拓扑排序算法

古城微笑少年丶 2022-09-19 12:24 162阅读 0赞

**拓扑排序算法**

一个复杂的工程通常可以分解成一组小任务的集合，完成这些小任务意味着整个工程的完成。例如，汽车装配工程可分解为以下任务：将底盘放上装配线，装轴，将座位装在底盘上，上漆，装刹车，装门等等。任务之间具有先后关系，例如在装轴之前必须先将底板放上装配线。任务的先后顺序可用有向图表示——称为顶点活动（ Activity On Vertex, AOV）网络。有向图的顶点代表任务，有向边(i, j) 表示先后关系：任务j 开始前任务i 必须完成。图1 - 4显示了六个任务的工程，边（ 1 , 4）表示任务1在任务4开始前完成，同样边（ 4 , 6）表示任务4在任务6开始前完成，边（1 , 4）与（4 , 6）合起来可知任务1在任务6开始前完成，即前后关系是传递的。由此可知，边（1 , 4）是多余的，因为边（1 , 3）和（3 , 4）已暗示了这种关系。  
  
在很多条件下，任务的执行是连续进行的，例如汽车装配问题或平时购买的标有“需要装配”的消费品（自行车、小孩的秋千装置，割草机等等）。我们可根据所建议的顺序来装配。在由任务建立的有向图中，边（ i, j）表示在装配序列中任务i 在任务j 的前面，具有这种性质的序列称为拓扑序列（topological orders或topological sequences)。根据任务的有向图建立拓扑序列的过程称为拓扑排序（topological sorting）。图1 - 4的任务有向图有多种拓扑序列，其中的三种为1 2 3 4 5 6，1 3 2 4 5 6和2 1 5 3 4 6，序列1 4 2 3 5 6就不是拓扑序列，因为在这个序列中任务4在3的前面，而任务有向图中的边为（ 3 , 4），这种序列与边（ 3 , 4）及其他边所指示的序列相矛盾。可用贪婪算法来建立拓扑序列。算法按从左到右的步骤构造拓扑序列，每一步在排好的序列中加入一个顶点。利用如下贪婪准则来选择顶点：从剩下的顶点中，选择顶点w，使得w 不存在这样的入边（ v,w），其中顶点v 不在已排好的序列结构中出现。注意到如果加入的顶点w违背了这个准则（即有向图中存在边（ v,w）且v 不在已构造的序列中），则无法完成拓扑排序，因为顶点v 必须跟随在顶点w 之后。贪婪算法的伪代码如图1 3 - 5所示。while 循环的每次迭代代表贪婪算法的一个步骤。  
  
现在用贪婪算法来求解图1 - 4的有向图。首先从一个空序列V开始，第一步选择V的第一个顶点。此时，在有向图中有两个候选顶点1和2，若选择顶点2，则序列V = 2，第一步完成。第二步选择V的第二个顶点，根据贪婪准则可知候选顶点为1和5，若选择5，则V = 2 5。下一步，顶点1是唯一的候选，因此V = 2 5 1。第四步，顶点3是唯一的候选，因此把顶点3加入V  
  
得到V = 2 5 1 3。在最后两步分别加入顶点4和6 ，得V = 2 5 1 3 4 6。  
  
1. 贪婪算法的正确性  
  
为保证贪婪算法算的正确性，需要证明： 1) 当算法失败时，有向图没有拓扑序列； 2) 若  
  
算法没有失败，V即是拓扑序列。2) 即是用贪婪准则来选取下一个顶点的直接结果， 1) 的证明见定理1 3 - 2，它证明了若算法失败，则有向图中有环路。若有向图中包含环qj qj + 1.qk qj , 则它没有拓扑序列，因为该序列暗示了qj 一定要在qj 开始前完成。  
  
定理1-2 如果图1 3 - 5算法失败，则有向图含有环路。  
  
证明注意到当失败时| V |  
  
2. 数据结构的选择  
  
为将图1 - 5用C + +代码来实现，必须考虑序列V的描述方法，以及如何找出可加入V的候选顶点。一种高效的实现方法是将序列V用一维数组v 来描述的，用一个栈来保存可加入V的候选顶点。另有一个一维数组I n D e g r e e，I n D e g r e e\[ j \]表示与顶点j相连的节点i 的数目，其中顶点i不是V中的成员，它们之间的有向图的边表示为（ i, j）。当I n D e g r e e\[ j \]变为0时表示j 成为一个候选节点。序列V初始时为空。I n D e g r e e\[ j \]为顶点j 的入度。每次向V中加入一个顶点时，所有与新加入顶点邻接的顶点j，其I n D e g r e e\[ j \]减1。对于有向图1 - 4，开始时I n D e g r e e \[ 1 : 6 \] = \[ 0 , 0 , 1 , 3 , 1 , 3 \]。由于顶点1和2的I n D e g r e e值为0，因此它们是可加入V的候选顶点，由此，顶点1和2首先入栈。每一步，从栈中取出一个顶点将其加入V，同时减去与其邻接的顶点的I n D e g r e e值。若在第一步时从栈中取出顶点2并将其加入V，便得到了v \[ 0 \] = 2，和I n D e g r e e \[ 1 : 6 \] = \[ 0 , 0 , 1 , 2 , 0 , 3 \]。由于I n D e g r e e \[ 5 \]刚刚变为0，因此将顶点5入栈。  
  
程序1 3 - 2给出了相应的C + +代码，这个代码被定义为N e t w o r k的一个成员函数。而且，它对于有无加权的有向图均适用。但若用于无向图（不论其有无加权）将会得到错误的结果，因为拓扑排序是针对有向图来定义的。为解决这个问题，利用同样的模板来定义成员函数AdjacencyGraph, AdjacencyWGraph，L i n k e d G r a p h和L i n k e d W G r a p h。这些函数可重载N e t w o r k中的函数并可输出错误信息。如果找到拓扑序列，则Topological 函数返回t r u e；若输入的有向图无拓扑序列则返回f a l s e。当找到拓扑序列时，将其返回到v \[ 0 :n- 1 \]中。  
  
3. Network:Topological 的复杂性  
  
第一和第三个f o r循环的时间开销为(n )。若使用（耗费）邻接矩阵,则第二个for 循环所用的时间为(n2 )；若使用邻接链表,则所用时间为(n+e)。在两个嵌套的while 循环中，外层循环需执行n次，每次将顶点w 加入到v 中，并初始化内层while 循环。使用邻接矩阵时，内层w h i l e循环对于每个顶点w 需花费(n)的时间；若利用邻接链表，则这个循环需花费dwout 的时间，因此，内层while 循环的时间开销为(n2 )或(n+e)。所以，若利用邻接矩阵，程序1 3 - 2的时间复杂性为(n2 )，若利用邻接链表则为(n+e)。  
  
程序13-2 拓扑排序  
  
bool Network::Topological(int v\[\])  
  
\{// 计算有向图中顶点的拓扑次序  
  
// 如果找到了一个拓扑次序，则返回t r u e，此时，在v \[ 0 : n - 1 \]中记录拓扑次序  
  
// 如果不存在拓扑次序，则返回f a l s e  
  
int n = Ve r t i c e s ( ) ;  
  
// 计算入度  
  
int \*InDegree = new int \[n+1\];  
  
InitializePos(); // 图遍历器数组  
  
for (int i = 1; i <= n; i++) // 初始化  
  
InDegree\[i\] = 0;  
  
for (i = 1; i <= n; i++) \{// 从i 出发的边  
  
int u = Begin(i);  
  
while (u) \{  
  
I n D e g r e e \[ u \] + + ;  
  
u = NextVe r t e x ( i ) ; \}  
  
\}  
  
// 把入度为０的顶点压入堆栈  
  
LinkedStack S;  
  
for (i = 1; i <= n; i++)  
  
if (!InDegree\[i\]) S.Add(i);  
  
// 产生拓扑次序  
  
i = 0; // 数组v 的游标  
  
while (!S.IsEmpty()) \{// 从堆栈中选择  
  
int w; // 下一个顶点  
  
S . D e l e t e ( w ) ;  
  
v\[i++\] = w;  
  
int u = Begin(w);  
  
while (u) \{// 修改入度  
  
I n D e g r e e \[ u \] - - ;  
  
if (!InDegree\[u\]) S.Add(u);  
  
u = NextVe r t e x ( w ) ; \}

\}  
  
D e a c t i v a t e P o s ( ) ;  
  
delete \[\] InDegree;  
  
return (i == n);