RSA算法原理（二）

你的名字 2022-08-27 14:59 145阅读 0赞

作者： [ 阮一峰][Link 1]

上一次，我介绍了一些[数论知识][Link 2]。

有了这些知识，我们就可以看懂[RSA算法][RSA]。这是目前地球上最重要的加密算法。

![bg2013070301.png][]

**六、密钥生成的步骤**

我们通过一个例子，来理解RSA算法。假设[爱丽丝][Link 3]要与鲍勃进行加密通信，她该怎么生成公钥和私钥呢？

![bg2013070302.png][]

**第一步，随机选择两个不相等的质数p和q。**

爱丽丝选择了61和53。（实际应用中，这两个质数越大，就越难破解。）

**第二步，计算p和q的乘积n。**

爱丽丝就把61和53相乘。

> 　　n = 61×53 = 3233

n的长度就是密钥长度。3233写成二进制是110010100001，一共有12位，所以这个密钥就是12位。实际应用中，RSA密钥一般是1024位，重要场合则为2048位。

**第三步，计算n的欧拉函数φ(n)。**

根据公式：

> 　　φ(n) = (p-1)(q-1)

爱丽丝算出φ(3233)等于60×52，即3120。

**第四步，随机选择一个整数e，条件是1< e < φ(n)，且e与φ(n) 互质。**

爱丽丝就在1到3120之间，随机选择了17。（实际应用中，常常选择65537。）

**第五步，计算e对于φ(n)的模反元素d。**

所谓["模反元素"][Link 4]就是指有一个整数d，可以使得ed被φ(n)除的余数为1。

> 　　ed ≡ 1 (mod φ(n))

这个式子等价于

> 　　ed - 1 = kφ(n)

于是，找到模反元素d，实质上就是对下面这个二元一次方程求解。

> 　　ex + φ(n)y = 1

已知 e=17, φ(n)=3120，

> 　　17x + 3120y = 1

这个方程可以用["扩展欧几里得算法"][Link 5]求解，此处省略具体过程。总之，爱丽丝算出一组整数解为 (x,y)=(2753,-15)，即 d=2753。

至此所有计算完成。

**第六步，将n和e封装成公钥，n和d封装成私钥。**

在爱丽丝的例子中，n=3233，e=17，d=2753，所以公钥就是 (3233,17)，私钥就是（3233, 2753）。

实际应用中，公钥和私钥的数据都采用[ASN.1][]格式表达（[实例][Link 6]）。

**七、RSA算法的可靠性**

回顾上面的密钥生成步骤，一共出现六个数字：

> 　　p  
> 　　q  
> 　　n  
> 　　φ(n)  
> 　　e  
> 　　d

这六个数字之中，公钥用到了两个（n和e），其余四个数字都是不公开的。其中最关键的是d，因为n和d组成了私钥，一旦d泄漏，就等于私钥泄漏。

**那么，有无可能在已知n和e的情况下，推导出d？**

> 　　（1）ed≡1 (mod φ(n))。只有知道e和φ(n)，才能算出d。
> 
> 　　（2）φ(n)=(p-1)(q-1)。只有知道p和q，才能算出φ(n)。
> 
> 　　（3）n=pq。只有将n因数分解，才能算出p和q。

**结论：如果n可以被因数分解，d就可以算出，也就意味着私钥被破解。**

可是，大整数的因数分解，是一件非常困难的事情。目前，除了暴力破解，还没有发现别的有效方法。维基百科这样写道：

> 　　"对极大整数做因数分解的难度决定了RSA算法的可靠性。换言之，对一极大整数做因数分解愈困难，RSA算法愈可靠。
> 
> 　　假如有人找到一种快速因数分解的算法，那么RSA的可靠性就会极度下降。但找到这样的算法的可能性是非常小的。今天只有短的RSA密钥才可能被暴力破解。到2008年为止，世界上还没有任何可靠的攻击RSA算法的方式。
> 
> 　　只要密钥长度足够长，用RSA加密的信息实际上是不能被解破的。"

举例来说，你可以对3233进行因数分解（61×53），但是你没法对下面这个整数进行因数分解。

> 　　12301866845301177551304949  
> 　　58384962720772853569595334  
> 　　79219732245215172640050726  
> 　　36575187452021997864693899  
> 　　56474942774063845925192557  
> 　　32630345373154826850791702  
> 　　61221429134616704292143116  
> 　　02221240479274737794080665  
> 　　351419597459856902143413

它等于这样两个质数的乘积：

> 　　33478071698956898786044169  
> 　　84821269081770479498371376  
> 　　85689124313889828837938780  
> 　　02287614711652531743087737  
> 　　814467999489  
> 　　　　×  
> 　　36746043666799590428244633  
> 　　79962795263227915816434308  
> 　　76426760322838157396665112  
> 　　79233373417143396810270092  
> 　　798736308917

事实上，这大概是人类已经分解的最大整数（232个十进制位，768个二进制位）。比它更大的因数分解，还没有被报道过，因此目前被破解的最长RSA密钥就是768位。

**八、加密和解密**

有了公钥和密钥，就能进行加密和解密了。

**（1）加密要用公钥 (n,e)**

假设鲍勃要向爱丽丝发送加密信息m，他就要用爱丽丝的公钥 (n,e) 对m进行加密。这里需要注意，m必须是整数（字符串可以取ascii值或unicode值），且m必须小于n。

所谓"加密"，就是算出下式的c：

> 　　me ≡ c (mod n)

爱丽丝的公钥是 (3233, 17)，鲍勃的m假设是65，那么可以算出下面的等式：

> 　　6517 ≡ 2790 (mod 3233)

于是，c等于2790，鲍勃就把2790发给了爱丽丝。

**（2）解密要用私钥(n,d)**

爱丽丝拿到鲍勃发来的2790以后，就用自己的私钥(3233, 2753) 进行解密。可以证明，下面的等式一定成立：

> 　　cd ≡ m (mod n)

也就是说，c的d次方除以n的余数为m。现在，c等于2790，私钥是(3233, 2753)，那么，爱丽丝算出

> 　　27902753 ≡ 65 (mod 3233)

因此，爱丽丝知道了鲍勃加密前的原文就是65。

至此，"加密--解密"的整个过程全部完成。

我们可以看到，如果不知道d，就没有办法从c求出m。而前面已经说过，要知道d就必须分解n，这是极难做到的，所以RSA算法保证了通信安全。

你可能会问，公钥(n,e) 只能加密小于n的整数m，那么如果要加密大于n的整数，该怎么办？有两种解决方法：一种是把长信息分割成若干段短消息，每段分别加密；另一种是先选择一种"对称性加密算法"（比如[DES][]），用这种算法的密钥加密信息，再用RSA公钥加密DES密钥。

**九、私钥解密的证明**

最后，我们来证明，为什么用私钥解密，一定可以正确地得到m。也就是证明下面这个式子：

> 　　cd ≡ m (mod n)

因为，根据加密规则

> 　　ｍe ≡ c (mod n)

于是，c可以写成下面的形式：

> 　　c = me \- kn

将c代入要我们要证明的那个解密规则：

> 　　(me \- kn)d ≡ m (mod n)

它等同于求证

> 　　med ≡ m (mod n)

由于

> 　　ed ≡ 1 (mod φ(n))

所以

> 　　ed = hφ(n)+1

将ed代入：

> 　　mhφ(n)+1 ≡ m (mod n)

接下来，分成两种情况证明上面这个式子。

**（1）m与n互质。**

根据欧拉定理，此时

> 　　mφ(n) ≡ 1 (mod n)

得到

> 　　(mφ(n))h × m ≡ m (mod n)

原式得到证明。

**（2）m与n不是互质关系。**

此时，由于n等于质数p和q的乘积，所以m必然等于kp或kq。

以 m = kp为例，考虑到这时k与q必然互质，则根据欧拉定理，下面的式子成立：

> 　　(kp)q-1 ≡ 1 (mod q)

进一步得到

> 　　\[(kp)q-1\]h(p-1) × kp ≡ kp (mod q)

即

> 　　(kp)ed ≡ kp (mod q)

将它改写成下面的等式

> 　　(kp)ed = tq + kp

这时t必然能被p整除，即 t=t'p

> 　　(kp)ed = t'pq + kp

因为 m=kp，n=pq，所以

> 　　med ≡ m (mod n)

原式得到证明。

（完）

转自：http://www.ruanyifeng.com/blog/2013/07/rsa\_algorithm\_part\_two.html

[Link 1]: http://www.ruanyifeng.com
[Link 2]: http://www.ruanyifeng.com/blog/2013/06/rsa_algorithm_part_one.html
[RSA]: http://zh.wikipedia.org/wiki/RSA%E7%AE%97%E6%B3%95
[bg2013070301.png]: http://image.beekka.com/blog/201307/bg2013070301.png
[Link 3]: http://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%88%B1%E4%B8%BD%E4%B8%9D%E4%B8%8E%E9%B2%8D%E4%BC%AF
[bg2013070302.png]: http://image.beekka.com/blog/201307/bg2013070302.png
[Link 4]: http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%A8%A1%E5%8F%8D%E5%85%83%E7%B4%A0
[Link 5]: http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%89%A9%E5%B1%95%E6%AC%A7%E5%87%A0%E9%87%8C%E5%BE%97%E7%AE%97%E6%B3%95
[ASN.1]: http://zh.wikipedia.org/zh-cn/ASN.1
[Link 6]: http://hi.baidu.com/mathack/item/d0ad4cc1514a3663f7c95da2
[DES]: https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%B5%84%E6%96%99%E5%8A%A0%E5%AF%86%E6%A0%87%E5%87%86