【数据结构】二叉树的原理及实现学习总结

妖狐艹你老母 2022-08-21 08:45 165阅读 0赞

## 二叉树概述 ##

数组、向量、链表都是一种顺序容器，它们提供了按位置访问数据的手段。而很多情况下，我们需要按数据的值来访问元素，而不是它们的位置来访问元素。比如有这样一个数组int num\[3\]=\{1,2,3\}，我们可以非常快速的访问数组中下标为2的数据，也就是说我们知道这个数据的位置，就可以快速访问。有时候我们是不知道元素的位置，但是却知道它的值是多少。假设我们有一个变量，存放在num这个数组中，我们知道它的值为2，却不知道它下标是多少，也就是说不知道它的位置。这个时候再去数组中访问这个元素就比较费劲，就得遍历数组，而且还要保证数组中没有重复的元素。

二叉树在很大程度上解决了这个缺点，二叉树是按值来保存元素，也按值来访问元素。怎么做到呢，和链表一样，二叉树也是由一个个节点组成，不同的是链表用指针将一个个节点串接起来，形成一个链，如果将这个链“拉直”，就像平面中的一条线，是一维的。而二叉树由根节点开始发散，指针分别指向左右两个子节点，像树一样在平面上扩散，是二维的。示意图如下：  
![这里写图片描述][20160425093746053]

## 二叉树的定义： ##

二叉树是树形结构的一个重要类型。许多实际问题抽象出来的数据结构往往是二叉树的形式，即使是一般的树也能简单地转换为二叉树，而且二叉树的存储结构及其算法都较为简单，因此二叉树显得特别重要。  
二叉树(BinaryTree)是n(n≥0)个结点的有限集，它或者是空集(n=0)，或者由一个根结点及两棵互不相交的、分别称作这个根的左子树和右子树的二叉树组成。  
这个定义是递归的。由于左、右子树也是二叉树， 因此子树也可为空树。下图中展现了五种不同基本形态的二叉树。  
![这里写图片描述\]!\[这里写图片描述\]!\[这里写图片描述][20160425094345811]  
其中 (a) 为空树， (b) 为仅有一个结点的二叉树， (c) 是仅有左子树而右子树为空的二叉树， (d) 是仅有右子树而左子树为空的二叉树， (e) 是左、右子树均非空的二叉树。这里应特别注意的是，二叉树的左子树和右子树是严格区分并且不能随意颠倒的，图 (c) 与图 (d) 就是两棵不同的二叉树。

## 二叉树的遍历 ##

对于二叉树来讲最主要、最基本的运算是遍历。  
遍历二叉树 是指以一定的次序访问二叉树中的每个结点。所谓 访问结点 是指对结点进行各种操作的简称。例如，查询结点数据域的内容，或输出它的值，或找出结点位置，或是执行对结点的其他操作。遍历二叉树的过程实质是把二叉树的结点进行线性排列的过程。假设遍历二叉树时访问结点的操作就是输出结点数据域的值，那么遍历的结果得到一个线性序列。  
从二叉树的递归定义可知，一棵非空的二叉树由根结点及左、右子树这三个基本部分组成。因此，在任一给定结点上，可以按某种次序执行三个操作：  
　（1）访问结点本身(N)，  
　（2）遍历该结点的左子树(L)，  
　（3）遍历该结点的右子树(R)。  
以上三种操作有六种执行次序：  
　NLR、LNR、LRN、NRL、RNL、RLN。  
注意：  
前三种次序与后三种次序对称，故只讨论先左后右的前三种次序。  
　　由于被访问的结点必是某子树的根，所以N(Node)、L(Left subtlee)和R(Right subtree)又可解释为根、根的左子树和根的右子树。NLR、LNR和LRN分别又称为先根遍历、中根遍历和后根遍历。

## 二叉树的java实现 ##

首先创建一棵二叉树如下图，然后对这颗二叉树进行遍历操作（遍历操作的实现分为递归实现和非递归实现），同时还提供一些方法如获取双亲结点、获取左孩子、右孩子等。  
![这里写图片描述][20160425093853305]

package com.zjn.tree;
    
    import java.util.Stack;
    
    /** * 二叉树的链式存储 * * @author zjn */
    public class Tree { 
    
        private TreeNode root = null;
    
        public Tree() {
            root = new TreeNode(1, "rootNode(A)");
        }
    
        /** * 二叉树的节点数据结构 * */
        private class TreeNode { 
            private int key = 0;
            private String data = null;
            private boolean isVisted = false;
            private TreeNode leftChild = null;
            private TreeNode rightChild = null;
    
            /** * @param key * 层序编码 * @param data * 数据域 */
            public TreeNode(int key, String data) {
                this.key = key;
                this.data = data;
                this.leftChild = null;
                this.rightChild = null;
            }
    
        }
    
        /** * 创建一棵二叉树 * * <pre> * * A * B C * D E F * </pre> * * @param root * @author WWX */
        public void createBinTree(TreeNode root) {
            TreeNode newNodeB = new TreeNode(2, "B");
            TreeNode newNodeC = new TreeNode(3, "C");
            TreeNode newNodeD = new TreeNode(4, "D");
            TreeNode newNodeE = new TreeNode(5, "E");
            TreeNode newNodeF = new TreeNode(6, "F");
            root.leftChild = newNodeB;
            root.rightChild = newNodeC;
            root.leftChild.leftChild = newNodeD;
            root.leftChild.rightChild = newNodeE;
            root.rightChild.rightChild = newNodeF;
        }
    
        public boolean isEmpty() {
            return root == null;
        }
    
        // 树的高度
        public int height() {
            return height(root);
        }
    
        // 节点个数
        public int size() {
            return size(root);
        }
    
        private int height(TreeNode subTree) {
            if (subTree == null)
                return 0;// 递归结束：空树高度为0
            else {
                int i = height(subTree.leftChild);
                int j = height(subTree.rightChild);
                return (i < j) ? (j + 1) : (i + 1);
            }
        }
    
        private int size(TreeNode subTree) {
            if (subTree == null) {
                return 0;
            } else {
                return 1 + size(subTree.leftChild) + size(subTree.rightChild);
            }
        }
    
        // 返回双亲结点
        public TreeNode parent(TreeNode element) {
            return (root == null || root == element) ? null : parent(root, element);
        }
    
        public TreeNode parent(TreeNode subTree, TreeNode element) {
            if (subTree == null)
                return null;
            if (subTree.leftChild == element || subTree.rightChild == element)
                // 返回父结点地址
                return subTree;
            TreeNode p;
            // 现在左子树中找，如果左子树中没有找到，才到右子树去找
            if ((p = parent(subTree.leftChild, element)) != null)
                // 递归在左子树中搜索
                return p;
            else
                // 递归在右子树中搜索
                return parent(subTree.rightChild, element);
        }
    
        public TreeNode getLeftChildNode(TreeNode element) {
            return (element != null) ? element.leftChild : null;
        }
    
        public TreeNode getRightChildNode(TreeNode element) {
            return (element != null) ? element.rightChild : null;
        }
    
        public TreeNode getRoot() {
            return root;
        }
    
        // 在释放某个结点时，该结点的左右子树都已经释放，
        // 所以应该采用后续遍历，当访问某个结点时将该结点的存储空间释放
        public void destroy(TreeNode subTree) {
            // 删除根为subTree的子树
            if (subTree != null) {
                // 删除左子树
                destroy(subTree.leftChild);
                // 删除右子树
                destroy(subTree.rightChild);
                // 删除根结点
                subTree = null;
            }
        }
    
        public void traverse(TreeNode subTree) {
            System.out.println("key:" + subTree.key + "--name:" + subTree.data);
            traverse(subTree.leftChild);
            traverse(subTree.rightChild);
        }
    
        // 前序遍历
        public void preOrder(TreeNode subTree) {
            if (subTree != null) {
                visted(subTree);
                preOrder(subTree.leftChild);
                preOrder(subTree.rightChild);
            }
        }
    
        // 中序遍历
        public void inOrder(TreeNode subTree) {
            if (subTree != null) {
                inOrder(subTree.leftChild);
                visted(subTree);
                inOrder(subTree.rightChild);
            }
        }
    
        // 后续遍历
        public void postOrder(TreeNode subTree) {
            if (subTree != null) {
                postOrder(subTree.leftChild);
                postOrder(subTree.rightChild);
                visted(subTree);
            }
        }
    
        // 前序遍历的非递归实现
        public void nonRecPreOrder(TreeNode p) {
            Stack<TreeNode> stack = new Stack<TreeNode>();
            TreeNode node = p;
            while (node != null || stack.size() > 0) {
                while (node != null) {
                    visted(node);
                    stack.push(node);
                    node = node.leftChild;
                }
                while (stack.size() > 0) {
                    node = stack.pop();
                    node = node.rightChild;
                }
            }
        }
    
        // 中序遍历的非递归实现
        public void nonRecInOrder(TreeNode p) {
            Stack<TreeNode> stack = new Stack<Tree.TreeNode>();
            TreeNode node = p;
            while (node != null || stack.size() > 0) {
                // 存在左子树
                while (node != null) {
                    stack.push(node);
                    node = node.leftChild;
                }
                // 栈非空
                if (stack.size() > 0) {
                    node = stack.pop();
                    visted(node);
                    node = node.rightChild;
                }
            }
        }
    
        // 后序遍历的非递归实现
        public void noRecPostOrder(TreeNode p) {
            Stack<TreeNode> stack = new Stack<Tree.TreeNode>();
            TreeNode node = p;
            while (p != null) {
                // 左子树入栈
                for (; p.leftChild != null; p = p.leftChild) {
                    stack.push(p);
                }
                // 当前结点无右子树或右子树已经输出
                while (p != null && (p.rightChild == null || p.rightChild == node)) {
                    visted(p);
                    // 纪录上一个已输出结点
                    node = p;
                    if (stack.empty())
                        return;
                    p = stack.pop();
                }
                // 处理右子树
                stack.push(p);
                p = p.rightChild;
            }
        }
    
        public void visted(TreeNode subTree) {
            subTree.isVisted = true;
            System.out.println("key:" + subTree.key + "--name:" + subTree.data);
        }
    
        // 测试
        public static void main(String[] args) {
            Tree bt = new Tree();
            bt.createBinTree(bt.root);
            System.out.println("the size of the tree is " + bt.size());
            System.out.println("the height of the tree is " + bt.height());
    
            System.out.println("*******(前序遍历)[ABDECF]遍历*****************");
            bt.preOrder(bt.root);
    
            System.out.println("*******(中序遍历)[DBEACF]遍历*****************");
            bt.inOrder(bt.root);
    
            System.out.println("*******(后序遍历)[DEBFCA]遍历*****************");
            bt.postOrder(bt.root);
    
            System.out.println("***非递归实现****(前序遍历)[ABDECF]遍历*****************");
            bt.nonRecPreOrder(bt.root);
    
            System.out.println("***非递归实现****(中序遍历)[DBEACF]遍历*****************");
            bt.nonRecInOrder(bt.root);
    
            System.out.println("***非递归实现****(后序遍历)[DEBFCA]遍历*****************");
            bt.noRecPostOrder(bt.root);
        }
    }

[20160425093746053]: /images/20220724/01705eae33204dc9951dab257ffc5525.png
[20160425094345811]: /images/20220724/3199438e7ab7402891a2617e2342fb29.png
[20160425093853305]: /images/20220724/89ff458db96844abb09113dc42009357.png