【数据结构与算法】五兔子数列斐波那契数列

以你之姓@ 2022-08-20 12:25 180阅读 0赞

# **【数据结构与算法】五 兔子数列 斐波那契数列** #

斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列、因数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardoda Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：F（0）=0，F（1）=1，F（n）=F(n-1)+F(n-2)（n≥2，n∈N\*）在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从1963起出版了以《斐波纳契数列季刊》为名的一份数学杂志，用于专门刊载这方面的研究成果。

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# **兔子繁殖问题** #

斐波那契数列又因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”。 一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有兔子都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？ 我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下： 第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对 两个月后，生下一对小兔对数共有两对 三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对 依次类推可以列出下表：

幼仔对数=前月成兔对数 成兔对数=前月成兔对数+前月幼仔对数 总体对数=本月成兔对数+本月幼仔对数 可以看出幼仔对数、成兔对数、总体对数都构成了一个数列。这个数列有关十分明显的特点，那是：前面相邻两项之和，构成了后一项。 这个数列是意大利中世纪数学家斐波那契在<算盘全书>中提出的，这个级数的通项公式，除了具有a(n+2)=an+a(n+1）的性质外，还可以证明通项公式为：an=(1/√5)\*\{\[(1+√5)/2\]^n-\[(1-√5)/2\]^n\}（n=1,2,3…..）

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# **F（n）=F(n-1)+F(n-2)（n≥2，n∈N\*）** #

C++

#include <iostream>
    
    using namespace std; 
    
    int  rabbit(int i){
        if(i<2){
            return 1 ;
        }else{
            return rabbit(i-1) + rabbit(i-2);
        }
    }
    
    int main(){
        cout << rabbit(12) << endl;
    }

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# **黄金分割** #

有趣的是，这样一个完全是自然数的数列，通项公式却是用无理数来表达的。而且当n趋向于无穷大时，前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割0.618（或者说后一项与前一项的比值小数部分越来越逼近0.618）。 1÷1=1，1÷2=0.5，2÷3=0.666…，3÷5=0.6，5÷8=0.625…………，55÷89=0.617977……………144÷233=0.618025…46368÷75025=0.6180339886…… 越到后面，这些比值越接近黄金比. 证明

a\[n+2\]=a\[n+1\]+a\[n\]。 两边同时除以a\[n+1\]得到： a\[n+2\]/a\[n+1\]=1+a\[n\]/a\[n+1\]。 若a\[n+1\]/a\[n\]的极限存在，设其极限为x， 则limn->；；∞=limn->；；∞=x。 所以x=1+1/x。 即x²=x+1。 所以极限是黄金分割比..

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# **最后** #

通过上面一些简单的讲解，  
相信朋友们已经知道其原理及特性了。  
本人能力有限,  
如发现错误或不合理欢迎指正…

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