Pytorch与深度学习 —— 2.张量间的基本运算

末蓝、 2022-09-04 03:51 612阅读 0赞

> 我们在上一章节介绍了关于 torch 的常用指令后, 现在来做一些简易的计算,  
> 通过这些建议的运算指令, 可以更好的帮助我们理解 torch 中张量在运算中是怎么表现的.

### 文章目录 ###

*  Torch的基本运算
 *   *  首先导入需要的包
     *  创建一些简单的矩阵和向量
     *  加法运算 torch.add(...)
     *  减法运算 torch.sub(...)
     *  向量乘法运算
     *   *  向量点乘（内积）torch.dot(...)
         *  向量叉乘（外积）torch.cross(...)
     *  矩阵乘法运算
     *   *  矩阵内积 无
         *  矩阵外积 torch.mm(...)
         *  矩阵哈达玛积 torch.mul(...)
     *  除法运算 torch.div(...)

# Torch的基本运算 #

## 首先导入需要的包 ##

要想启动Pytorch的功能，首先需要导入Pytorch的包

import torch

它包含torch的主要功能，而如果需要用到扩展功能，例如torch包含的公开数据集、通用的网络结构，或者一些图像矩阵工具等，就可以：

from torchvision import datasets        # Data loaders for popular vision datasets
    from torchvision import models          # Definitions for popular model architectures, such as AlexNet, VGG, and ResNet and pre-trained models.
    from torchvision import transforms      # Common image transformations such as random crop, rotations etc.
    from torchvision import utils           # Useful stuff such as saving tensor (3 x H x W) as image to disk, given a mini-batch creating a grid of images, etc.

通常情况下，我们可能还会用到 numpy 跟其他框架做数据交互，比方说用 OpenCV 采集摄像头数据并且做一些简单的滤波后，再把数据传给 torch 做逻辑推理。又比如说，我们可能还会用到 matplotlib 框架，把 torch 的计算结果绘制成科学插图的形式，那么就可以导入这些包：

import numpy as np
    import matplotlib as plt

## 创建一些简单的矩阵和向量 ##

科学计算工具，最重要的一个工作就是具备处理矩阵和向量的能力。在 torch 没有指定具体的结构去处理向量和矩阵，所以我们需要通过规范的命名来避免矩阵和向量的混用。首先，我们先用不同的形式创建两组张量。

# create a tensor with 2 rows x 5 columns
    mat_1 = torch.tensor([[1, 2, 3, 4, 5], [6, 7, 8, 9, 10]])
    
    # create a tensor with 2 rows x 5 columns, with numpy
    ndata_1 = np.array([[0, 2, 4, 6, 8], [11, 13, 15, 17, 19]])
    mat_2 = torch.from_numpy(ndata_1)

然后，我们在创建两组由  ( i , j , k ) (i, j, k) (i,j,k) 组成的向量

# create a tensor with 4 rows x 3 columns
    vects_1 = torch.randn(4, 3)
    
    # create a tensor with 4 rows x 3 columns
    vects_2 = torch.ones(4, 3)

好，对于所有的张量的加法、减法运算，都是一样的，而我们需要特别注意的是，对于向量、矩阵来说，乘法和除法则有很大的不同，具体的你可以看一些线性代数方面的资料了解一下。

## 加法运算 torch.add(…) ##

函数原型

torch.add(input, other, *, out=None) -> Tensor

o u t = i n p u t + o t h e r out = input + other out=input\+other

如果是张量之间的加法，要求两个张量的大小、维度必须一致。而如果是张量对常数的加法，则遵循一般原则：

>>> a = torch.randn(4)
    >>> a
    tensor([ 0.0202,  1.0985,  1.3506, -0.6056])
    >>> torch.add(a, 20)
    tensor([ 20.0202,  21.0985,  21.3506,  19.3944])

此外，我们也可以直接用 + 运算符执行加法运算。

# do addition
    >>> mat_res = mat_1 + mat_2
    >>> mat_res
    tensor([[ 1,  4,  7, 10, 13],
            [17, 20, 23, 26, 29]])
    >>> mat_res = mat_1 + 5
    >>> mat_res
    tensor([[ 6,  7,  8,  9, 10],
            [11, 12, 13, 14, 15]])

## 减法运算 torch.sub(…) ##

函数原型

torch.sub(input, other, *, alpha=1, out=None) -> Tensor

加法运算的逆运算，基本规则跟加法一样，只不过多了一个alpha，可以执行倍减运算。

o u t i = i n p u t i − a l p h a × o t h e r i out\_i = input\_i − alpha × other\_i outi=inputi−alpha×otheri

>>> a = torch.tensor((1, 2))
    >>> b = torch.tensor((0, 1))
    >>> torch.sub(a, b, alpha=2)
    tensor([1, 0])

同样，Python的减法运算符也被重栽，可以直接支持张量的减法运算。

>>> mat_res = mat_2 - mat_1
    >>> mat_res
    tensor([[-1,  0,  1,  2,  3],
            [ 5,  6,  7,  8,  9]])

对于我们来说，乘法除了常量运算，还有向量乘法、矩阵乘法的运算，在 PyTorch 中也是一样的。

## 向量乘法运算 ##

### 向量点乘（内积）torch.dot(…) ###

函数原型

torch.dot(input, other, *, out=None) -> Tensor

需要注意的是，这个函数只支持1维运算，而且两个张量的维度必须一样。

a ⃗ ⋅ b ⃗ = ( a 1 , a 2 , ⋯   , a n ) ⋅ ( b 1 , b 2 , ⋯   , b n ) \\vec\{a\} \\cdot \\vec\{b\} = (a\_1, a\_2, \\cdots, a\_n) \\cdot (b\_1, b\_2, \\cdots, b\_n) a⋅b=(a1,a2,⋯,an)⋅(b1,b2,⋯,bn)  
 = a 1 b 1 + a 2 b 2 + ⋯ + a n b n = a\_1 b\_1 + a\_2 b\_2 + \\cdots + a\_n b\_n =a1b1\+a2b2\+⋯\+anbn

>>> torch.dot(torch.tensor([1, 2, 3, 4]), torch.tensor([7, 8, 9, 0]))
    tensor(50)

### 向量叉乘（外积）torch.cross(…) ###

函数原型

torch.cross(input, other, dim=None, *, out=None) -> Tensor

我第一次用 torch 的时候，想当然的觉得cross函数应该是矩阵外积，结果各种报错。后来仔细看了文档，才发现torch另外定义了矩阵外积的函数名，而cross则是专用于向量外积的。而且这个函数比较诡异的是，它可以支持多组向量外积，而且要求进行计算的向量必须是三维的（也就意味着，如果你试图做二维向量外积，需要给第三维填充0）。

a ⃗ × b ⃗ = ( a i , a j , a k ) × ( b i , b j , b k ) = ∣ i j k a i a j a k b i b j b k ∣ \\vec\{a\} \\times \\vec\{b\} = (a\_i, a\_j, a\_k) \\times (b\_i, b\_j, b\_k) = \\begin\{vmatrix\} i & j & k \\\\ a\_i & a\_j & a\_k \\\\ b\_i & b\_j & b\_k \\end\{vmatrix\} a×b=(ai,aj,ak)×(bi,bj,bk)=∣∣∣∣∣∣iaibijajbjkakbk∣∣∣∣∣∣

>>> a = torch.randn(4, 3)
    >>> a
    tensor([[-0.3956,  1.1455,  1.6895],
            [-0.5849,  1.3672,  0.3599],
            [-1.1626,  0.7180, -0.0521],
            [-0.1339,  0.9902, -2.0225]])
    >>> b = torch.randn(4, 3)
    >>> b
    tensor([[-0.0257, -1.4725, -1.2251],
            [-1.1479, -0.7005, -1.9757],
            [-1.3904,  0.3726, -1.1836],
            [-0.9688, -0.7153,  0.2159]])
    >>> torch.cross(a, b, dim=1)
    tensor([[ 1.0844, -0.5281,  0.6120],
            [-2.4490, -1.5687,  1.9792],
            [-0.8304, -1.3037,  0.5650],
            [-1.2329,  1.9883,  1.0551]])
    >>> torch.cross(a, b)
    tensor([[ 1.0844, -0.5281,  0.6120],
            [-2.4490, -1.5687,  1.9792],
            [-0.8304, -1.3037,  0.5650],
            [-1.2329,  1.9883,  1.0551]])

## 矩阵乘法运算 ##

### 矩阵内积 无 ###

在最新的版本里，貌似取消了矩阵内积的支持，但也并不意味着你不能做矩阵的内积了。我们可以通过这些方法，实现矩阵的内积运算。

>>> ret = torch.mul(mat_1, mat_2)
    >>> torch.sum(ret.view(-1))
    tensor(700)

### 矩阵外积 torch.mm(…) ###

torch.mm(input, mat2, *, out=None) -> Tensor

PyTorch 提供了另外一个函数指令执行矩阵乘法，你需要注意的就是 两矩阵的纬度问题，如果第一个矩阵的大小是  ( n × m ) (n \\times m) (n×m) 第二个矩阵的纬度是  ( m × p ) (m \\times p) (m×p)，得到的新矩阵是  ( n × p ) (n \\times p) (n×p)。

A 23 × B 32 = \[ a 00 a 01 a 02 a 10 a 11 a 12 \] × \[ b 00 b 01 b 10 b 11 b 20 b 21 \] A\_\{23\} \\times B\_\{32\} = \\begin\{bmatrix\} a\_\{00\} & a\_\{01\} & a\_\{02\} \\\\ a\_\{10\} & a\_\{11\} & a\_\{12\} \\end\{bmatrix\} \\times \\begin\{bmatrix\} b\_\{00\} & b\_\{01\} \\\\ b\_\{10\} & b\_\{11\} \\\\ b\_\{20\} & b\_\{21\} \\end\{bmatrix\} A23×B32=\[a00a10a01a11a02a12\]×⎣⎡b00b10b20b01b11b21⎦⎤

>>> mat1 = torch.randn(2, 3)
    >>> mat2 = torch.randn(3, 3)
    >>> torch.mm(mat1, mat2)
    tensor([[ 0.4851,  0.5037, -0.3633],
            [-0.0760, -3.6705,  2.4784]])

### 矩阵哈达玛积 torch.mul(…) ###

torch.mul(input, other, *, out=None) -> Tensor

这是最常见的一种矩阵乘法运算，你可以理解为元素积。 如果你要使用两个张量执行哈达玛积，那么需要注意张量纬度以及大小的一致性。

A ∘ B = \[ a 00 ⋅ b 00 , a 01 ⋅ b 01 , ⋯ a 0 j ⋅ b 0 j a 10 ⋅ b 10 , a 11 ⋅ b 11 , ⋯ a 1 j ⋅ b 1 j ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a i 0 ⋅ b i 0 , a i 1 ⋅ b i 1 , ⋯ a i j ⋅ b i j \] A \\circ B =\\begin\{bmatrix\} a\_\{00\} \\cdot b\_\{00\}, & a\_\{01\} \\cdot b\_\{01\}, & \\cdots &a\_\{0j\} \\cdot b\_\{0j\} \\\\ a\_\{10\} \\cdot b\_\{10\}, & a\_\{11\} \\cdot b\_\{11\}, & \\cdots & a\_\{1j\} \\cdot b\_\{1j\} \\\\ \\cdots & \\cdots & \\cdots & \\cdots\\\\ a\_\{i0\} \\cdot b\_\{i0\}, & a\_\{i1\} \\cdot b\_\{i1\}, & \\cdots & a\_\{ij\} \\cdot b\_\{ij\} \\end\{bmatrix\} A∘B=⎣⎢⎢⎡a00⋅b00,a10⋅b10,⋯ai0⋅bi0,a01⋅b01,a11⋅b11,⋯ai1⋅bi1,⋯⋯⋯⋯a0j⋅b0ja1j⋅b1j⋯aij⋅bij⎦⎥⎥⎤

>>> a = torch.randn(3)
    >>> a
    tensor([ 0.2015, -0.4255,  2.6087])
    >>> torch.mul(a, 100)
    tensor([  20.1494,  -42.5491,  260.8663])

除此以外，python的 \* 运算符也重载了这个运算，不过我不推荐大家使用 \* 做张量的运算。

>>> ret = torch.mul(mat_1, mat_2)
    tensor([[  0,   4,  12,  24,  40],
            [ 66,  91, 120, 153, 190]])
    >>> ret = mat_1 * mat_2
    tensor([[  0,   4,  12,  24,  40],
            [ 66,  91, 120, 153, 190]])

## 除法运算 torch.div(…) ##

torch.div(input, other, *, rounding_mode=None, out=None) -> Tensor

除法运算，是torch中实现的一种特殊的运算，本质上是元素乘（哈达玛积）的逆运算。支持张量对常数的除法。如果想要实现两个张量之间的除法，要求作为input的张量  ( N × M ) (N \\times M) (N×M) ，其对应的other张量纬度应该是  ( 1 × M ) (1 \\times M) (1×M)，或者与input张量的纬度一致  ( N × M ) (N \\times M) (N×M)。

o u t i = i n p u t i o t h e r i out\_i = \\frac\{input\_i\}\{other\_i\} outi=otheriinputi

>>> x = torch.tensor([ 0.3810,  1.2774, -0.2972, -0.3719,  0.4637])
    >>> torch.div(x, 0.5)
    tensor([ 0.7620,  2.5548, -0.5944, -0.7438,  0.9274])
    
    >>> a = torch.tensor([[-0.3711, -1.9353, -0.4605, -0.2917],
    ...                   [ 0.1815, -1.0111,  0.9805, -1.5923],
    ...                   [ 0.1062,  1.4581,  0.7759, -1.2344],
    ...                   [-0.1830, -0.0313,  1.1908, -1.4757]])
    >>> b = torch.tensor([ 0.8032,  0.2930, -0.8113, -0.2308])
    >>> torch.div(a, b)
    tensor([[-0.4620, -6.6051,  0.5676,  1.2639],
            [ 0.2260, -3.4509, -1.2086,  6.8990],
            [ 0.1322,  4.9764, -0.9564,  5.3484],
            [-0.2278, -0.1068, -1.4678,  6.3938]])
    
    >>> torch.div(a, b, rounding_mode='trunc')
    tensor([[-0., -6.,  0.,  1.],
            [ 0., -3., -1.,  6.],
            [ 0.,  4., -0.,  5.],
            [-0., -0., -1.,  6.]])
    
    >>> torch.div(a, b, rounding_mode='floor')
    tensor([[-1., -7.,  0.,  1.],
            [ 0., -4., -2.,  6.],
            [ 0.,  4., -1.,  5.],
            [-1., -1., -2.,  6.]])