集合划分问题（贝尔数）

傷城~ 2022-08-21 11:56 174阅读 0赞

# 集合划分问题    #

**Time Limit:**1000MS **Memory Limit:**32768KB **64bit IO Format:**%I64d & %I64u

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Description

n个元素的集合\{1,2,...,n\}可以划分若干个非空子集。例如，当n=4时，集合\{1,2,3,4\}可以划分为15个不同的非空子集如下:

{
        {1},{2},{3},{4}},
    {
        {1,2},{3},{4}},
    {
        {1,3},{2},{4}},
    {
        {1,4},{2},{3}},
    {
        {2,3},{1},{4}},
    {
        {2,4},{1},{3}},
    {
        {3,4},{1},{2}},
    {
        {1,2},{3,4}},
    {
        {1,3},{2,4}},
    {
        {1,4},{2,3}},
    {
        {1,2,3},{4}},
    {
        {1,2,4},{3}},
    {
        {1,3,4},{2}},
    {
        {2,3,4},{1}},
    {
        {1,2,3,4}}

给定正整数n(1<=n<=20),计算出n个元素的集合\{1,2,...,n\} 可以化为多少个不同的非空子集。

Input

多组输入数据，每组数据1行，表示元素个数n.

Output

对于每组数据，输出一行一个数，表示不同的非空子集的个数。

Sample Input

Sample Output

215

**解题思路（From Internet）：**

设n个元素的集合可以划分为F(n,m)个不同的由m个非空子集组成的集合。
    
    考虑3个元素的集合，可划分为
    ① 1个子集的集合：{
      {1，2，3}}
    ② 2个子集的集合：{
      {1，2}，{3}}，{
      {1，3}，{2}}，{
      {2，3}，{1}}
    ③ 3个子集的集合：{
      {1}，{2}，{3}}
    ∴F(3,1)=1;F(3,2)=3;F(3,3)=1;
    
    如果要求F(4,2)该怎么办呢？
    
    A.往①里添一个元素{4}，得到{
      {1，2，3}，{4}}
    
    B.往②里的任意一个子集添一个4，得到
    {
      {1，2，4}，{3}}，{
      {1，2}，{3，4}}，
    {
      {1，3，4}，{2}}，{
      {1，3}，{2，4}}，
    {
      {2，3，4}，{1}}，{
      {2，3}，{1，4}}
    
    ∴F(4,2)=F(3,1)+2*F(3,2)＝1+2*3＝7
    
    推广，得F(n,m)=F(n-1,m-1)+m*F(n-1,m)

后来发现这就是组合数学里面的[贝尔数][Link 1]。

**Bell数的定义：第n个Bell数表示集合\{1,2,3,...,n\}的划分方案数，即：B\[0\] = 1;**

![20131005140757468][]

**每一个Bell数都是第二类Stirling数的和，即：**

![20131005141015750][]

**第二类Stirling数的意义是：S(n,k)表示将n个物体划分成k个非空的不可辨别的（可以理解为盒子没有编****号）集合的方法**

**数。很明显，每一个Bell是对应的第二类Stirling数之和。**

**Bell数的指数生成函数是：**

![20131005141948140][]

注意本题要用long long型。

/*
    * Copyright (c) 2016, 烟台大学计算机与控制工程学院
    * All rights reserved.
    * 文件名称：number.cpp
    * 作    者：单昕昕
    * 完成日期：2016年4月29日
    * 版 本 号：v1.0
    */
    #include<iostream>
    #include<cstdio>
    #include<cstring>
    #include<cmath>
    #include<algorithm>
    using namespace std;
    long long S(long long m,long long n)
    {
        if(m==1)
            return 1;
        if(m==n)
            return 1;
        else
            return S(m-1,n-1)+S(m,n-1)*m;
    }
    
    int main()
    {
        long long n,i;
        while(cin>>n)
        {
            long long sum=0;
            for(i=1; i<=n; i++)
                sum+=S(i,n);
            cout<<sum<<endl;
        }
        return 0;
    }

[Status]: http://acm.hust.edu.cn/vjudge/contest/view.action?cid=114425#status//H/0
[Link 1]: http://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/12309269
[20131005140757468]: /images/20220724/bf9271753e3b4d88b7db3df3137fc5b1.png
[20131005141015750]: /images/20220724/264cf0994839427fac2454ed666915ba.png
[20131005141948140]: /images/20220724/6c1c80d9fee84d108b43a1a22c824c0c.png