算法提高矩阵乘法（区间dp）

清疚 2022-09-28 05:52 129阅读 0赞

问题描述

有n个矩阵，大小分别为a0\*a1, a1\*a2, a2\*a3, ..., a\[n-1\]\*a\[n\]，现要将它们依次相乘，只能使用结合率，求最少需要多少次运算。  
　　两个大小分别为p\*q和q\*r的矩阵相乘时的运算次数计为p\*q\*r。

输入格式

输入的第一行包含一个整数n，表示矩阵的个数。  
　　第二行包含n+1个数，表示给定的矩阵。

输出格式

输出一个整数，表示最少的运算次数。

样例输入

3  
1 10 5 20

样例输出

150

数据规模和约定

1<=n<=1000, 1<=ai<=10000。

题解：区间dp。

设dp\[i\]\[j\]表示区间【i，j】中的最少运算次数。

那么转移方程为：

dp\[ i \]\[ j \]=min(dp\[ i \]\[ j \], dp\[ i \]\[ k \]+dp\[ k+1 \]\[ j \]+a\[ i-1 \]\*a\[ k \]\*a\[ j \] ).

代码：

#include<bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    typedef long long ll;
    ll a[1010];
    ll dp[1010][1010];
    ll solve(int n)
    {
    	ll sum=0;
    	memset(dp,0,sizeof(dp));
    	for(int len=2;len<=n;len++)
    	{
    		int j=len;
    		for(int i=1;j<=n; i++,j++)
    		{
    			ll minn=1e18;
    			for(int k=i;k<j;k++)
    			{ 
    				
    				minn=min(minn,dp[i][k]+dp[k+1][j]+a[i-1]*a[k]*a[j]);
    				
    			}
    			dp[i][j]=minn;
    		}
    	}
    	return dp[1][n];
    }
    int main()
    {
    	int n;
    	cin>>n;	
    	for(int i=0;i<=n;i++)cin>>a[i];
    	cout<<solve(n)<<endl;
    	return 0;
    }

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