复数与二维旋转

迷南。 2022-08-31 04:49 145阅读 0赞

# 复数与二维旋转 #

## 复数 ##

如下图中所示，定义一个复平面，存在一个复数Z，其中横坐标Re代表复数Z的实部，纵坐标Im代表**虚部**。  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3d4Y18xOTk4_size_16_color_FFFFFF_t_70]  
可以得出复数 Z 其实就是对**基底** \{1, i\} 的线性组合，且可以写成向量形式，如下所示：  
![在这里插入图片描述][6e05d7ac73b842ac85f4189978dd8e95.png]

## 定义与性质 ##

首先，假设存在两个复数Z1和Z2，分别为：  
![在这里插入图片描述][e9d0093b1aab46859d208f9697508aa9.png]

### 加减法 ###

对应分量直接相加减。  
![在这里插入图片描述][073160d6bbc5427e818833e187f38c34.png]![在这里插入图片描述][2c4841bdbd384e7ea3d218214d22e548.png]

### 乘法 ###

对于两个复数的乘法，我们可以直接使用乘法分配率进行计算。  
![在这里插入图片描述][94865718ee9e482ca29ed26a4b1b264c.png]  
同时，进行一个定义，即 **i^2 = -1** ，这会使上式进一步化简为下式中的形式：  
![在这里插入图片描述][488ca558b3554b239ee6e07786ea35de.png]  
同时，观察上式，进一步写成矩阵与向量相乘的形式：  
![在这里插入图片描述][353dbce70ea643a2afa6624da07bc905.png]  
**也就是说，左侧的矩阵，对右侧的向量（Z2）进行了一个旋转变换。而且，这个变换与左乘复数Z1是等价的。**

### 一些性质 ###

同时，在矩阵形式下，复数的乘法和矩阵的乘法也是等价的，Z1与Z2矩阵相乘结果如下所示，这与上述的复数直接相乘，再写成矩阵形式具有相同的结果。  
![在这里插入图片描述][4ae4ace4218744d7837c99c75f9ec7f3.png]

此外，复数相乘还满足乘法交换律，进行如下尝试可以证明：  
![在这里插入图片描述][8a0643cf413b4f5b843d43605ca01935.png]

### 一些特殊的复数 ###

实数1，即复数Z中的分量a = 1，分量b = 0，Z = 1 + 0i  
![在这里插入图片描述][6bd52f0eb12d41a1a77e1337a666f9f7.png]  
虚数i，即复数Z中的分量a = 0，分量b = 1，Z = 0 + 1i  
![在这里插入图片描述][e50af9bcb8854dd08651a70669191bc4.png]  
对 i 平方进行计算：  
![在这里插入图片描述][3062fdfeed6c442b8e83ad24a0ecae78.png]  
即也证明了 i^2 = -1。

### 复数的模长与共轭 ###

模长计算：  
![在这里插入图片描述][26bc7d6552294105b3c8f66fa742105f.png]  
定义复数 Z 的共轭为：  
![在这里插入图片描述][b4b7f5a6646d484d905d7d3607d45be0.png]  
即只需要翻转复数 Z 的虚部。  
我们可以利用复数与复数的共轭相乘，计算复数的模长：  
![在这里插入图片描述][9c5910832ce344208530f48e1a0fcef1.png]  
即：  
![在这里插入图片描述][eba4ef804ce84f5ba3c60f51511cbdf7.png]

## 复数相乘与2D旋转 ##

继续回到之前的旋转问题，复数相乘等同于左乘一个矩阵，![在这里插入图片描述][032a84b4c4e1455a9822423470b57004.png]带来的旋转变换。  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3d4Y18xOTk4_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]  
a，b在复平面中的含义如上图所示，对矩阵进行一个简单变换会更加明了：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3d4Y18xOTk4_size_16_color_FFFFFF_t_70 2]  
到此为止，我们就见到了熟悉的二维旋转矩阵：  
![在这里插入图片描述][fe064dd169494e40859b21cfac7197ad.png]  
即左乘一个复数Z，代表逆时针旋转了θ度，其中θ通过下式计算：![在这里插入图片描述][7b5fa98916ea48d7bcbf216f5a9b41ac.png]  
并进行了尺度为 ||Z|| 的缩放。

[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3d4Y18xOTk4_size_16_color_FFFFFF_t_70]: /images/20220829/9df67f4226c9482387f32df237b91815.png
[6e05d7ac73b842ac85f4189978dd8e95.png]: /images/20220829/64c4851a143344c8b574fa0ee793097f.png
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