【算法学习笔记】-动态规划

快来打我* 2022-08-05 08:49 200阅读 0赞

动态规划应用于子问题重叠的情况，即不同的子问题具有公共的子子问题（子问题的求解是递归进行的，将其划分为更小的子子问题）。在这种情况下，分治法会做许多不必要的工作，它会反复地求解那些公共子子问题。而动态规划算法对每个子子问题只求解一次，将其解保存在一个表格中，从而无需每次求解一个子子问题时都重新计算，避免了这种不必要的计算工作。

我们通常按如下4个步骤来设计一个动态规划算法：

1.刻画一个最优解的结构特征。

2.递归地定义最优解的值。

3.计算最优解的值，通常是用自底向上的方法。

4.利用计算出来的信息构造一个最优解。

步骤1~3是动态规划算法求解问题的基础。如果我们仅仅需要一个最优解的值，而非解本身，可以忽略步骤4。如果确实要做步骤4，有时就需要在执行步骤3的过程中维护一些额外信息，以便用来构造一个最优解。

自底向上方法：这种方法一般需要恰当定义子问题“规模”的概念，使得任何子问题的求解都只依赖于“更小的”子问题的求解。因而我们可以将子问题按规模排序，按由小至大的顺序进行求解。当求解某个子问题时，它所依赖的那些更小的子问题都已求解完毕，结果已经保存。每个子问题只需求解一次，当我们求解它时，它的所有前提子问题都已求解完成。

下面介绍几道线性规划的例题。

#### 1.最经典的动态规划问题：爬楼梯问题 ####

题目：有n阶楼梯，每次可以爬一阶楼梯或者两阶楼梯，则爬完n阶楼梯总共有多少种方法。

解析：爬n阶楼梯的方法数等于爬n-1阶楼梯方法数与爬n-2阶楼梯方法数的和。当n=1，则只有1种方法；当n=2时有2种方法。据此我们可以归纳出公式如下：

f(i)=f(i-1)+f(i-2) 3<=i<=n

f(i)=2 i=2

f(i)=1 i=1

采用自底向上的方法，从i=3开始向上递归求解即可。代码如下：

class Solution {
    public:
        int climbStairs(int n) {
            int *result=new int[n];
            result[0]=1;
            result[1]=2;
            for(int i=2;i<n;i++)
            {
                result[i]=result[i-1]+result[i-2];
            }
            return result[n-1];
        }
    };

#### 2.m\*n阶宫格求最优解问题 ####

题目：给定m\*n阶宫格，每个宫格内都填充了非负数。从宫格的左上角移动到右下角，只允许向下或者向右移动。找到一条路径，使得经过该路径的所有数字之和最小。

解析：到第i行第j列宫格的最小和为到第i行第j-1列宫格的最小和与到第i-1行第j列宫格的最小和的较小值。代码如下：

class Solution {
    public:
        int minPathSum(vector<vector<int> > &grid) {
            int m=grid.size();
            int n=grid[0].size();
            int **f=new int *[m];
            for(int i=0;i<m;i++)
                f[i]=new int [n];		//声明二维动态数组
            for(int i=0;i<m;i++)
                for(int j=0;j<n;j++)
                    f[i][j]=0;		//二维动态数组全部置0
            f[0][0]=grid[0][0];
            for(int i=1;i<m;i++)
                f[i][0]=f[i-1][0]+grid[i][0];       // 第1列只能从上向下移动
            for(int j=0;j<n;j++)
                f[0][j]=f[0][j-1]+grid[0][j];	//第1行只能从左向右移动
            for(int i=1;i<m;i++)
                for(int j=1;j<n;j++)
                {
                    if(f[i-1][j]<f[i][j-1])
                        f[i][j]=f[i-1][j]+grid[i][j];
                    else
                        f[i][j]=f[i][j-1]+grid[i][j];	//取f[i][j-1]和f[i-1][j]的较小值
                }
            return f[m-1][n-1];
        }
    };

#### 3.求数组中连续子数组的最大和 ####

举例，给定如下数组：\[-2，1，-3，4，-1，2，1，-5，4\]，则连续子数组\[4，-1，2，1\]具有最大的和，为6。

解析：已知了前k个元素的最大子序列和为maxSub（已经被记录下来了），以及一个临时和sum，如果添加了第k+1这个元素，由于是连续子序列这个限制，所以如果k+1这个元素之前的和是小于0的，那么对于增大k+1这个元素从而去组成最大子序列是没有贡献的，所以可以把sum 置0。代码如下：

class Solution {
    public:
        int maxSubArray(int A[], int n) {
            int sum=A[0],max=A[0];
            for(int i=1;i<n;i++)
            {
                sum=sum<0?A[i]:sum+A[i];
                max=sum>max?sum:max;
            }
            return max;
        }
    };