机器学习之支持向量机（SVM）

亦凉 2022-08-27 00:29 301阅读 0赞

# 一、应用简化版SMO算法来处理小规模数据集 #

该SMO函数的伪代码：

创建一个alpha向量并将其初始化为O 向量  
当迭代次数小于最大迭代次数时（外循环）  
对数据集中的每个数据向量（内循环）：

如果该数据向量可以被优化：  
随机选择另外一个数据向量  
同时优化这两个向量  
如果两个向量都不能被优化，退出内循环

如果所有向量都没被优化，增加迭代数目，继续下一次循环

Python源码：

from numpy import *
    
    def loadDataSet(fileName):
        dataMat = []; labelMat = []
        fr = open(fileName)
        for line in fr.readlines():
            lineArr = line.strip().split('\t')
            dataMat.append([float(lineArr[0]), float(lineArr[1])])
            labelMat.append(float(lineArr[2]))
        return dataMat,labelMat
    
    def selectJrand(i,m): #选择两个不同的alpha值，如果一个选为第alpha[i]，则另一个alpha值选择除了i随机的一个
        j=i #we want to select any J not equal to i
        while (j==i):
            j = int(random.uniform(0,m))
        return j
    
    def clipAlpha(aj,H,L): #由于aj的取值范围的限制，H为上限，L为下限
        if aj > H: 
            aj = H
        if L > aj:
            aj = L
        return aj
    '''
    功能：简单版的SMO
    输入参数：
    dataMatIn:数据集
    classLabels:类别标签
    C:控制参数（惩罚参数）
    toler:容错率
    maxIter:最大的循环次数
    输出参数：
    b：f(x)中的b值
    alpha:拉格朗日乘子
    '''
    def smoSimple(dataMatIn, classLabels, C, toler, maxIter):
        dataMatrix = mat(dataMatIn); labelMat = mat(classLabels).transpose()
        b = 0; m,n = shape(dataMatrix) #将多个列表和输人参数转换成为numpy矩阵，这样就可以简化很多数学处理操作
        alphas = mat(zeros((m,1)))
        iter = 0 #初始化遍历次数 
        while (iter < maxIter): #只有在所有数据集上遍历maxIter次，且不再发生任何alpha修改之后，程序才会停止并退出while循环
            alphaPairsChanged = 0                       #记录alpha是否巳经进行优化
            for i in range(m):
                fXi = float(multiply(alphas,labelMat).T*(dataMatrix*dataMatrix[i,:].T)) + b #预测的类别
                Ei = fXi - float(labelMat[i])           #Ei为计算误差；if checks if an example violates KKT conditions
                #一旦alphas等于0或C，那么它们就巳经在“边界”上了，因而不再能够减小或增大，因此也就不值得再对它们进行优化了
                if ((labelMat[i]*Ei < -toler) and (alphas[i] < C)) or ((labelMat[i]*Ei > toler) and (alphas[i] > 0)):
                    j = selectJrand(i,m)                #随机选择第二个alpha值
                    fXj = float(multiply(alphas,labelMat).T*(dataMatrix*dataMatrix[j,:].T)) + b
                    Ej = fXj - float(labelMat[j])       #计算第二个alpha值的误差
                    alphaIold = alphas[i].copy(); alphaJold = alphas[j].copy();
                    if (labelMat[i] != labelMat[j]):    #当y1和y2异号，计算alpha的取值范围
                        L = max(0, alphas[j] - alphas[i])
                        H = min(C, C + alphas[j] - alphas[i])
                    else:                               #当y1和y2同号，计算alpha的取值范围                       
                        L = max(0, alphas[j] + alphas[i] - C)
                        H = min(C, alphas[j] + alphas[i])
                    if L==H: print "i:%d, L==H" %(i); continue
                    #eta = K11+K22-2*K12,也是f(x)的二阶导数
                    eta = 2.0 * dataMatrix[i,:]*dataMatrix[j,:].T - dataMatrix[i,:]*dataMatrix[i,:].T - dataMatrix[j,:]*dataMatrix[j,:].T
                    if eta >= 0: print "i:%d, eta>=0" %(i); continue
                    alphas[j] -= labelMat[j]*(Ei - Ej)/eta #利用公式更新alpha[j]
                    alphas[j] = clipAlpha(alphas[j],H,L)
                    if (abs(alphas[j] - alphaJold) < 0.00001): print "i:%d, j not moving enough" %(i); continue
                    alphas[i] += labelMat[j]*labelMat[i]*(alphaJold - alphas[j])#update i by the same amount as j
                                                                            #the update is in the oppostie direction
                    b1 = b - Ei- labelMat[i]*(alphas[i]-alphaIold)*dataMatrix[i,:]*dataMatrix[i,:].T - labelMat[j]*(alphas[j]-alphaJold)*dataMatrix[i,:]*dataMatrix[j,:].T
                    b2 = b - Ej- labelMat[i]*(alphas[i]-alphaIold)*dataMatrix[i,:]*dataMatrix[j,:].T - labelMat[j]*(alphas[j]-alphaJold)*dataMatrix[j,:]*dataMatrix[j,:].T
                    if (0 < alphas[i]) and (C > alphas[i]): b = b1 #把新值b给原来的旧值b，为了后续的循环
                    elif (0 < alphas[j]) and (C > alphas[j]): b = b2 
                    else: b = (b1 + b2)/2.0
                    alphaPairsChanged += 1
                    print "iter: %d i:%d, pairs changed %d" % (iter,i,alphaPairsChanged)
    ##            else:
    ##                print "i: %d" %(i)
            if (alphaPairsChanged == 0): iter += 1 #检査alpha值是否做了更新，如果有更新则将iter为0后继续运行程序
            else: iter = 0
            print "iteration number: %d" % iter
        return b,alphas

运行以下命令：

dataArr,labelArr = loadDataSet('testSet.txt')
    b,alphas = smoSimple(dataArr,labelArr,0.6,0.001,40)

加上求解w的函数（利用alphas）

def calcWs(alphas,dataArr,classLabels):
        X = mat(dataArr); labelMat = mat(classLabels).transpose()
        m,n = shape(X)
        w = zeros((n,1))
        for i in range(m):
            w += multiply(alphas[i]*labelMat[i],X[i,:].T)
        return w

加上画图函数：

def plotfig_SVM(xMat,yMat,ws,b,alphas):
        xMat = mat(xMat)
        yMat = mat(yMat)
        b = array(b)[0] #b原来是矩阵，先转为数组类型后其数组大小为（1,1），所以后面加[0]，变为(1,)
        fig = plt.figure()
        ax = fig.add_subplot(111)
        ax.scatter(xMat[:,0].flatten().A[0],xMat[:,1].flatten().A[0]) #注意flatten的用法
        x = arange(-1.0,10.0,0.1) #x最大值，最小值根据原数据集dataArr[:,0]的大小而定
        y =(-b-ws[0][0]*x)/ws[1][0] #根据x.w + b = 0 得到，其式子展开为w0.x1 + w1.x2 + b = 0,x2就是y值
        ax.plot(x,y)
        for i in range(100): #找到支持向量，并在图中标红
            if alphas[i]>0.0:
                ax.plot(xMat[i,0],xMat[i,1],'ro')
        plt.show()

运行命令：

ws = calcWs(alphas,dataArr,labelArr)
    plotfig_SVM(dataArr,labelArr,ws,b,alphas)

画图：（其中红色的点为支持向量）

![20140428165812640][]

# 二、利用完整Platt SMO算法加速优化 #

Platt SMO 算法是通过一个外循环来选择第一个alpha值的，并且其选择过程会在两种方式之间进行交替： 一种方式是在所有数据集上进行单遍扫描， 另一种方式则是在非边界alpha中实现单遍扫描。而所谓非边界alpha是指的就是那些不等于边界0或C的alpha值。对整个数据集的扫描相当容易，而实现非边界alpha值的扫描时，首先需要建立这些alpha值的列表，然后再对这个表进行遍历。同时，该步骤会跳过那些已知的不会改变的alpha值 。

Python代码：

def kernelTrans(X, A, kTup): #calc the kernel or transform data to a higher dimensional space
        m,n = shape(X)
        K = mat(zeros((m,1)))
        if kTup[0]=='lin': K = X * A.T   #linear kernel
        elif kTup[0]=='rbf':
            for j in range(m):
                deltaRow = X[j,:] - A
                K[j] = deltaRow*deltaRow.T
            K = exp(K/(-1*kTup[1]**2)) #divide in NumPy is element-wise not matrix like Matlab
        else: raise NameError('Houston We Have a Problem -- \
        That Kernel is not recognized')
        return K
    
    class optStruct: #建立一个数据结构来保存所有的重要值
        def __init__(self,dataMatIn, classLabels, C, toler, kTup):  # Initialize the structure with the parameters 
            self.X = dataMatIn
            self.labelMat = classLabels
            self.C = C
            self.tol = toler
            self.m = shape(dataMatIn)[0]
            self.alphas = mat(zeros((self.m,1)))
            self.b = 0
            self.eCache = mat(zeros((self.m,2))) #first column is valid flag（是否有效的标志位），第二列是实际的E值（误差值）
            self.K = mat(zeros((self.m,self.m)))
            for i in range(self.m):
                self.K[:,i] = kernelTrans(self.X, self.X[i,:], kTup)
            
    def calcEk(oS, k):
        fXk = float(multiply(oS.alphas,oS.labelMat).T*oS.K[:,k] + oS.b)
        Ek = fXk - float(oS.labelMat[k])
        return Ek
            
    def selectJ(i, oS, Ei):         #this is the second choice -heurstic, and calcs Ej
        maxK = -1; maxDeltaE = 0; Ej = 0
        #选择第二个alhpa值以保证在每次优化中采用最大步长
        oS.eCache[i] = [1,Ei]  #set valid（将即将使用的Ei值设为有效） #choose the alpha that gives the maximum delta E
        validEcacheList = nonzero(oS.eCache[:,0].A)[0]
        if (len(validEcacheList)) > 1: #选择其中使改变最大的那个E值
            for k in validEcacheList:   #loop through valid Ecache values and find the one that maximizes delta E
                if k == i: continue #don't calc for i, waste of time
                Ek = calcEk(oS, k)
                deltaE = abs(Ei - Ek)
                if (deltaE > maxDeltaE):
                    maxK = k; maxDeltaE = deltaE; Ej = Ek
            return maxK, Ej
        else:   #in this case (first time around) we don't have any valid eCache values
            j = selectJrand(i, oS.m)
            Ej = calcEk(oS, j)
        return j, Ej
    
    def updateEk(oS, k):#after any alpha has changed update the new value in the cache
        Ek = calcEk(oS, k)
        oS.eCache[k] = [1,Ek]
    '''
    功能：和smoSimple函数一样（包括选择第二个乘子）
    '''
    def innerL(i, oS):
        Ei = calcEk(oS, i) 
        if ((oS.labelMat[i]*Ei < -oS.tol) and (oS.alphas[i] < oS.C)) or ((oS.labelMat[i]*Ei > oS.tol) and (oS.alphas[i] > 0)):
            j,Ej = selectJ(i, oS, Ei) #this has been changed from selectJrand
            alphaIold = oS.alphas[i].copy(); alphaJold = oS.alphas[j].copy();
            if (oS.labelMat[i] != oS.labelMat[j]): #当y1和y2异号，计算alpha[j]的取值范围
                L = max(0, oS.alphas[j] - oS.alphas[i])
                H = min(oS.C, oS.C + oS.alphas[j] - oS.alphas[i])
            else:   #当y1和y2同号，计算alpha[j]的取值范围
                L = max(0, oS.alphas[j] + oS.alphas[i] - oS.C)
                H = min(oS.C, oS.alphas[j] + oS.alphas[i])
            if L==H: print "L==H"; return 0
            eta = 2.0 * oS.K[i,j] - oS.K[i,i] - oS.K[j,j] #changed for kernel
            if eta >= 0: print "eta>=0"; return 0
            oS.alphas[j] -= oS.labelMat[j]*(Ei - Ej)/eta
            oS.alphas[j] = clipAlpha(oS.alphas[j],H,L)
            updateEk(oS, j) #added this for the Ecache
            if (abs(oS.alphas[j] - alphaJold) < 0.00001): print "j not moving enough"; return 0
            oS.alphas[i] += oS.labelMat[j]*oS.labelMat[i]*(alphaJold - oS.alphas[j])#update i by the same amount as j
            updateEk(oS, i) #added this for the Ecache                    #the update is in the oppostie direction
            b1 = oS.b - Ei- oS.labelMat[i]*(oS.alphas[i]-alphaIold)*oS.K[i,i] - oS.labelMat[j]*(oS.alphas[j]-alphaJold)*oS.K[i,j]
            b2 = oS.b - Ej- oS.labelMat[i]*(oS.alphas[i]-alphaIold)*oS.K[i,j]- oS.labelMat[j]*(oS.alphas[j]-alphaJold)*oS.K[j,j]
            if (0 < oS.alphas[i]) and (oS.C > oS.alphas[i]): oS.b = b1
            elif (0 < oS.alphas[j]) and (oS.C > oS.alphas[j]): oS.b = b2
            else: oS.b = (b1 + b2)/2.0
            return 1
        else: return 0
    '''
    功能：外循环（选择第一个乘子）
    '''
    def smoP(dataMatIn, classLabels, C, toler, maxIter,kTup=('lin', 0)):    #full Platt SMO
        oS = optStruct(mat(dataMatIn),mat(classLabels).transpose(),C,toler, kTup) #建立一个数据结构来保存所有的重要值
        iter = 0
        entireSet = True; alphaPairsChanged = 0 #alpha改变标志位
        while (iter < maxIter) and ((alphaPairsChanged > 0) or (entireSet)):
            alphaPairsChanged = 0 
            if entireSet:   #go over all 遍历整个数据集
                for i in range(oS.m):        
                    alphaPairsChanged += innerL(i,oS)
                    print "fullSet, iter: %d i:%d, pairs changed %d" % (iter,i,alphaPairsChanged)
                iter += 1
            else:#go over non-bound (railed) alphas
                nonBoundIs = nonzero((oS.alphas.A > 0) * (oS.alphas.A < C))[0]
                for i in nonBoundIs:
                    alphaPairsChanged += innerL(i,oS)
                    print "non-bound, iter: %d i:%d, pairs changed %d" % (iter,i,alphaPairsChanged)
                iter += 1
            if entireSet: entireSet = False #toggle entire set loop
            elif (alphaPairsChanged == 0): entireSet = True  
            print "iteration number: %d" % iter
        return oS.b,oS.alphas

运行以下代码：

dataArr,labelArr = loadDataSet('testSet.txt')
    b,alphas = smoP(dataArr,labelArr,0.6,0.001,40)

ws = calcWs(alphas,dataArr,labelArr)
    plotfig_SVM(dataArr,labelArr,ws,b,alphas)

画图：

![20140428170022187][]

# 三、在复杂数据上利用核函数 #

添加函数：

''' 功能：利用核函数进行分类 ''' def testRbf(k1=1.3): dataArr,labelArr = loadDataSet('testSetRBF.txt') b,alphas = smoP(dataArr, labelArr, 200, 0.0001, 10000, ('rbf', k1)) #C=200 important datMat=mat(dataArr); labelMat = mat(labelArr).transpose() svInd=nonzero(alphas.A>0)[0] #找到非零的alphas值，从而得到了所需要的支持向量 sVs=datMat[svInd] #get matrix of only support vectors labelSV = labelMat[svInd];#得到了支持向量的类别标签， print "there are %d Support Vectors" % shape(sVs)[0] m,n = shape(datMat) predict_label0_index = [] predict_label1_index = [] errorCount = 0 for i in range(m): kernelEval = kernelTrans(sVs,datMat[i,:],('rbf', k1)) #只利用支持向量就可进行分类 predict = array(kernelEval.T * multiply(labelSV,alphas[svInd]) + b) #计算预测值 if sign(predict) == -1: #如果预测的标签是-1，则保存一个列表中 predict_label0_index.append(i) elif sign(predict) == 1: #如果预测的标签是-1，则保存另一个列表中 predict_label1_index.append(i) if sign(predict)!=sign(labelArr[i]): errorCount += 1 #利用sign函数，判断预测是否正确 print "the training error rate is: %f" % (float(errorCount)/m) plotfig_kernel(dataArr,predict_label0_index,predict_label1_index,alphas)#画图 dataArr,labelArr = loadDataSet('testSetRBF2.txt') #再用另一个数据集进行测试，后面代码和前面一样 errorCount = 0 datMat=mat(dataArr); labelMat = mat(labelArr).transpose() m,n = shape(datMat) for i in range(m): kernelEval = kernelTrans(sVs,datMat[i,:],('rbf', k1)) predict=kernelEval.T * multiply(labelSV,alphas[svInd]) + b if sign(predict)!=sign(labelArr[i]): errorCount += 1 print "the test error rate is: %f" % (float(errorCount)/m)

其中画图函数换为：

'''
    功能：画利用核函数进行分类的图
    '''
    def plotfig_kernel(xMat,predict_label0_index,predict_label1_index,alphas):
        fig = plt.figure()
        ax = fig.add_subplot(111)
        for i in predict_label0_index: #预测标签为-1的标为红色三角形
            ax.plot(xMat[i][0],xMat[i][1],'r^')
        for i in predict_label1_index: #预测标签为1的标为蓝色正方形
            ax.plot(xMat[i][0],xMat[i][1],'bs')
        plt.show()

运行命令：

testRbf()

画图：

![20140428213856468][]

说明：

为什么核转换函数只用支持向量？

因为根据公式：![Image 1][]![Center][]，其中K( xi , x )为核函数，当xi不是支持向量时，其前面的ai为0，所以不是支持向量的元素不用计算，这样可以大大降低计算量。

参考文章：

1、[支持向量机通俗导论（理解SVM的三层境界）][SVM]

2、[支持向量机（五）SMO算法][SMO]

3、[支持向量机（SVM），SMO算法原理及源代码剖析][SVM_SMO]

4、[Stanford机器学习---第八讲. 支持向量机SVM][Stanford_---_. _SVM]

5、机器学习实战  李锐等译

[20140428165812640]: /images/20220824/fa414d3b4dc840f9bfefe2f1127fcc5d.png
[20140428170022187]: /images/20220824/b68c9224313d4d03b28dca0dc7be21d2.png
[20140428213856468]: /images/20220824/a5765ec939524c8eb9d1582a98bdf90f.png
[Image 1]: 
[Center]: /images/20220824/981a8a0da4c540a983bda32ff12446e6.png
[SVM]: http://blog.csdn.net/v_july_v/article/details/7624837
[SMO]: http://www.cnblogs.com/jerrylead/archive/2011/03/18/1988419.html
[SVM_SMO]: http://blog.csdn.net/leizh007/article/details/24184601
[Stanford_---_. _SVM]: http://blog.csdn.net/abcjennifer/article/details/7849812