【经典算法】：Dijskstra算法与Floyd算法

超、凢脫俗 2022-09-26 02:58 276阅读 0赞

Dijkstra算法利用的是一个经典的东西，叫做保持好的最短路径，目的就是为了在寻找最短路径的时候的保持最短化的过程

Floyd算法利用的是一个经典的公式  D\[I,J\]>D\[I,K\] + D\[K,J\]  则  D\[I J\] = D\[I K\] + D\[K J\]  这就是Floyd算法最经典的地方

Floyd算法最关键的地方就是一个三重循环

下面是介绍

**Dijkstra算法**

1.定义概览

Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。注意该算法要求图中不存在负权边。

问题描述：在无向图 G=(V,E) 中，假设每条边 E\[i\] 的长度为 w\[i\]，找到由顶点 V0 到其余各点的最短路径。（单源最短路径）

2.算法描述

1)算法思想：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。

2)算法步骤：

a.初始时，S只包含源点，即S＝\{v\}，v的距离为0。U包含除v外的其他顶点，即:U=\{其余顶点\}，若v与U中顶点u有边，则<u,v>正常有权值，若u不是v的出边邻接点，则<u,v>权值为∞。

b.从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。

c.以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。

d.重复步骤b和c直到所有顶点都包含在S中。

执行动画过程如下图

![2012073019540660.gif][]

3.算法代码实现：

![复制代码][copycode.gif]

const int  MAXINT = 32767;
    const int MAXNUM = 10;
    int dist[MAXNUM];
    int prev[MAXNUM];
    
    int A[MAXUNM][MAXNUM];
    
    void Dijkstra(int v0)
    {
      　　bool S[MAXNUM];                                  // 判断是否已存入该点到S集合中
          int n=MAXNUM;
      　　for(int i=1; i<=n; ++i)
     　　 {
          　　dist[i] = A[v0][i];
          　　S[i] = false;                                // 初始都未用过该点
          　　if(dist[i] == MAXINT)    
                　　prev[i] = -1;
     　　     else 
                　　prev[i] = v0;
       　　}
       　 dist[v0] = 0;
       　 S[v0] = true; 　　
     　　 for(int i=2; i<=n; i++)
     　　 {
           　　int mindist = MAXINT;
           　　int u = v0; 　　                            // 找出当前未使用的点j的dist[j]最小值
          　　 for(int j=1; j<=n; ++j)
          　　    if((!S[j]) && dist[j]<mindist)
          　　    {
             　　       u = j;                             // u保存当前邻接点中距离最小的点的号码 
             　 　      mindist = dist[j];
           　　   }
           　　S[u] = true; 
           　　for(int j=1; j<=n; j++)
           　　    if((!S[j]) && A[u][j]<MAXINT)
           　　    {
               　    　if(dist[u] + A[u][j] < dist[j])     //在通过新加入的u点路径找到离v0点更短的路径  
               　    　{
                       　　dist[j] = dist[u] + A[u][j];    //更新dist 
                       　　prev[j] = u;                    //记录前驱顶点 
                　　    }
            　    　}
       　　}
    }

![复制代码][copycode.gif]

4.算法实例

先给出一个无向图

![2012073019593375.jpg][]

用Dijkstra算法找出以A为起点的单源最短路径步骤如下

![2012073020014941.jpg][]

**Floyd算法**

1.定义概览

**Floyd-Warshall算法**（Floyd-Warshall algorithm）是解决任意两点间的最短路径的一种算法，可以正确处理有向图或负权的最短路径问题，同时也被用于计算有向图的传递闭包。Floyd-Warshall算法的时间复杂度为O(N3)，空间复杂度为O(N2)。

2.算法描述

1)算法思想原理：

Floyd算法是一个经典的动态规划算法。用通俗的语言来描述的话，首先我们的目标是寻找从点i到点j的最短路径。从动态规划的角度看问题，我们需要为这个目标重新做一个诠释（这个诠释正是动态规划最富创造力的精华所在）

从任意节点i到任意节点j的最短路径不外乎2种可能，1是直接从i到j，2是从i经过若干个节点k到j。所以，我们假设Dis(i,j)为节点u到节点v的最短路径的距离，对于每一个节点k，我们检查Dis(i,k) + Dis(k,j) < Dis(i,j)是否成立，如果成立，证明从i到k再到j的路径比i直接到j的路径短，我们便设置Dis(i,j) = Dis(i,k) + Dis(k,j)，这样一来，当我们遍历完所有节点k，Dis(i,j)中记录的便是i到j的最短路径的距离。

2).算法描述：

a.从任意一条单边路径开始。所有两点之间的距离是边的权，如果两点之间没有边相连，则权为无穷大。

b.对于每一对顶点 u 和 v，看看是否存在一个顶点 w 使得从 u 到 w 再到 v 比己知的路径更短。如果是更新它。

3).Floyd算法过程矩阵的计算----十字交叉法

方法：两条线，从左上角开始计算一直到右下角 如下所示

给出矩阵，其中矩阵A是邻接矩阵，而矩阵Path记录u,v两点之间最短路径所必须经过的点

![2012073109403649.gif][]

相应计算方法如下：

![2012073109460084.jpg][]

![2012073109453085.jpg][]

![2012073109463549.jpg][]

最后A3即为所求结果

3.算法代码实现

![复制代码][copycode.gif]

typedef struct          
    {        
        char vertex[VertexNum];                                //顶点表         
        int edges[VertexNum][VertexNum];                       //邻接矩阵,可看做边表         
        int n,e;                                               //图中当前的顶点数和边数         
    }MGraph; 
    
    void Floyd(MGraph g)
    {
     　　int A[MAXV][MAXV];
     　　int path[MAXV][MAXV];
     　　int i,j,k,n=g.n;
     　　for(i=0;i<n;i++)
        　　for(j=0;j<n;j++)
        　　{ 　　
                 A[i][j]=g.edges[i][j];
             　　 path[i][j]=-1;
         　 }
     　　for(k=0;k<n;k++)
     　　{ 
          　　for(i=0;i<n;i++)
             　　for(j=0;j<n;j++)
                 　　if(A[i][j]>(A[i][k]+A[k][j]))
                 　　{
                       　　A[i][j]=A[i][k]+A[k][j];
                       　　path[i][j]=k;
                  　 } 
        　} 
    }

[2012073019540660.gif]: /images/20220717/8b0e209d1b414484964b39433a37e26a.png
[copycode.gif]: /images/20220717/540db4fb54d3443a8813196dca24d7d7.png
[2012073019593375.jpg]: /images/20220717/ec95af5ad93c4eb8b0d7a5ba807efa46.png
[2012073020014941.jpg]: /images/20220717/c7c6ab51d4c346fda9fa27483aab3312.png
[2012073109403649.gif]: /images/20220717/f914fad5d8c2401787776895520da257.png
[2012073109460084.jpg]: /images/20220717/2deade0e214242cb99c07b097f6f8af2.png
[2012073109453085.jpg]: /images/20220717/e8ca029fa1a94a9dafb42893eb87bfb3.png
[2012073109463549.jpg]: /images/20220717/e0edd1555d454fa79300f7717a170d02.png