数量金融 | 随机过程、马尔可夫过程、维纳过程三者的联系与区别？

青旅半醒 2022-08-28 14:41 168阅读 0赞

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大家好，我是一个充满好奇的金融小白！

最近在啃《数量金融》这本书，对于我这个非数学类的本科生来说还真是不小的挑战。有时候一个概念看懂都费了我不少时间，就在今天我为了搞明白随机过程、马尔可夫过程、维纳过程这三个概念，花了很久才明白其中的内涵。

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在明白的那一瞬间，我发现肯定也有不少的小伙伴跟我一样对这三个概念的定义模模糊糊。这时我想到我怎么才可以帮到他们！就这样有了这篇文章![560aeab166b2ab18eb972260b11df430.png][]！

在学习和理解期权等其它复杂衍生品定价之前，我们要对标的资产的价格进行建模，通常我们假定资产的价格是服从某种随机过程的。什么叫服从xx过程，你暂时可以理解资产的价格符合某种概率分布，如：正态分布……（这个大家高中就学过吧 ）在这里就出现了随机过程这个概念，那么什么是随机过程。

### 随机过程 ###

**随机过程**（stochastic process）：如果一个变量的值以某种不确定的形式随时间变化，我们称这个变量服从某种随机过程。

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没学过《随机微分方程》的同学看了这个定义可能一头雾水，我就是![4ddc080b3354c4fd6bd3b277a3a36ee0.png][]哈哈哈哈。我当时看的第一反应就是既然是以不确定的形式变化，为什么还跟时间有关系，时间就根本不起作用啊！后面我明白了，大家听我慢慢说可能会比较啰嗦![5a6232dea8402118b564e18784186fc9.png][]。

这个定义里面有两个需要特别关注的地方，一个是“不确定的形式”，一个当然就是“时间”。不知道大家有学过《统计学》里面的区间估计没有，那里面我们估计一个参数的时候，是不是就是：点估计值±标准误\*ε，这里面就隐含着“不确定”这三个字。我们得到的是一个区间，而不是一个确切的数字。而这里说的“变量以不确定的形式”正是这个意思，我们无法估计股票具体的值，但是我们能够给它划定一个区间，并且这个区间是随着时间的变化而变化的，这就是“时间”真正想表达的意思。举个简单的例子就是在一年内股票的价值是：100±5，两年内股票的价值可能就是：105±5，这就是以“不确定的形式随时间变化”。当然区间长度不一定是对称的，也不一定是正态分布，我这里仅仅是举个例子，主要是能理解随机过程的含义，不必较真。

现在理解了随机过程，我们再来看看马尔可夫过程。

### 马尔可夫过程 ###

**马尔可夫过程**（Markov process）:是一个特殊类型的随机过程，其中只有标的变量的当前值与未来的预测有关，而变量的历史值以及变量从过去到现在的演变方式与未来预测无关。

这么长一段定义，我们只要关注：当前值与未来预测有关，历史值与未来预测无关。还是没太看懂是吧，我再换句话就是：同一个随机变量，不同的时间单位的变化都是独立的。假设第1年初资产价格为S₀，定义ΔS为未来资产价格的变化（ΔS也是一个随机变量）如果1年初到2年初ΔS～N(0，σ²)【其中ΔS=0就是资产价格没变的意思】，第2年初到3年初ΔS～N(0，σ²)虽然他们是同一个随机变量，但是他们是互相独立的，这样第1年初到第3年初，随机变量ΔS~N(0，2σ²)，这下明白了吧。以此类推第1年初到第Δt年初，ΔS～N(0，σ√Δt)，这样的随机过程就叫做马尔可夫过程。

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为什么马尔可夫过程就说明了不同时间的随机变量互相对立呢？因为历史值不会影响将来值，只与当前值有关，根据变量独立性的定义，两个变量没有影响毫无关系就说明两个变量独立。只不过这里是不同时间段同一个随机变量S的两个随机过程，这一点大家应该能理解了吧！一般我们把具有马尔可夫过程这个性质的随机过程叫做具有马尔可夫性或者服从马尔可夫过程。

最后我们讲讲维纳过程，这也是曾在物理学中用来描述一个粒子受到大量小分子碰撞所产生的运动，有时也称布朗运动（Brownian motion）。

### 维纳过程 ###

**维纳过程**（Wiener process）:维纳过程是一种均值为0，方差为每年1的特殊马尔可夫过程。

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这里有必要说一下的就是，资产的价格S是不可能满足维纳过程的，因为价格不可能满足均值为0啊，但是资产价格的变化ΔS是满足的，0正好对应着资产价格没有变化。

具体一点，一个随机过程要是维纳过程必须满足两个要求：①随机变量Z具有马尔可夫性，证明略②随机变量Z的变化，即ΔZ～（0，√Δt) ，或者写成ΔZ=ε√Δt，其中ε服从标准正态分布Φ（0，1）。

所以总得来说维纳过程是马尔可夫过程的特例，马尔可夫过程是随机过程的一种。不知道写的如何希望大家能够看懂哈哈哈。

好啦，这就是今天我想给大家分享的内容，如果有什么问题或错误可以留言告诉我！

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