734 能量石（贪心 + 零一背包问题）

我就是我 2022-09-11 10:23 147阅读 0赞

**1. 问题描述：**

岩石怪物杜达生活在魔法森林中，他在午餐时收集了 N 块能量石准备开吃。由于他的嘴很小，所以一次只能吃一块能量石。能量石很硬，吃完需要花不少时间。吃完第 i 块能量石需要花费的时间为 Si 秒。杜达靠吃能量石来获取能量。不同的能量石包含的能量可能不同。此外，能量石会随着时间流逝逐渐失去能量。第 i 块能量石最初包含 Ei 单位的能量，并且每秒将失去 Li 单位的能量。当杜达开始吃一块能量石时，他就会立即获得该能量石所含的全部能量（无论实际吃完该石头需要多少时间）。能量石中包含的能量最多降低至 0。请问杜达通过吃能量石可以获得的最大能量是多少？

**输入格式**

第一行包含整数 T，表示共有 T 组测试数据。每组数据第一行包含整数 N，表示能量石的数量。接下来 N 行，每行包含三个整数 Si，Ei，Li。

**输出格式**

每组数据输出一个结果，每个结果占一行。结果表示为 Case \#x: y，其中 x 是组别编号（从 1 开始），y 是可以获得的最大能量值。

**数据范围**

1 ≤ T ≤ 10,  
1 ≤ N ≤ 100，  
1 ≤ Si ≤ 100，  
1 ≤ Ei ≤ 10 ^ 5，  
0 ≤ Li ≤ 10 ^ 5

**输入样例：**

3  
4  
20 10 1  
5 30 5  
100 30 1  
5 80 60  
3  
10 4 1000  
10 3 1000  
10 8 1000  
2  
12 300 50  
5 200 0

**输出样例：**

Case \#1: 105  
Case \#2: 8  
Case \#3: 500

**样例解释**

在样例＃1中，有 N=4 个宝石。杜达可以选择的一个吃石头顺序是：  
吃第四块石头。这需要 5 秒，并给他 80 单位的能量。  
吃第二块石头。这需要 5 秒，并给他 5 单位的能量（第二块石头开始时具有 30 单位能量，5 秒后失去了 25 单位的能量）。  
吃第三块石头。这需要 100 秒，并给他 20 单位的能量（第三块石头开始时具有 30 单位能量，10 秒后失去了 10 单位的能量）。  
吃第一块石头。这需要 20 秒，并给他 0 单位的能量（第一块石头以 10 单位能量开始，110 秒后已经失去了所有的能量）。  
他一共获得了 105 单位的能量，这是能获得的最大值，所以答案是 105。

在样本案例＃2中，有 N=3 个宝石。  
无论杜达选择吃哪块石头，剩下的两个石头的能量都会耗光。所以他应该吃第三块石头，给他提供 8 单位的能量。  
在样本案例＃3中，有 N=2 个宝石。杜达可以：  
吃第一块石头。这需要 12 秒，并给他 300 单位的能量。  
吃第二块石头。这需要 5 秒，并给他 200 单位的能量（第二块石头随着时间的推移不会失去任何能量！）。  
所以答案是 500。

来源：[https://www.acwing.com/problem/content/description/736/][https_www.acwing.com_problem_content_description_736]

**2. 思路分析：**

分析题目可以知道我们需要在所有吃的方案中求解能够获得的最大能量，主要关心两个问题，① 选择吃哪些能量石；② 选择能量石的顺序，可以发现题目还是比较棘手的不好处理，我们需要挖掘一下题目中的性质看是否可以将解空间限制在某一个比较小的集合中，首先我们考虑任意两个能量石，对应Si，Ei，Li和Sj，Ej，Lj，我们可以交换一下吃能量石的顺序，交换前与交换后为：Ei + Ej - Si \*Lj；Ej + Ei - Sj \*Li；可以发现要想使得吃第一个能量石获得的能量更多需要满足-Si \*Lj > -Sj \*Li，也即Si / Li < Sj / Lj，所以对于任意两个能量石要想获得能量更大那么需要满足Si / Li < Sj / Lj的关系，如果不满足那么我们可以调整两个能量石的位置使得他们满足这样的不等式关系，所以最终吃的能量石的顺序是唯一确定的，得到这个结论之后我们其实是将解的空间限制在了小的集合中，我们只需要在这个集合中求解答案即可。交换两个元素来考虑的思想类似于acwing的[耍杂技的牛][Link 1]和国王游戏的题目；能量石的顺序固定之后对于每一个能量石可以选也可以不选，所以原问题就转化为了**零一背包问题**了，我们可以将所有能量石花费的时间看成是背包的容量，我们需要求解在背包容量恰好为V的前提下能够获得的最大价值，为了方便处理我们在状态定义的时候可以定义为"恰好"，初始化的时候只有dp\[0\]是合法的，其余元素初始化为负无穷，然后就是零一背包问题的求解了，最终需要枚举一遍体积求解能够获得的最大价值（因为定义的是恰好体积为j所以最终dp\[V\]不一定满足要求所以需要枚举一遍求解最大价值）。这道题目其实是一道非常好的题目，一开始时候由于太复杂了需要先使用贪心将答案限制在一个小的集合中，然后在小的集合中使用零一背包问题求解。

**3. 代码如下：**

import functools
    
    # 自定义排序函数
    def cmp(x, y):
        return x[0] * y[2] - y[0] * x[2]
    
    
    if __name__ == "__main__":
        T = int(input())
        for c in range(1, T + 1):
            n = int(input())
            stones = list()
            V = 0
            for i in range(n):
                s, e, l = map(int, input().split())
                stones.append((s, e, l))
                V += s
            # 自定义排序规则
            stones.sort(key=functools.cmp_to_key(cmp))
            INF = 10 ** 10
            # 状态定义表示"恰好"所以初始化的时候需要将所有元素初始化为负无穷, 并且只有dp[0]是合法的
            # dp[i]表示时间恰好为t能够获得的最大价值
            dp = [-INF] * (V + 1)
            dp[0] = 0
            # 零一背包问题
            for i in range(len(stones)):
                for j in range(V, stones[i][0] - 1, -1):
                    dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i][0]] + stones[i][1] - (j - stones[i][0]) * stones[i][2])
            # 注意状态定义是恰好所以需要枚举一下最大价值因为不一定可以到达dp[V]
            res = 0
            for i in range(V + 1):
                # 求解答案
                res = max(res, dp[i])
            print("Case #{}: {}".format(c, res))

[https_www.acwing.com_problem_content_description_736]: https://www.acwing.com/problem/content/description/736/
[Link 1]: https://blog.csdn.net/qq_39445165/article/details/120313150