Reeb 图

你的名字 2022-08-20 15:13 25阅读 0赞

Reeb  
图是描述三角形网格拓扑结构的一种重要方式，它是由德国数学家  
George Reeb  
于  
1946  
年提出的。在计算机辅助领域，  
Reeb  
图通常被用来分析模型的等值面，它是利用输入平面上的标量函数，对临界点的连通关系进行编码，从而构造出的一个拓扑结构图。  
Reeb  
图能够较好的表达三维模型的拓扑形状结构。  
  
  
Reeb  
图举例  
  
图  
1.1  
为一个  
Reeb  
图举例，其左边为一三维模型，右边为在该模型上计算得到的  
Reeb  
图。由图  
1.5  
还可以看出，  
Reeb  
图也类似于一种骨架体系结构，在对于三维人体模型处理上也有较大的应用价值。  
  
Reeb  
图的主要思想如下：首先在三维模型的三角形网格上定义一个连续函数  
  
f  
（有时也有离散函数），根据三角形网格上的顶点的三维坐标，计算相应的  
  
f  
函数值，再根据顶点的  
  
f  
函数值对这些顶点分类，  
  
f  
函数值相同且位于同一连通分量上的值划归为一类，在  
Reeb  
图中对应一个点，最终从原网格顶点集得一个新的节点商集，这个商集就是我们通称的  
Reeb  
图的节点，根据三维模型的三角形网格上顶点之间的邻接关系，将商集上的点连接起来，那么我们就得到了该三维模型的一个  
Reeb  
图结构。由上述理论可以看出，如何定义一个函数  
  
f  
，  
  
成为  
Reeb  
图提取过程中的一个关键部分，定义不同的函数  
  
f  
，也会计算得到不同的  
Reeb  
图，进而从  
Reeb  
图提取的骨架结构也就有所区别。常用的定义计算  
Reeb  
图的函数的方式有高度函数和  
Morse  
函数。  
  
三维模型的  
Reeb

图能在保持三维模型本身的拓扑结构的基础上，大大减少

、

了三角形网格的数据量，具有很好的应用优势。  
Reeb  
图提取的主要过程有两步：第一步，从多视图像中得到三维模型的三角形网格；第二步，依据三角形网格提取三维模型的  
Reeb  
图。三角形网格重构的方法主要有以下两种：可见外壳重构、多目立体重构。三维模型的  
Reeb  
图提取主要有以下三种方法：高度函数法、特征点法、三角形简化法。  
  
高度函数法就是将三维模型的三角形网格表示的顶点高度作为  
Reeb  
图提取过程中定义的标量函数，然后提取  
Reeb  
图的一种方法。三维模型重构网格的顶点高度容易得到，一般可用  
Y  
坐标分量来简单计算，将这一高度值作为  
Reeb  
图提取中所用到的标量函数，然后构建水平面（即标量函数值相同的顶点处在同一水平面上），接下来判定处于同一水平面上的各顶点是否位于同一连通分量，如果位于同一连通分量，则将这些点在  
Reeb  
图中归一化为一个节点，完成  
Reeb  
图的所有节点后，将节点与其上下邻域的节点连接起来，就完成了三维模型的  
Reeb  
图的提取。本方法在构建标量函数时由于高度坐标较易获得，具有天然的优越性，但是在判定处于同一水平面得顶点是否处于同一连通分量的算法非常复杂，计算难度大，此外，更对实验带来困扰的是，连接节点形成弧时，容易造成循环弧，造成  
Reeb  
图的提取失真，而且本方法提取的  
Reeb  
图有时出现弧在三维模型体外的状况。  
  
特征点法也是提取三维模型的  
Reeb  
图的一种常见方法，其分两步完成：第一步，计算三维模型的三角形网格表示的特征点，这些特征点在  
Reeb  
图中作为关键节点存在；第二步，根据三维模型的网格顶点的邻接关系将这些特征点连接起来形成  
Reeb  
弧。本方法提取  
Reeb  
图的优势是特征点提取技术较为成熟，能够较好地得到三维模型的三角形网格表示的所有顶点中的特征点，因而  
Reeb  
图中的关键节点较易得到。但是，如何有效的将这些关键节点连接起来，形成  
Reeb  
图的弧，这还是较为困难的问题，弧的连接容易出现失真，背离三维模型的骨架结构。此方法还存在一个与高度函数法提取三维模型的  
Reeb  
图相同的问题，即提取的  
Reeb  
图有时在三维模型的外部。

Reeb  
图早在  
1946  
年，就由德国的数学家  
George Reeb  
提出，他提出的目的是为了描述模型的拓扑体系结构，通过后续的研究发现，在拓扑体系结构的描述方面，  
Reeb  
图确实有较大的应用优势，并且能取得较好的效果。  
  
目前，中轴线（骨架）法、  
Reeb  
图法是描述三维模型的拓扑结构的主要方法。从三维立体模型的骨架结构的角度来看，中轴线（骨架）方法，则可以较好描述三维立体模型的拓扑结构特征；而从三维模型连通区域的角度来分析，  
Reeb  
图法能较好地描述三维立体模型的拓扑结构。  
  
骨架法是描述三维模型的拓扑结构特征的一个重要方法。其在保持三维模型的拓扑特征、方向、其他局部特征的基础上，还可以直观、紧凑有效地表示三维模型，因而，三维模型的三角形网格的骨架提取方法，在计算机图形学、视觉可视化、模式识别、计算机视觉、虚拟现实等方面都已经得到了充足的应用。在三维模型的三角形网格上提取骨架，常用的方法有：水平集法、细化法、基于距离变换的方法、方向测试法、差值方程等方法。  
Du  
等人为了构造差值方程采用了扩散方程，然后提取了三维模型的三角形网格的骨架；  
Cheng  
等人利用了几何的方法，完成了对三维模型的三角形网格的骨架提取。  
  
除了骨架法外，  
Reeb  
图是另一极为重要的描述三维模型的三角形网格的拓扑形状结构的方法。在三维模型的三角形网格定义连续函数，然后确定模型的骨架。  
Reeb  
图成为了三维模型的形状、拓扑结构特征表示的基本数据结构，在三维模型的三角形网格表示的形状、拓扑结构分析中，占有极为重要的地位。从连通区域的角度来说，  
Reeb  
图能实现对三维模型的拓扑结构的描述。由于  
Reeb  
图能很好的表达任意维的模型的拓扑形状，可以达到计算的自动化，此外其对形状变化还有很好的鲁棒性，因而，在多个领域的三维模型的拓扑形状描述上，  
Reeb  
图法都得到了深入的研究和广泛的应用。

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