【动态规划】求一维子数组的最大和

傷城~ 2022-08-09 00:59 187阅读 0赞

**题目**：输入一个整形数组，数组里有正数也有负数。数组中连续的一个或多个整数组成一个子数组，每个子数组都有一个和。求所有子数组的和的最大值。要求时间复杂度为O(n)。  
例如，输入的数组为1, -2, 3, 10, -4, 7, 2, -5，和最大的子数组为3, 10, -4, 7, 2，因此输出为该子数组的和18。  
**思路**：设sum\[i\]为以第i个元素结尾且和最大的连续子数组。假设对于元素i，所有以它前面的元素结尾的子数组的长度都已经求得，那么以第i个元素结尾且和最大的连续子数组实际上，要么是以第i-1个元素结尾且和最大的连续子数组加上这个元素，要么是只包含第i个元素，即sum\[i\] = max(sum\[i-1\] + a\[i\], a\[i\])。可以通过判断sum\[i-1\] + a\[i\]是否大于a\[i\]来做选择，而这实际上等价于判断sum\[i-1\]是否大于0。由于每次运算只需要前一次的结果，因此并不需要像普通的动态规划那样保留之前所有的计算结果，只需要保留上一次的即可，因此算法的时间和空间复杂度都很小。

int max_array(int a[],int n)
    {
        int maxsum = 0;  //动态规划初始条件
        int cursum = 0; //已当前元素结尾的最大和
        for (int i=0;i<n;i++)
        {
            cursum+= a[i];
            if(cursum <=0) cursum = 0;  //如果cursum<0说明加上a[i]后会拖累后面的结果。所以要从0重新算起。
            if(cursum > maxsum) maxsum = cursum;
        }
        if(maxsum ==0 ) //特殊情况处理：若是数组中的元素均为负数，则输出里面的最大元素
        {            
            maxsum = a[0];
            for(int i=1;i<n;i++)
            {
                if(maxsum<a[i]) maxsum=a[i];
            }
        }
        return maxsum;
    }