰色的点是我们的种子点，也就是我们用来找点群的点**。有两个种子点，所以K=2。

然后，K-Means的算法如下：

1.  随机在图中取K（这里K=2）个种子点。
2.  然后对图中的所有点求到这K个种子点的距离，假如点Pi离种子点Si最近，那么Pi属于Si点群。（上图中，我们可以看到A，B属于上面的种子点，C，D，E属于下面中部的种子点）
3.  接下来，我们要移动种子点到属于他的“点群”的中心。（见图上的第三步）
4.  然后重复第2）和第3）步，直到，种子点没有移动（我们可以看到图中的第四步上面的种子点聚合了A，B，C，下面的种子点聚合了D，E）。

这个算法很简单，但是有些细节我要提一下，求距离的公式我不说了，大家有初中毕业水平的人都应该知道怎么算的。我重点想说一下“求点群中心的算法”。

#### 求点群中心的算法 ####

一般来说，求点群中心点的算法你可以很简的使用各个点的X/Y坐标的平均值。不过，我这里想告诉大家另三个求中心点的的公式：

**1）Minkowski Distance公式——**λ可以随意取值，可以是负数，也可以是正数，或是无穷大。

![Minkowski Distance 公式][Minkowski Distance]

**2）Euclidean Distance公式**——也就是第一个公式λ=2的情况

![Euclidean Distance 公式][Euclidean Distance]

**3）CityBlock Distance公式**——也就是第一个公式λ=1的情况

![CityBlock Distance 公式][CityBlock Distance]

这三个公式的求中心点有一些不一样的地方，我们看下图（对于第一个λ在0-1之间）。

![Minkowski Mean][]![Euclidean distance][]![Manhattan distance][]

**（1）Minkowski Distance     （2）Euclidean Distance    （3） CityBlock Distance**

上面这几个图的大意是他们是怎么个逼近中心的，第一个图以星形的方式，第二个图以同心圆的方式，第三个图以菱形的方式。

**K-Means的演示**

如果你以”K Means Demo“为关键字到Google里查你可以查到很多演示。这里推荐一个演示：[http://home.dei.polimi.it/matteucc/Clustering/tutorial\_html/AppletKM.html][http_home.dei.polimi.it_matteucc_Clustering_tutorial_html_AppletKM.html]

操作是，鼠标左键是初始化点，右键初始化“种子点”，然后勾选“Show History”可以看到一步一步的迭代。

注：这个演示的链接也有一个不错的[K Means Tutorial][]。

#### K-Means++算法 ####

K-Means主要有两个最重大的缺陷——都和初始值有关：

*  K是事先给定的，这个K值的选定是非常难以估计的。很多时候，事先并不知道给定的数据集应该分成多少个类别才最合适。（[ISODATA算法][ISODATA]通过类的自动合并和分裂，得到较为合理的类型数目K）

*  K-Means算法需要用初始随机种子点来搞，这个随机种子点太重要，不同的随机种子点会有得到完全不同的结果。（[K-Means++算法][K-Means 2]可以用来解决这个问题，其可以有效地选择初始点）

我在这里重点说一下K-Means++算法步骤：

1.  先从我们的数据库随机挑个随机点当“种子点”。
2.  对于每个点，我们都计算其和最近的一个“种子点”的距离D(x)并保存在一个数组里，然后把这些距离加起来得到Sum(D(x))。
3.  然后，再取一个随机值，用权重的方式来取计算下一个“种子点”。这个算法的实现是，先取一个能落在Sum(D(x))中的随机值Random，然后用Random -= D(x)，直到其<=0，此时的点就是下一个“种子点”。
4.  重复第（2）和第（3）步直到所有的K个种子点都被选出来。
5.  进行K-Means算法。

相关的代码你可以在这里找到“[implement the K-means++ algorithm][implement the K-means_ algorithm]”（墙）另，[Apache的通用数据学库也实现了这一算法][Apache]

#### K-Means算法应用 ####

看到这里，你会说，K-Means算法看来很简单，而且好像就是在玩坐标点，没什么真实用处。而且，这个算法缺陷很多，还不如人工呢。是的，前面的例子只是玩二维坐标点，的确没什么意思。但是你想一下下面的几个问题：

1）如果不是二维的，是多维的，如5维的，那么，就只能用计算机来计算了。

2）二维坐标点的X，Y 坐标，其实是一种向量，是一种数学抽象。现实世界中很多属性是可以抽象成向量的，比如，我们的年龄，我们的喜好，我们的商品，等等，能抽象成向量的目的就是可以让计算机知道某两个属性间的距离。如：我们认为，18岁的人离24岁的人的距离要比离12岁的距离要近，鞋子这个商品离衣服这个商品的距离要比电脑要近，等等。

**只要能把现实世界的物体的属性抽象成向量，就可以用K-Means算法来归类了**。

在《[k均值聚类(K-means)][k_K-means]》 这篇文章中举了一个很不错的应用例子，作者用亚洲15支足球队的2005年到1010年的战绩做了一个向量表，然后用K-Means把球队归类，得出了下面的结果，呵呵。

*  亚洲一流：日本，韩国，伊朗，沙特
 *  亚洲二流：乌兹别克斯坦，巴林，朝鲜
 *  亚洲三流：中国，伊拉克，卡塔尔，阿联酋，泰国，越南，阿曼，印尼

其实，这样的业务例子还有很多，比如，分析一个公司的客户分类，这样可以对不同的客户使用不同的商业策略，或是电子商务中分析商品相似度，归类商品，从而可以使用一些不同的销售策略，等等。

最后给一个挺好的算法的幻灯片：[http://www.cs.cmu.edu/~guestrin/Class/10701-S07/Slides/clustering.pdf][http_www.cs.cmu.edu_guestrin_Class_10701-S07_Slides_clustering.pdf]

来自：[coolshell][]

[cluster analysis]: http://en.wikipedia.org/wiki/Cluster_analysis
[Wikipedia]: http://en.wikipedia.org/wiki/K-means_clustering
[K-Means]: http://cms.csdnimg.cn/articlev1/uploads/allimg/120703/0Z411NN-0.gif
[K-Means 1]: http://cms.csdnimg.cn/articlev1/uploads/allimg/120703/091301K62-1.jpg
[Minkowski Distance]: http://cms.csdnimg.cn/articlev1/uploads/allimg/120703/0913011622-2.gif
[Euclidean Distance]: http://cms.csdnimg.cn/articlev1/uploads/allimg/120703/0913012536-3.gif
[CityBlock Distance]: http://cms.csdnimg.cn/articlev1/uploads/allimg/120703/0913011109-4.gif
[Minkowski Mean]: http://cms.csdnimg.cn/articlev1/uploads/allimg/120703/0913016219-5.jpg
[Euclidean distance]: http://cms.csdnimg.cn/articlev1/uploads/allimg/120703/0913012002-6.jpg
[Manhattan distance]: http://cms.csdnimg.cn/articlev1/uploads/allimg/120703/0913014531-7.jpg
[http_home.dei.polimi.it_matteucc_Clustering_tutorial_html_AppletKM.html]: http://home.dei.polimi.it/matteucc/Clustering/tutorial_html/AppletKM.html
[K Means Tutorial]: http://home.dei.polimi.it/matteucc/Clustering/tutorial_html/index.html
[ISODATA]: http://en.wikipedia.org/wiki/Multispectral_pattern_recognition
[K-Means 2]: http://en.wikipedia.org/wiki/K-means%2B%2B
[implement the K-means_ algorithm]: http://rosettacode.org/wiki/K-means%2B%2B_clustering
[Apache]: http://commons.apache.org/math/api-2.1/index.html?org/apache/commons/math/stat/clustering/KMeansPlusPlusClusterer.html
[k_K-means]: http://www.cnblogs.com/leoo2sk/archive/2010/09/20/k-means.html
[http_www.cs.cmu.edu_guestrin_Class_10701-S07_Slides_clustering.pdf]: http://www.cs.cmu.edu/~guestrin/Class/10701-S07/Slides/clustering.pdf
[coolshell]: http://coolshell.cn/articles/7779.html