POJ 2299-Ultra-QuickSort（树状数组求逆序数）

雨点打透心脏的1/2处 2022-08-22 00:02 142阅读 0赞

# Ultra-QuickSort #

<table> 
 <tbody> 
  <tr> 
   <td><strong>Time Limit:</strong> 7000MS</td> 
   <td>&nbsp;</td> 
   <td><strong>Memory Limit:</strong> 65536K</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td><strong>Total Submissions:</strong> 52967</td> 
   <td>&nbsp;</td> 
   <td><strong>Accepted:</strong> 19434</td> 
  </tr> 
 </tbody> 
</table>

Description

![2299_1.jpg][]In this problem, you have to analyze a particular sorting algorithm. The algorithm processes a sequence of n distinct integers by swapping two adjacent sequence elements until the sequence is sorted in ascending order. For the input sequence  
9 1 0 5 4 ,  
Ultra-QuickSort produces the output  
0 1 4 5 9 .  
Your task is to determine how many swap operations Ultra-QuickSort needs to perform in order to sort a given input sequence.

Input

The input contains several test cases. Every test case begins with a line that contains a single integer n < 500,000 -- the length of the input sequence. Each of the the following n lines contains a single integer 0 ≤ a\[i\] ≤ 999,999,999, the i-th input sequence element. Input is terminated by a sequence of length n = 0. This sequence must not be processed.

Output

For every input sequence, your program prints a single line containing an integer number op, the minimum number of swap operations necessary to sort the given input sequence.

Sample Input

5
    9
    1
    0
    5
    4
    3
    1
    2
    3
    0

Sample Output

6
    0

Source

[Waterloo local 2005.02.05][]

# 题目意思： #

有一组数，求升序排列需要交换多少次，即对给定的每组数逆序数。  
可以用选择排序、归并排序和树状数组的思想来考虑，但是选择排序会超时。

# 解题思路： #

这里我们考虑用树状数组来解决。  
分两步，离散化和求逆序数。  
①离散化  
因为题目中给出的n < 500,000而0 ≤ a\[i\] ≤ 999,999,999，所以我们可以把输入的N个数a\[i\]，按大小顺序分别映射到1~N。  
例如 9 1 0 5 4 可以离散化映射为 5 2 1 4 3.  
②求逆序数  
**“逆序数就是数中各位在它前面有多少个数比它大，求出这些元素个数之和。”**  
每输入一个数就更新一次c数组再判断一次当前比这个数大的数的个数。  
**说明：**  
i是当前已经插入的数字的个数；  
num\[i\]是原序列中的数离散化后的各个数；  
getsum(num\[i\])表示比num\[i\]小的数的个数，getsum(num\[i\])等于num\[num\[i\]–lowbit(num\[i\])+1\]+...+num\[num\[i\]\]；  
i-getsum(num\[i\])表示比num\[i\]大的数的个数，这就是逆序数。  
  
**Note：**困扰了我好几个小时的就是为什么“**getsum(num\[i\])表示比num\[i\]小的数的个数**”？  
想了很久，我的理解是这样的：  
因为是依次插入，每次都做查询，所以肯定是与当前的数有关。c数组是对数组的一种求和统计，每次输入后需要更新，更新时把该数被包含在c数组里的数据全部加一，所以c\[i\]表示当前比i小的数的个数。  
  
代码一：先更新再求和

#include<cstdio>
    #include<cstring>
    #include<iostream>
    #include<algorithm>
    using namespace std;
    #define MAXN 500005
    int c[MAXN],n,num[MAXN];
    struct Node
    {
        int val,no;
    } data[MAXN];
    bool cmp(Node a,Node b)
    {
        return a.val<b.val;
    }
    int lowbit(int x)
    {
        return x&(-x);
    }
    void update(int x,int v)
    {
        while(x<=n)
        {
            c[x]+=v;
            x+=lowbit(x);
        }
    }
    int getsum(int x)
    {
        int sum=0;
        while(x)
        {
            sum+=c[x];
            x-=lowbit(x);
        }
        return sum;
    }
    int main()
    {
        int i;
        long long ans;
        while(scanf("%d",&n),n)
        {
            memset(c,0,sizeof(c));
            for(i=1; i<=n; i++)
            {
                scanf("%d",&data[i].val);
                data[i].no=i;//保存每个数输入时的下标
            }
            sort(data+1,data+n+1,cmp);//对输入的序列排序
            for(i=1; i<=n; i++)
            {
                //离散化，把n个点按大小映射到1~n
                //data[i].no是数在原序列中的下标
                num[data[i].no]=i;//离散下标表示
            }
            ans=0;
            for(i=1; i<=n; i++)
            {
                //n是总数，num[i]是原序列中的数离散化后的各个数
                //getsum(num[i])表示比num[i]小的数的个数
                //getsum(num[i])等于num[num[i]–lowbit(num[i])+1]+...+num[num[i]]
                update(num[i],1);
                ans+=i-getsum(num[i]);
            }
            cout<<ans<<endl;
        }
    }

代码二：先求和再更新

#include<cstdio>
    #include<cstring>
    #include<iostream>
    #include<algorithm>
    using namespace std;
    #define MAXN 500005
    int c[MAXN],n,num[MAXN];
    struct Node
    {
        int val,no;
    } data[MAXN];
    bool cmp(Node a,Node b)
    {
        return a.val<b.val;
    }
    int lowbit(int x)
    {
        return x&(-x);
    }
    void update(int x,int v)
    {
        while(x<=n)
        {
            c[x]+=v;
            x+=lowbit(x);
        }
    }
    int getsum(int x)
    {
        int sum=0;
        while(x)
        {
            sum+=c[x];
            x-=lowbit(x);
        }
        return sum;
    }
    int main()
    {
        int i;
        long long ans;
        while(scanf("%d",&n),n)
        {
            memset(c,0,sizeof(c));
            for(i=0; i<n; i++)
            {
                scanf("%d",&data[i].val);
                data[i].no=i;//保存每个数输入时的下标
            }
            sort(data,data+n,cmp);//对输入的序列排序
            for(i=0; i<n; i++)
            {
                //离散化，把n个点按大小映射到1~n
                //data[i].no是数在原序列中的下标
                num[data[i].no]=i+1;//离散下标表示
            }
            ans=0;
            for(i=0; i<n; i++)
            {
                //n是总数，num[i]是原序列中的数离散化后的各个数
                //getsum(n)是数在原序列中的下标
                //getsum(num[i])表示比num[i]小的数的个数
                //getsum(num[i])等于num[num[i]–lowbit(num[i])+1]+...+num[num[i]]
                ans+=(getsum(n)-getsum(num[i]));
                update(num[i],1);
            }
            cout<<ans<<endl;
        }
    }

转载：

树状数组，具体的说是 离散化+树状数组。这也是学习树状数组的第一题.

算法的大体流程就是：

1.先对输入的数组离散化，使得各个元素比较接近，而不是离散的，

2.接着，运用树状数组的标准操作来累计数组的逆序数。

算法详细解释：

1.解释为什么要有离散的这么一个过程？

刚开始以为999.999.999这么一个数字，对于int存储类型来说是足够了。

还有只有500000个数字，何必要离散化呢？

刚开始一直想不通，后来明白了，后面在运用树状数组操作的时候，

用到的树状数组C\[i\]是建立在一个有点像位存储的数组的基础之上的，

不是单纯的建立在输入数组之上。

比如输入一个9 1 0 5 4，那么C\[i\]树状数组的建立是在，

下标 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

数组 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1

现在由于999999999这个数字相对于500000这个数字来说是很大的，

所以如果用数组位存储的话，那么需要999999999的空间来存储输入的数据。

这样是很浪费空间的，题目也是不允许的，所以这里想通过离散化操作，

使得离散化的结果可以更加的密集。

2. 怎么对这个输入的数组进行离散操作？

离散化是一种常用的技巧，有时数据范围太大，可以用来放缩到我们能处理的范围；

因为其中需排序的数的范围0---999 999 999；显然数组不肯能这么大；

而N的最大范围是500 000；故给出的数一定可以与1.。。。N建立一个一一映射；

①当然用map可以建立，效率可能低点；

②这里用一个结构体

struct Node

int v,ord;

\}p\[510000\];和一个数组a\[510000\];

其中v就是原输入的值，ord是下标；然后对结构体按v从小到大排序；

此时，v和结构体的下标就是一个一一对应关系，而且满足原来的大小关系；

for(i=1;i<=N;i++) a\[p\[i\].ord\]=i;

然后a数组就存储了原来所有的大小信息；

比如 9 1 0 5 4 ------- 离散后aa数组就是 5 2 1 4 3；

具体的过程可以自己用笔写写就好了。

3. 离散之后，怎么使用离散后的结果数组来进行树状数组操作，计算出逆序数？

如果数据不是很大， 可以一个个插入到树状数组中，

每插入一个数， 统计比他小的数的个数，

对应的逆序为 i- getsum( aa\[i\] ),

其中 i 为当前已经插入的数的个数，

getsum( aa\[i\] ）为比 aa\[i\] 小的数的个数,

i- sum( aa\[i\] ) 即比 aa\[i\] 大的个数， 即逆序的个数

但如果数据比较大，就必须采用离散化方法

假设输入的数组是9 1 0 5 4， 离散后的结果aa\[\] = \{5,2,1,4,3\};

在离散结果中间结果的基础上，那么其计算逆序数的过程是这么一个过程。

1，输入5， 调用upDate(5, 1),把第5位设置为1

1 2 3 4 5

0 0 0 0 1

计算1-5上比5小的数字存在么？ 这里用到了树状数组的getSum（5） = 1操作，

现在用输入的下标1 - getSum(5) = 0 就可以得到对于5的逆序数为0。

2. 输入2， 调用upDate(2, 1),把第2位设置为1

1 2 3 4 5

0 1 0 0 1

计算1-2上比2小的数字存在么？ 这里用到了树状数组的getSum（2） = 1操作，

现在用输入的下标2 - getSum(2) = 1 就可以得到对于2的逆序数为1。

3. 输入1， 调用upDate(1, 1),把第1位设置为1

1 2 3 4 5

1 1 0 0 1

计算1-1上比1小的数字存在么？ 这里用到了树状数组的getSum（1） = 1操作，

现在用输入的下标 3 - getSum(1) = 2 就可以得到对于1的逆序数为2。

4. 输入4， 调用upDate(4, 1),把第5位设置为1

1 2 3 4 5

1 1 0 1 1

计算1-4上比4小的数字存在么？ 这里用到了树状数组的getSum（4） = 3操作，

现在用输入的下标4 - getSum(4) = 1 就可以得到对于4的逆序数为1。

5. 输入3， 调用upDate(3, 1),把第3位设置为1

1 2 3 4 5

1 1 1 1 1

计算1-3上比3小的数字存在么？ 这里用到了树状数组的getSum（3） = 3操作，

现在用输入的下标5 - getSum(3) = 2 就可以得到对于3的逆序数为2。

6. 0+1+2+1+2 = 6 这就是最后的逆序数

分析一下时间复杂度，首先用到快速排序，时间复杂度为O(NlogN),

后面是循环插入每一个数字，每次插入一个数字，分别调用一次upData()和getSum()

外循环N, upData()和getSum()时间O(logN) => 时间复杂度还是O(NlogN).

最后总的还是O(NlogN).

[2299_1.jpg]: /images/20220724/7527f3946f3747b08be003368c7831d3.png
[Waterloo local 2005.02.05]: http://poj.org/searchproblem?field=source&key=Waterloo+local+2005.02.05