递归实现求最大公约数

「爱情、让人受尽委屈。」 2022-09-06 01:14 151阅读 0赞

# 辗转相除法 #

辗转相除法， 又名欧几里德算法(Euclidean algorithm)，是求两个正整数之最大公约数的算法。它是已知最古老的算法， 其可追溯至公元前300年前。

它的具体做法是：用较大数除以较小数，再用出现的余数（第一余数）去除除数，再用出现的余数（第二余数）去除第一余数，如此反复，直到最后余数是0为止。如果是求两个数的最大公约数，那么最后的除数就是这两个数的最大公约数。

另一种求两数的最大公约数的方法是更相减损法。

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## 来源 ##

*  设两数为a、b(a>b)，求a和b最大公约数(a，b)的步骤如下:用a除以b，得a÷b=q…r1(0≤r1)。若r1=0，则(a，b)=b;若r1≠0，则再用b除以r1，得b÷r1=q…r2 (0≤r2).若r2=0，则(a，b)=r1，若r2≠0，则继续用r1除以r2，如此下去，直到能整除为止。其最后一个为被除数的余数的除数即为(a, b)。
 *  例如:a=25,b=15，a%b=10,b%10=5,10%5=0,最后一个为被除数余数的除数就是5,5就是所求最大公约数。

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## 原理 ##

设两数为a、b(a>b)，用gcd(a,b)表示a，b的最大公约数，r=a (mod b) 为a除以b的余数，k为a除以b的商，即a÷b=kr。辗转相除法即是要证明gcd(a,b)=gcd(b,r)。

第一步:令c=gcd(a,b)，则设a=mc，b=nc

第二步:根据前提可知r =a-kb=mc-knc=(m-kn)c

第三步:根据第二步结果可知c也是r的因数

第四步:可以断定m-kn与n互质(假设m-kn=xd，n=yd (d>1)，则m=kn+xd=kyd+xd=(ky+x)d，则a=mc=(ky+x)cd，b=nc=ycd，则a与b的一个公约数cd>c，故c非a与b的最大公约数，与前面结论矛盾)，因此c也是b与r的最大公约数。

从而可知gcd(b,r)=c，继而gcd(a,b)=gcd(b,r)。

证毕。

以上步骤的操作是建立在刚开始时r≠0的基础之上的。即m与n亦互质。

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# AC #

*  c++

#include <iostream>
    #include <algorithm>
    #include <cstdio>
    using namespace std;
    int gcd(int m,int n){ 
    	int r;
    	r=m%n;
    	if(r==0)
    	return n;
    	return gcd(n,r);
    }
    int main(){ 
    	int m,n;
    	cout<<"请输入2个整数："<<endl;
    	cin>>m>>n;
    	cout<<m<<","<<n<<"最大公约数为："<<gcd(m,n)<<endl; 
    	return 0;
    }