Sigmoid函数求导过程

ゞ浴缸里的玫瑰 2022-08-29 05:47 255阅读 0赞

# Sigmoid函数及其导数公式 #

f ( x ) = 1 1 + e − x f(x)=\\frac\{1\}\{1+e^\{-x\}\} f(x)=1\+e−x1

其导数为：

f ′ ( x ) = f ( x ) ( 1 − f ( x ) ) f^\{\\prime\}(x)=f(x)(1-f(x)) f′(x)=f(x)(1−f(x))

## Sigmoid函数求导详细推导过程 ##

f ( x ) = 1 1 + e − x = ( 1 + e − x ) − 1 f(x)=\\frac\{1\}\{1+e^\{-x\}\}=\\left(1+e^\{-x\}\\right)^\{-1\} f(x)=1\+e−x1=(1\+e−x)−1

f ′ ( x ) = ( − 1 ) ( 1 + e − x ) − 2 e − x ( − 1 ) = ( 1 + e − x ) − 2 e − x = e − x ( 1 + e − x ) 2 = 1 + e − x − 1 ( 1 + e − x ) 2 = 1 + e − x ( 1 + e − x ) 2 − 1 ( 1 + e − x ) 2 = 1 1 + e − x − 1 ( 1 + e − x ) 2 = ( 1 1 + e − x ) ( 1 − 1 1 + e − x ) = f ( x ) ( 1 − f ( x ) ) \\begin\{aligned\} f'(x) &=(-1) \\left(1+e^\{-x\}\\right)^\{-2\} e^\{-x\} (-1) \\\\\\\\ &=\\left(1+e^\{-x\}\\right)^\{-2\} e^\{-x\} \\\\\\\\ &=\\frac\{e^\{-x\}\}\{\\left(1+e^\{-x\}\\right)^\{2\}\} \\\\\\\\ &=\\frac\{1+e^\{-x\}-1\}\{\\left(1+e^\{-x\}\\right)^\{2\}\} \\\\\\\\ &=\\frac\{1+e^\{-x\}\}\{\\left(1+e^\{-x\}\\right)^\{2\}\}-\\frac\{1\}\{\\left(1+e^\{-x\}\\right)^\{2\}\} \\\\\\\\ &=\\frac\{1\}\{1+e^\{-x\}\}-\\frac\{1\}\{\\left(1+e^\{-x\}\\right)^\{2\}\} \\\\\\\\ &=\\left(\\frac\{1\}\{1+e^\{-x\}\}\\right)\\left(1-\\frac\{1\}\{1+e^\{-x\}\}\\right) \\\\\\\\ &=f(x)(1-f(x)) \\end\{aligned\} f′(x)=(−1)(1\+e−x)−2e−x(−1)=(1\+e−x)−2e−x=(1\+e−x)2e−x=(1\+e−x)21\+e−x−1=(1\+e−x)21\+e−x−(1\+e−x)21=1\+e−x1−(1\+e−x)21=(1\+e−x1)(1−1\+e−x1)=f(x)(1−f(x))

##        ##

# 参考资料 #

[考研必备数学公式大全][Link 1]: https://blog.csdn.net/zhaohongfei\_358/article/details/106039576

[Link 1]: https://blog.csdn.net/zhaohongfei_358/article/details/106039576

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