数据结构与算法简记：红黑树

Love The Way You Lie 2022-09-25 04:28 205阅读 0赞

上次记录了AVL树的相关内容，其规定节点左右子树高度之差不超过1，在添加或移除多个节点后能够对自身重新建立平衡，使其仍可维持一棵良好的二叉查找树结构，不过AVL树为了维护良好的结构，在添加或删除频繁时，性能也会相应的下降。一种替代的方案是使用红黑树。

红黑树（Red Black Tree） 也是一种自平衡二叉查找树，它是在1972年由Rudolf Bayer发明的，当时被称为平衡二叉B树（symmetric binary B-trees）。后来，在1978年被 Leo J. Guibas 和 Robert Sedgewick 修改为如今的“红黑树”。红黑树并不追求AVL树般的严格平衡，减少了平衡所需的操作，从而提高性能。红黑树的应用非常广泛，Java中的TreeSet和TreeMap，C++ STL中的set、map，以及Linux虚拟内存的管理，都是通过红黑树去实现的，除此之外，Node.js的定时器管理中也有红黑树的存在。

下面是红黑树需要遵循的规则：

1.  节点要么是黑色的，要么是红色的
2.  根节点永远是黑色的
3.  一条路径上不能有两个相邻的红节点，也就是说，红色节点不能有红色父节点或红色子节点
4.  从一个节点到叶子节点的每条路径都应该包含相等数量的黑色节点，称为这条路径的黑高度

从某个节点出发，到达一个叶子节点的任意一条路径上，所有的黑色节点的个数成为该节点的黑高度。红黑树的黑高度定义为其根结点的黑高度。为了方便理解，空的叶子节点（NIL）也视为黑色。

下面是一张红黑树的结构图：

![20160814120544395][]

我们构建红黑树的过程是通过逐个插入新节点来完成的，在插入节点时，初始化根节点为黑节点，随后插入子节点时，初始为红色，然后通过**修改颜色**和**旋转节点**来完成平衡，最终使一棵子树完成平衡操作。

插入新节点时平衡操作如下：

标记新插入的节点为参考节点，如果参考节点的父节点和叔父节点都是红色的，只需将父节点和叔父节点改为黑色，再将祖父节点改为由黑色改为红色（根据上面的第4条可知，如果叔父节点是红色，那么祖父节点必为黑色），然后将祖父节点变为新的参考节点：

![20160813150430491][]

如果参考节点的父节点是红色，而叔父节点是黑色（空节点也视为黑色），我们需要对参考节点的祖父节点进行旋转操作，这个过程跟AVL树相似，几种类型如下：

如果参考节点的父节点是祖父节点的左子节点，则是LR或LL类型。

如果参考节点是其父节点的右子节点，则是LR类型，应对其父节点进行左旋，然后令父节点成为新的参考节点，变成LL类型：

![20160813151233104][]

如果参考节点是其父节点的左子节点，则是LL类型，应对其祖父节点进行右旋，然后交换父节点和祖父节点的颜色，最后父节点成为新的参考节点：

![20160813151052885][]

如果参考节点的父节点是祖父节点的右子节点，则是RL或RR类型。

如果参考节点是其父节点的左子节点，则是RL类型，应对其父节点进行右旋，然后令父节点成为新的参考节点，变成RR类型：

![20160813151439870][]

如果参考节点是其父节点的右子节点，则是RR类型，应对其祖父节点进行左旋，然后交换父节点和祖父节点的颜色，最后父节点成为新的参考节点：

![20160813151353932][]

以上图示参考自：[http://www.geeksforgeeks.org/red-black-tree-set-2-insert/][http_www.geeksforgeeks.org_red-black-tree-set-2-insert]

下面是创建红黑树插入节点过程的实现（关于删除节点的图示和实现代码，有时间会再更新）：

#include <stdio.h>
    #include <stdlib.h>
    
    #define RED 1
    #define BLACK 0
    
    //红黑树树节点结构体
    typedef struct node {
        int data;
        struct node *lchild, *rchild, *parent;
        int color;
    } RBTreeNode;
    
    //红黑树结构体
    typedef struct tree {
        RBTreeNode *root;
    } RBTree;
    
    //初始化红黑树
    RBTree * initRBTree();
    
    //插入指定值的节点并保持平衡
    void insertNodeWithBalance(RBTree *tree, int key);
    //插入一个新节点
    RBTreeNode * insertNode(RBTreeNode *root, RBTreeNode *node);
    //插入新节点后恢复平衡
    void balanceAfterInsertion(RBTree *tree, RBTreeNode *node);
    
    //空节点视为黑色，否则返回节点颜色
    int isRed(RBTreeNode *node);
    int isBlack(RBTreeNode *node); //!isRed
    void swapColor(RBTreeNode *node1, RBTreeNode *node2);
    
    void rotateLeft(RBTree *tree, RBTreeNode *node);
    void rotateRight(RBTree *tree, RBTreeNode *node);
    
    void inOrderTraverse(RBTreeNode *node);
    void preOrderTraverse(RBTreeNode *node);
    
    int main(int argc, const char * argv[]) {
    
        int array[] = {
       11, 2, 14, 1, 7, 15, 5, 8};
    
        RBTree *tree = initRBTree();
    
        int size = 8;
        for (int i = 0; i < size; i++) {
            insertNodeWithBalance(tree, array[i]);
        }
    
        printf("in: ");
        inOrderTraverse(tree->root);
        printf("\npre: ");
        preOrderTraverse(tree->root);
    
        return 0;
    }
    
    //初始化红黑树
    RBTree * initRBTree() {
        RBTree *tree = (RBTree *) malloc(sizeof(RBTree));
        tree->root = NULL;
    
        return tree;
    }
    
    //中序遍历
    void inOrderTraverse(RBTreeNode *node) {
        if (node != NULL) {
            inOrderTraverse(node->lchild);
    
            printf("(%d:%c) ", node->data, node->color == RED ? 'R' : 'B');
    
            inOrderTraverse(node->rchild);
        }
    }
    
    //前序遍历
    void preOrderTraverse(RBTreeNode *node) {
        if (node != NULL) {
    
            printf("(%d:%c) ", node->data, node->color == RED ? 'R' : 'B');
    
            preOrderTraverse(node->lchild);
            preOrderTraverse(node->rchild);
        }
    }
    
    //插入节点并保持平衡
    void insertNodeWithBalance(RBTree *tree, int key) {
    
        RBTreeNode *newNode = (RBTreeNode *) malloc(sizeof(RBTreeNode));
        newNode->data = key;
        newNode->lchild = newNode->rchild = NULL;
        newNode->parent = NULL;
        newNode->color = RED;
    
        //插入节点
        tree->root = insertNode(tree->root, newNode);
    
        //恢复平衡
        balanceAfterInsertion(tree, newNode);
    }
    
    //插入节点
    RBTreeNode * insertNode(RBTreeNode *root, RBTreeNode *node) {
        if (root == NULL) {
            return node;
        }
    
        if (node->data < root->data) {
            root->lchild = insertNode(root->lchild, node);
            root->lchild->parent = root;
        } else {
            root->rchild = insertNode(root->rchild, node);
            root->rchild->parent = root;
        }
    
        return root;
    }
    
    //恢复平衡
    void balanceAfterInsertion(RBTree *tree, RBTreeNode *node) {
    
        RBTreeNode *parent = NULL;
        RBTreeNode *grandpa = NULL;
    
        //当前节点不是根节点，并且它和父节点同为红色
        while (node != tree->root && isRed(node) && isRed(node->parent)) {
    
            parent = node->parent;
            grandpa = parent->parent;
    
            /**
             * Case : A
             * 父节点是祖父节点的左子节点，LR或LL型
             **/
            if (grandpa->lchild == parent) {
    
                RBTreeNode *uncle = grandpa->rchild;
    
                /**
                 * Case : 1
                 * 叔父节点也是红色，只需重新染色
                 **/
                if (isRed(uncle)) {
    
                    uncle->color = BLACK;
                    parent->color = BLACK;
                    grandpa->color = RED;
    
                    //更新当前节点为祖父节点
                    node = grandpa;
    
                } else {
    
                    /**
                     * Case : 2
                     * 当前节点是父节点的右子节点，LR型，需要先对父节点左旋，旋转后变为LL型
                     **/
                    if (parent->rchild == node) {
                        //父节点左旋
                        rotateLeft(tree, parent);
    
                        node = parent;
                        parent = node->parent;
                    }
    
                    /**
                     * Case : 3
                     * 当前节点是父节点的左子节点，LL型，需要对祖父节点右旋
                     **/
                    rotateRight(tree, grandpa);
    
                    //祖父节点右旋后，父节点成为根节点，需交换颜色
                    swapColor(parent, grandpa);
    
                    //更新当前根节点为父节点
                    node = parent;
    
                }
    
            }
    
            /**
             * Case : B
             * 父节点是祖父节点的右子节点，RL或RR型
             **/
    
            else {
    
                RBTreeNode *uncle = grandpa->lchild;
    
                /**
                 * Case : 1
                 * 叔父节点也是红色，只需重新染色
                 **/
                if (isRed(uncle)) {
    
                    uncle->color = BLACK;
                    parent->color = BLACK;
                    grandpa->color = RED;
    
                    //更新当前节点为祖父节点
                    node = grandpa;
    
                } else {
    
                    /**
                     * Case : 2
                     * 当前节点是父节点的左子节点，RL型，需要先对父节点右旋，旋转后变为RR型
                     **/
                    if (parent->lchild == node) {
                        rotateRight(tree, parent);
    
                        node = parent;
                        parent = node->parent;
                    }
    
                    /**
                     * Case : 3
                     * 当前节点是父节点的右子节点，RR型，需要对祖父节点左旋
                     **/
                    rotateLeft(tree, grandpa);
    
                    swapColor(parent, grandpa);
    
                    node = parent;
    
                }
    
            }
    
        }
    
        //最后须将树的根节点置为黑色
        tree->root->color = BLACK;
    }
    
    //右旋
    void rotateRight(RBTree *tree, RBTreeNode *node) {
    
        RBTreeNode *pivot = node->lchild;
    
        //和轴点右子节点建立关联
        node->lchild = pivot->rchild;
        if (node->lchild != NULL) {
            node->lchild->parent = node;
        }
    
        //轴点和原祖父节点建立关联
        pivot->parent = node->parent;
        if (node->parent != NULL) {
    
            if (node->parent->lchild == node) {
                node->parent->lchild = pivot;
            } else {
                node->parent->rchild = pivot;
            }
    
        }
    
        //轴点与原父节点建立关联
        pivot->rchild = node;
        node->parent = pivot;
    
        if (pivot->parent == NULL) {
            tree->root = pivot;
        }
    }
    
    //左旋
    void rotateLeft(RBTree *tree, RBTreeNode *node) {
    
        RBTreeNode *pivot = node->rchild;
    
        //和轴点左子节点建立关联
        node->rchild = pivot->lchild;
        if (node->rchild != NULL) {
            node->parent->rchild = pivot;
        }
    
        //轴点和原祖父节点建立关联
        pivot->parent = node->parent;
        if (node->parent != NULL) {
    
            if (node->parent->lchild == node) {
                node->parent->lchild = pivot;
            } else {
                node->parent->rchild = pivot;
            }
    
        }
    
        //轴点和原父节点建立关联
        pivot->lchild = node;
        node->parent = pivot;
    
        if (pivot->parent == NULL) {
            tree->root = pivot;
        }
    }
    
    //节点是否为红色
    int isRed(RBTreeNode *node) {
        //空的叶子节点视为黑节点
        if (node == NULL) return BLACK;
    
        return node->color;
    }
    
    //节点是否为黑色
    int isBlack(RBTreeNode *node) {
        return !isRed(node);
    }
    
    //交换节点颜色
    void swapColor(RBTreeNode *node1, RBTreeNode *node2) {
        int color = node1->color;
        node1->color = node2->color;
        node2->color = color;
    }

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[20160813150430491]: /images/20220718/ab8e7a4d39504ab4935e509e363badd0.png
[20160813151233104]: /images/20220718/26e9230991fa4680a44217107884a6e6.png
[20160813151052885]: /images/20220718/91c85d8e10c74a62a9401e443a73c69b.png
[20160813151439870]: /images/20220718/104049608683427690f60a6e8775d556.png
[20160813151353932]: /images/20220718/44ee80c2af324c04bf08162866694f9a.png
[http_www.geeksforgeeks.org_red-black-tree-set-2-insert]: http://www.geeksforgeeks.org/red-black-tree-set-2-insert/