OpenCV实战 | 一文剖析图像阈值化方法——adaptiveThreshold、 threshold、THRESH_OTSU

冷不防 2022-09-16 15:30 327阅读 0赞

图像阈值化，是指根据图像内像素点强度的分布规律设置一个阈值，并根据像素点强度高于阈值或者低于阈值而进行一些处理。例如，输入是一张灰度图和一个阈值 T T T，当图中像素值大于阈值 T T T，则输出图像对应像素设置为255（白色）；当图中像素值小于等于阈值 T T T，则输出图像对应像素设置为0（黑色），这样通过阈值化就得到了一个二值化的图像。阈值化作为一种非常普遍使用的图像预处理方式，有利于我们在图像中定位到我们的目标对象。

从上述阈值化的定义中，我们会发现存在两个关键问题：

*  合适的阈值如何设置？
 *  阈值设置后，基于像素点与阈值的关系而进行的处理方式都有哪些？

## 1. 手动设置阈值 ##

最简单粗暴的方式莫过于手动设置阈值。当我们拿到一张彩色图像并转换到灰度图后，我们可以打印出灰度图每个图像位置的灰度值。我们可以不断地尝试阈值，从而使得我们的目标对象被提取地很好。

在OpenCV中提供了阈值化的函数

double cv::threshold	(	InputArray 	src,
                                OutputArray 	dst,
                                double 	thresh,
                                double 	maxval,
                                int 	type 
                             )

<table> 
 <thead> 
  <tr> 
   <th>参数</th> 
   <th>参数含义</th> 
  </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
  <tr> 
   <td>src</td> 
   <td>输入图像（支持多通道）</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>dst</td> 
   <td>输出图像</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>thresh</td> 
   <td>手动设置的阈值</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>maxval</td> 
   <td>图像像素的最大值</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>type</td> 
   <td>阈值处理的方式，见下图</td> 
  </tr> 
 </tbody> 
</table>

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s_shadow_50_text_Q1NETiBA6KGM6Lev5Y2X_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16_pic_center]

c++示例代码

// 原始图像
    Mat src = imread("/home/user/1.jpg");
    // 转为灰度图
    Mat gray;
    cvtColor(src, gray, COLOR_BGR2GRAY);
    // 阈值化，像素点强度>200的设置为255，小于等于200的设置为0
    Mat bw;
    threshold(gray, bw, 200, 255, THRESH_BINARY);

手动设置阈值在针对一张特定图像的处理时，虽然我们会尝试若干次，但通常我们还是可以基本找到一个理想的值。但它的主要弊端是它的泛化值不好，可能在这张图像上效果很不错，换到另一张图像效果就大打折扣，原因可能只是另一张图像拍摄的光线、角度稍有不同等等。

因此我们需要有一种自动确定阈值的方法，能根据图像中像素强度的规律，找到一个合理的阈值。

## 2. OTSU 大津阈值法 ##

大津阈值法假定图像中包含前景像素和背景像素，于是它计算能够将两类像素分类的最佳阈值，从而使得它们的类内方差最小，并证明了类内方差最小等价于类间方差最大。

为了形象的说明大津阈值法的效果，我们先举一个例子，让大家有一个直观的理解，最后我们会给出严谨的证明。

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s_shadow_50_text_Q1NETiBA6KGM6Lev5Y2X_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16_pic_center 1]

大津算法，是逐一计算每个阈值下的最小类内方差，找到最小的类内方差的阈值就是我们期望的阈值。

咱们以阈值 T = 3 T=3 T=3为例，来计算该阈值下的类内方差。

*  像素值小于等于3的为背景，背景像素的像素数量权重 w b w\_b wb、灰度均值 μ b \\mu\_b μb和灰度方差 σ b 2 \\sigma\_b^2 σb2计算如下：

n b = 20 + 2 + 12 + 4 = 38 n = 8 ∗ 8 = 64 w b = n b n = 38 64 μ b = 0 ∗ 20 + 1 ∗ 2 + 2 ∗ 12 + 3 ∗ 4 n b = 38 38 = 1 σ b 2 = ( 0 − μ b ) 2 ∗ 20 + ( 1 − μ b ) 2 ∗ 2 + ( 2 − μ b ) 2 ∗ 12 + ( 3 − μ b ) 2 ∗ 4 n b = 48 38 = 1.26 n\_b = 20 + 2 + 12 + 4 = 38 \\\\ n = 8 \* 8 = 64 \\\\ w\_b = \\frac\{n\_b\}\{n\} = \\frac\{38\}\{64\} \\\\ \\mu\_b = \\frac\{0 \* 20 + 1 \* 2 + 2 \* 12 + 3 \* 4\}\{n\_b\} = \\frac\{38\}\{38\} = 1\\\\ \\sigma\_b^2 = \\frac\{(0-\\mu\_b)^2 \* 20 +(1-\\mu\_b)^2 \* 2+(2-\\mu\_b)^2 \* 12 +(3-\\mu\_b)^2\*4\}\{n\_b\} = \\frac\{48\}\{38\} = 1.26 nb=20\+2\+12\+4=38n=8∗8=64wb=nnb=6438μb=nb0∗20\+1∗2\+2∗12\+3∗4=3838=1σb2=nb(0−μb)2∗20\+(1−μb)2∗2\+(2−μb)2∗12\+(3−μb)2∗4=3848=1.26

*  像素值大于3的为前景，前景像素的像素数量权重 w f w\_f wf、灰度均值 μ f \\mu\_f μf和灰度方差 σ f 2 \\sigma\_f^2 σf2计算如下：

n f = 16 + 10 = 26 w f = n f n = 24 64 μ f = 4 ∗ 16 + 5 ∗ 10 n f = 114 24 σ f 2 = ( 4 − μ f ) 2 ∗ 16 + ( 5 − μ f ) 2 ∗ 10 n f = 9.625 24 = 0.4 n\_f =16 + 10 = 26 \\\\ w\_f = \\frac\{n\_f\}\{n\} = \\frac\{24\}\{64\} \\\\ \\mu\_f = \\frac\{4 \* 16 + 5 \* 10\}\{n\_f\} = \\frac\{114\}\{24\}\\\\ \\sigma\_f^2 = \\frac\{(4-\\mu\_f)^2 \* 16 +(5-\\mu\_f)^2 \* 10\}\{n\_f\} = \\frac\{9.625\}\{24\} = 0.4 nf=16\+10=26wf=nnf=6424μf=nf4∗16\+5∗10=24114σf2=nf(4−μf)2∗16\+(5−μf)2∗10=249.625=0.4

*  根据背景的灰度方差 σ b 2 \\sigma\_b^2 σb2 和 σ f 2 \\sigma\_f^2 σf2 和对应的权重 w b w\_b wb 和 w f w\_f wf, 求得类内方差为：  
     σ T 2 = w b ∗ σ b 2 + w f ∗ σ f 2 = 0.898 \\sigma\_T^2 = w\_b\*\\sigma\_b^2 + w\_f \* \\sigma\_f^2 = 0.898 σT2=wb∗σb2\+wf∗σf2=0.898

以上是阈值设置为3的类内方差计算过程，同理我们可以计算阈值从0到5的全部类内方差，找到最小的类内方差对应的阈值即可。

实际上，**大津算法证明的是最小化类内方差是等价于最大化类间方差，从而利用最大化类间方差，产生了一个比上述过程更简便，能够迭代计算的高效算法。**

以下是证明过程（不感兴趣的可以跳过）。

**已知条件：**

h ( i ) h(i) h(i): 像素值为 i i i的像素数量， i = 0 , 1 , 2 , . . . , 255 i= 0,1,2,...,255 i=0,1,2,...,255

n b n\_b nb : 背景像素的像素数量  n b = ∑ i = 0 T h ( i ) n\_b = \\sum\_\{i=0\}^T h(i) nb=∑i=0Th(i)；

n f n\_f nf : 前景像素的像素数量  n f = ∑ i = T + 1 255 h ( i ) n\_f = \\sum\_\{i=T+1\}^\{255\} h(i) nf=∑i=T\+1255h(i)；

n n n : 图像像素的像素数量总数  n = n b + n f n=n\_b+n\_f n=nb\+nf

w b w\_b wb : 背景像素的像素数量权重  w b = n b / n w\_b = n\_b / n wb=nb/n；

w f w\_f wf : 前景像素的像素数量权重  w f = n f / n = 1 − w b w\_f = n\_f / n = 1- w\_b wf=nf/n=1−wb

g ( i ) g(i) g(i): 像素值为 i i i的像素数量在所在区域的比例，即当 i i i属于背景， g ( i ) = h ( i ) / n b g(i) = h(i) / n\_b g(i)=h(i)/nb; 当 i i i属于前景，有 g ( i ) = h ( i ) / n f g(i) = h(i) / n\_f g(i)=h(i)/nf

p ( i ) p(i) p(i): 像素值为 i i i的像素数量在整个图像的比例，即 p ( i ) = h ( i ) / n p(i) = h(i) / n p(i)=h(i)/n

μ b \\mu\_b μb : 背景像素的灰度均值  μ b = ∑ i = 0 T i ∗ h ( i ) n b = ∑ i = 0 T g ( i ) ∗ i \\mu\_b = \\frac\{\\sum\_\{i=0\}^T i \* h(i) \}\{n\_b\} = \\sum\_\{i=0\}^T g(i) \* i μb=nb∑i=0Ti∗h(i)=∑i=0Tg(i)∗i；

μ f \\mu\_f μf : 前景像素的灰度均值  μ f = ∑ i = T + 1 255 i ∗ h ( i ) n f = ∑ i = T + 1 255 g ( i ) ∗ i \\mu\_f = \\frac\{\\sum\_\{i=T+1\}^\{255\} i \* h(i) \}\{n\_f\} = \\sum\_\{i=T+1\}^\{255\} g(i) \* i μf=nf∑i=T\+1255i∗h(i)=∑i=T\+1255g(i)∗i；

μ \\mu μ : 图像像素的总灰度均值  μ = w b ∗ μ b + w f ∗ μ f \\mu = w\_b \* \\mu\_b + w\_f \* \\mu\_f μ=wb∗μb\+wf∗μf

σ b 2 \\sigma^2\_b σb2 : 背景像素的灰度方差  σ b 2 = E ( x 2 ) − E ( x ) 2 = ∑ i = 0 T g ( i ) ∗ i 2 − μ b 2 \\sigma^2\_b = E(x^2) - E(x)^2 = \\sum\_\{i=0\}^T g(i) \* i^2 - \\mu\_b^2 σb2=E(x2)−E(x)2=∑i=0Tg(i)∗i2−μb2

σ f 2 \\sigma^2\_f σf2 : 前景像素的灰度方差  σ f 2 = ∑ i = T + 1 255 g ( i ) ∗ i 2 − μ f 2 \\sigma^2\_f = \\sum\_\{i=T+1\}^\{255\} g(i) \* i^2 - \\mu\_f^2 σf2=∑i=T\+1255g(i)∗i2−μf2

σ 2 \\sigma^2 σ2 : 图像像素的灰度方差  σ 2 = ∑ i = 0 255 p ( i ) ∗ i 2 − μ 2 \\sigma^2 = \\sum\_\{i=0\}^\{255\} p(i) \* i^2 - \\mu^2 σ2=∑i=0255p(i)∗i2−μ2

**且类内方差和类间方差的定义为：**

σ i n 2 \\sigma\_\{in\}^2 σin2 : 图像像素的类内方差 $\\sigma\_\{in\}^2 = w\_b \* \\sigma\_b^2 + w\_f \* \\sigma\_f^2 $

σ o u t 2 \\sigma^2\_\{out\} σout2 : 图像像素的类间方差 $\\sigma\_\{out\}^2 = w\_b \* (\\mu\_b - \\mu)^2 + w\_f \* (\\mu\_f - \\mu)^2 $

**求证：**

最小化类内方差 σ i n 2 \\sigma\_\{in\}^2 σin2等价于最大化类间方差 σ o u t 2 \\sigma^2\_\{out\} σout2

**证明过程：**  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s_shadow_50_text_Q1NETiBA6KGM6Lev5Y2X_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16_pic_center 2]

因为 σ 2 \\sigma^2 σ2 是一个定值，因此最小化 σ i n 2 \\sigma^2\_\{in\} σin2 等价于最大化 σ o u t 2 \\sigma^2\_\{out\} σout2

证明完毕。

在OpenCV中对于大津算法阈值化的函数和手动阈值法是一个函数

区别在于最后一个参数不仅要指定要处理的方式（上述介绍的THRESH\_BINARY 等五种方式），还需要指定是大津算法THRESH\_OTSU。

具体代码示意如下：

// 原始图像
    Mat src = imread("/home/user/1.jpg");
    // 转为灰度图
    Mat gray;
    cvtColor(src, gray, COLOR_BGR2GRAY);
    // 阈值化，指定了处理方式和大津算法，此时会自动计算出阈值而代替手动指定的阈值，即此时50不起作用
    Mat bw;
    threshold(gray, bw, 50, 255, THRESH_BINARY | THRESH_OTSU);

## 3 局部自适应阈值化法 ##

上述介绍的两种阈值化方法都是针对全局图像有一个唯一的阈值；本节介绍的是当一副图像的不同区域具有不同的亮度时，所实现的针对每个区域的自适应阈值方法。具体原理是设置一个区域块大小，每一块区域计算出一个阈值，从而在图像亮度不同时得到一个很好的效果。

在OpenCV中的函数是：

void cv::adaptiveThreshold	(	InputArray 	src,
                                    OutputArray 	dst,
                                    double 	maxValue,
                                    int 	adaptiveMethod,
                                    int 	thresholdType,
                                    int 	blockSize,
                                    double 	C 
                                )

Parameters

<table> 
 <thead> 
  <tr> 
   <th>src</th> 
   <th>仅支持单通道图像</th> 
  </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
  <tr> 
   <td>dst</td> 
   <td>输出图像</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>maxValue</td> 
   <td>为满足条件的像素指定的非零值</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>adaptiveMethod</td> 
   <td>支持两种自适应阈值方法，在下文详细介绍。</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>thresholdType</td> 
   <td>自适应类型只支持THRESH_BINARY 和 THRESH_BINARY_INV两种。这两种在上文第一节中有详细介绍。</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>blockSize</td> 
   <td>用于计算像素阈值的像素邻域的大小: 3、5、7等等。</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>C</td> 
   <td>从平均数或加权平均数减去常数(详见下文)</td> 
  </tr> 
 </tbody> 
</table>

adaptiveMethod 方法由两种：

*  ADAPTIVE\_THRESH\_MEAN\_C ： b l o c k ∗ b l o c k block \* block block∗block的邻域内的均值减去常数C即得到局部阈值
 *  ADAPTIVE\_THRESH\_GAUSSIAN\_C ： b l o c k ∗ b l o c k block \* block block∗block的邻域内的加权和减去常数C即得到局部阈值

// 原始图像
    Mat src = imread("/home/user/1.jpg");
    // 转为灰度图
    Mat gray;
    cvtColor(src, gray, COLOR_BGR2GRAY);
    // 自适应阈值化
    Mat bw;
    cv::adaptiveThreshold(gray, bw, 255, adaptiveMethod, THRESH_BINARY, 3,  1);

## 参考资料 ##

https://docs.opencv.org/master/d7/d1b/group\_\_imgproc\_\_misc.html\#ga72b913f352e4a1b1b397736707afcde3

https://docs.opencv.org/master/d7/d1b/group\_\_imgproc\_\_misc.html\#gae8a4a146d1ca78c626a53577199e9c57

https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%A7%E6%B4%A5%E7%AE%97%E6%B3%95

https://github.com/opencv/opencv/blob/master/modules/imgproc/src/thresh.cpp

https://cloud.tencent.com/developer/article/1084244

![在这里插入图片描述][d8a4977f26d34aeb89232fd459e4db03.gif_pic_center]

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