2-路归并排序（C代码）及其时间复杂度的具体分析

朱雀 2022-08-10 20:00 176阅读 0赞

**归并含义**

归并的含义是把两个(或两个以上)有序表合并成一个新的有序表。

**归并排序的原理**

归并排序是即把长度为n的序列分成n个长度为1的子序列,,然后把有序子序列合并成整体有序序列,这个过程也称为2-路归并.**注意:归并排序的一种稳定排序,即相等元素的顺序不会改变.**

**归并排序的步骤**

**      ** Divide: 把长度为n的输入序列分成两个长度为n/2的子序列。

Conquer: 对这两个子序列分别采用归并排序。

Combine: 将两个排序好的子序列合并成一个最终的排序序列。

**下面是递归形式的实现代码：**

**\[cpp\]**  [view plain][] [copy][view plain]

1.  \#include<stdio.h>  
2.    
3.  //将有二个有序子数组a\[begin...mid\]和a\[mid+1...end\]合并。  
4.  **void** MergeArray(**int** a\[\],**int** begin,**int** mid,**int** end,**int** temp\[\])  
5.  \{  
6.      **int** i=begin,j=mid+1;  
7.      **int** m=mid,n=end;  
8.      **int** k=0;  
9.    
10.     **while**(i<=m && j<=n)  
11.     \{  
12.         **if**(a\[i\]<=a\[j\])  
13.             temp\[k++\]=a\[i++\];  
14.         **else**  
15.             temp\[k++\]=a\[j++\];  
16.     \}  
17.     **while**(i<=m)  
18.         temp\[k++\]=a\[i++\];  
19.     **while**(j<=n)  
20.         temp\[k++\]=a\[j++\];  
21.       
22.     //把temp数组中的结果装回a数组  
23.     **for**(i=0;i<k;i++)     
24.         a\[begin+i\]=temp\[i\];  
25. \}  
26.   
27. **void** mergesort(**int** a\[\],**int** begin,**int** end,**int** temp\[\])  
28. \{  
29.     **if**(begin<end)  
30.     \{  
31.         **int** mid = (begin+end)/2;  
32.         mergesort(a,begin,mid,temp);   //左边有序  
33.         mergesort(a,mid+1,end,temp);   //右边有序  
34.         MergeArray(a,begin,mid,end,temp); //将左右两边有序的数组合并  
35.     \}  
36. \}  
37. **int** main()  
38. \{  
39.     **int** num\[10\]=\{2,5,9,3,6,1,0,7,4,8\};  
40.     **int** temp\[10\];  
41.     mergesort(num,0,9,temp);  
42.     **for**(**int** i=0;i<10;i++)  
43.     \{  
44.         printf("%d",num\[i\]);  
45.     \}  
46.     printf("\\n");

1.  \}

时间复杂度：

![归并排序及其时间复杂度分析 - 珑儿 - 顾影自怜][- _ -]

这是一个递推公式（Recurrence），我们需要消去等号右侧的T(n)，把T(n)写成n的函数。其实符合一定条件的Recurrence的展开有数学公式可以套，这里我们略去严格的数学证明，只是从直观上看一下这个递推公式的结果。当n=1时可以设T(1)=c1，当n>1时可以设T(n)=2T(n/2)+c2n，我们取c1和c2中较大的一个设为c，把原来的公式改为：

![归并排序及其时间复杂度分析 - 珑儿 - 顾影自怜][- _ - 1]

这样计算出的结果应该是T(n)的上界。下面我们把T(n/2)展开成2T(n/4)+cn/2（下图中的(c)），然后再把T(n/4)进一步展开，直到最后全部变成T(1)=c（下图中的(d)）：

![归并排序及其时间复杂度分析 - 珑儿 - 顾影自怜][- _ - 2]

把图(d)中所有的项加起来就是总的执行时间。这是一个树状结构，每一层的和都是cn，共有lgn+1层，因此总的执行时间是cnlgn+cn，相比nlgn来说，cn项可以忽略，因此T(n)的上界是Θ(nlgn)。

如果先前取c1和c2中较小的一个设为c，计算出的结果应该是T(n)的下界，然而推导过程一样，结果也是Θ(nlgn)。既然T(n)的上下界都是Θ(nlgn)，显然T(n)就是Θ(nlgn)。

[view plain]: http://blog.csdn.net/chenhuajie123/article/details/9296359#
[- _ -]: http://img313.ph.126.net/kkNVU_0B0x4XMb4lmqdiqw==/3662833871936662269.png
[- _ - 1]: http://img.ph.126.net/XktHn5XWpe2hrJrABI3t9Q==/3356870572252575832.png
[- _ - 2]: http://img154.ph.126.net/rl0iR6_hFUqL_BX2CKcR_Q==/1482810177313103736.png