计算机视觉-相机模型

旧城等待， 2022-08-21 12:38 362阅读 0赞

## 1、小孔成像模型 ##

相机成像模型的雏形是小孔成像(pinhole),如下图所示：  
![这里写图片描述][20160430234535112]  
光线通过小孔(假设小孔极小，以至于一次只能通过一束光线)时，在像平面上会呈现出物体清晰的影像。  
在实际的情况下，小孔总是有一定物理尺寸的，因此像平面的一点能够接收到锥形区域内的所有光线，所以理想化的小孔成像模型描述真实的相机模型并不准确，尤其是真实的相机都是配备镜头的，使得真实的模型结构更加的复杂。尽管如此，由于小孔透视投影模型的简洁性，我们经常从这一模型开始分析。  
从小孔透视投影模型可以很容易分析出以下两条显而易见的公理：  
1) 成像的大小取决于物体本身的大小和物体距离小孔的距离。这也符合我们的直观感受，越近的物体看起来越大。  
2)物理空间中同一平面的两条平行线在相平面中汇集于一点。这也符合我们的视觉感受，沿着马路放眼望去，远处的路面比近处的路面要窄。  
如下图所示，位于同一平面Φ内的两条平行线，他们在像平面π上必然相交于水平线h上的一点，其中水平线h是像平面π与过O点且平行于平面Φ的平面的交线。  
![这里写图片描述][20160514234755678]  
为了更加精确的描述小孔投影模型，我们引入数学坐标系来详细推导其中的几何关系。  
如下图所示，我们引入几何坐标系(O,i,j,k)来描述小孔投影模型，其中O点与小孔位置重合，向量(i,j)构成平行于像平面π并且通过O点的平面的基向量，像平面π位于K轴正方向上距离O点为d的平面上，c为K轴与像平面的交点，也是像平面坐标下的坐标原点。  
![这里写图片描述][20160515000918209]  
在上述坐标系下，假设物理空间一点P(X,Y,Z)与对应的像点p(x,y,z),它们有以下关系：  
1) z=d ; 像点位于像平面上  
2) OP = λOp; 向量共线，于是可以推导出：  
![这里写图片描述][20160515004343578]  
从以上公式我们也能直观的看出，像的大小与成像物体的大小和物体距离小孔的距离有关系。

## 2、装备镜头的真实相机 ##

绝大多数真实的相机都是安装有镜头的，镜头主要有两个作用：收集更多的光线和聚焦，因为如在理想的成像模型小孔透视投影模型中的分析，如果小孔非常小，以至于只有一条光线可以通过，则像平面上的每个点都对应唯一的一条穿过小孔的光线，实际场景中小孔总是有一定大小的，因此像平面上的一个像点都对应一个锥形区域内的光线，小孔的物理尺寸越大，成像就越明亮，同时也就越模糊，小孔的物理尺寸越小，透过小孔的光线就越少，成像也就越暗越清晰，如果小孔的尺寸足够小，还会造成光的干涉等物理现象。为了避免以上问题，使得成像即清晰又明亮，就需要镜头捕获更多的光线。  
如果不考虑光的光的干涉、衍射等其它光的物理特性，镜头的行为符合几何光学定律，即1)光在均匀的介质中沿直线传播;2)光在介质表面会发生反射行为，并且入射光线、反射光线和介质的法线的夹角相等;3)光从一种介质进入另一种介质，会发生折射现象，折射行为满足折射定律。  
![这里写图片描述][20160515110714384]  
根据折射定律，镜头的折射行为可用下图表示：  
![这里写图片描述][20160515114016010]  
并且满足以下等式：  
![这里写图片描述][20160515114717698]  
只有满足上述等式的物体才能在像平面上呈现出清晰的影像，也就是说只有距离镜头一定距离范围(景深)的物体才能清晰的聚焦，并且镜头的焦距越大，支持的景深就越大。  
相机的视野  
相机的视野不仅和相机自身的焦点相关，还与相机自身的胶片大小或者感光元器件的大小相关。如下图所示，相机的视野范围可以定义为2Φ，  
其中![这里写图片描述][20160515122244550] a表示胶卷或者感光元件的直径，f表示焦距。  
![这里写图片描述][20160515121855592]

## 厚镜头相机模型 ##

厚镜头相机模型与薄镜头相机模型基本一致，满足薄镜头模型下的所有等式，除了一点，即在厚镜头相机模型中，只有通过光轴的光线才不会发生折射效果。  
![这里写图片描述][20160515150519638]

## 镜头畸变 ##

球面畸变  
了解摄影的朋友大概都知道镜头畸变的现象，原因是这样的，我们此前所说的所有的模型都是对真实模型的理想化模拟，都是建立在近轴折射假设的基础之上的，近轴折射即假设入射光线与光轴的夹角较小的情形下，根据泰勒级数，sinα≈α，于是折射定律可以表示为：![这里写图片描述][20160515152210490]  
在入射光线角度较大的情况下，这种近似处理的误差就较为明显，距离光轴越远的光线穿过镜头后会向中间汇聚。镜头的球面畸变就是由这个原因造成的。  
![这里写图片描述][20160515155216267]  
在最终的成像上会出现如下的效果：  
![这里写图片描述][20160515155614375]  
色彩畸变  
原理类似于棱镜效应  
![这里写图片描述][20160515160001645]  
除此之外，还有彗形畸变(coma)、散光(astigmatism)、弯曲(ﬁeld curvatur)、变形(distortion)等，前三个会导致成像模糊，distortion会导致成像发生形变，原因是镜头不同区域焦点不同导致的。

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