只有1%的Python 程序员搞懂过浮点数陷阱

阳光穿透心脏的1/2处 2022-10-02 00:54 12阅读 0赞

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容纯干货，先从一个例子说起

>>> 0.1+0.2==0.3
    False

当你第一次看到这个结果时可能会非常惊讶，原来还有个这么大的bug，再来看看表达式 `0.1+0.2` 到底等于多少？

>>> 0.1+0.2
    0.30000000000000004

完全超出我们的想象。那么这个操作在计算机里面到底发生了什么事情？

我们还是回到二进制。

首先，需要明确一点，在计算机中无论是整数、浮点数、还是字符串最终都是用二进制来表示的。

### 整数的二进制表示法 ###

整数 9 在计算机中二进制表示是： 1001 ，怎么得来的？

用十进制整数整除以2，得到商和余数，该余数就是二进制数的最低位，然后继续用商整除以2，得到新的商和余数，以此类推，直到商等于0，由所有余数倒排组成了该整数的二进制表现形式。用代码表示是：

>>> n = 9
    >>> while n >0:
        n,e = divmod(n, 2) # divmod返回n除以2的商和余数
        print(e)
    1 # 低位
    0
    0
    1 # 高位

### 二进制转化为十进制整数 ###

我们知道，十进制用科学计算法可表示为：

123 = 1*10^2 + 2*10^1 + 3*10^0 
    = 100 + 20 + 3 
    = 123

同样的道理，如果是二进制数，可表示：

1001 = 1*2^3 + 0*2^2 +0*2^1 + 1*2^0
    = 8+0+0+1 
    = 9

再来看浮点数

### 浮点数的二进制表示法 ###

二进制小数和二进制整数没什么区别，都是由0和1组成，只是多了一个点，例如：101.11 就是一个二进制小数，对应的十进制数是：

101.11 = 1*2^2 + 0*2^1 + 1*2^0 + 1*2^-1 + 1* 2^-2
    = 4 + 0 + 1 + 1/2 + 1/4
    = 5 + 0.5 + 0.25
    = 5.75

小数点左边用 `2^n` 表示，小数点右边的值用 `2^-n`来表示。

### 浮点数转换成二进制小数 ###

十进制的浮点数转换成二进制小数的步骤：

*  小数点前面的整数部分按照十进制转二进制的方式操作
 *  小数部分乘以2，取整数0或者1，剩下的小数继续乘2一直重复，直到小数部分为0或达到指定的精度为止

例如 2.25 转换成二进制小数,整数2转换为二进制是 10， 小数部分0.25转换二进制是：

0.25 * 2 = 0.5  整数为0，小数为0.5
    0.5 * 2 = 1.0   整数为1，小数为0

所以 2.25 表示成二进制小数是 10.01 ， 但并不是每一个浮点数都这么幸运最后乘2小数为0的，比如 0.2 转换成二进制是：

0.2*2 = 0.4  整数为0，小数为0.4
    0.4*2 = 0.8  整数为0，小数为0.8
    0.8*2 = 1.6  整数为1，小数为0.6
    0.6*2 = 1.2  整数为1，小数为0.2
    0.2*2 = 0.4  整数为0，小数为0.4
    0.4*2 = 0.8  整数为0，小数为0.8
    0.8*2 = 1.6  整数为1，小数为0.6
    0.6*2 = 1.2  整数为1，小数为0.2
    一直重复 ....

0.2 用二进制表示是 0.001100110011… ，你会发现 0.2 根本没法用二进制来精确表示。就像 1/3 无法用小数精确表示一样，只能取一个近似值。

如果把这个二进制小数 0.001100110011 转换回10进制是：

0.001100110011 = 1*2^-3 + 1* 2^-4 + 1* 2^-7 + 1* 2^-8 + 1* 2^-11 + 1* 2^-12
    = 1/8 + 1/16 +1/128 + 1/256 + 1/2048 + 1/4096
    = 0.199951171875

这只是一个接近 0.2 的数，精度越高就越靠近 0.2， 但永远不可能等于0.2。那么在计算机内部，浮点数到底怎么存储的呢？

根据国际标准IEEE 754，一个二进制浮点数 V 分为3部分，可以用下面这个公式来表示：

![1240][]

*  s表示符号位，当s=0，V为正数；
    
    当s=1，V为负数
 *  M表示有效数字， 1<=M<2
 *  E表示指数位

例如十进制1.25，写成二进制是1.01，用该公式表示相当于 1.01×2^0。可以得出s=0，M=1.01，E=0。

**IEEE 754规定**

1、对于32位的浮点数，最高位是符号位s，接着的8位是指数E，剩下的23位为有效数字M。

![1240 1][]

2、对于64位的浮点数，最高的1位是符号位S，接着的11位是指数E，剩下的52位为有效数字M

![1240 2][]

3、M的第一位总是1，会被舍去，比如保存1.01的时候，实际上只保存小数点后面的01部分

4、E的真实值必须再减去一个中间数，对于8位的E，这个中间数是127；对于11位的E，这个中间数是1023。

基于以上规则，我们可以对浮点数进行验证，可以用下面这个函数查看一个浮点数在计算机中实际存储的值：

import struct
    def float_to_bits(f):
    s = struct.pack('>f', f)
    return struct.unpack('>l', s)[0]
    
    >>>print(float_to_bits(0.2))
    1045220557
    print(bin(float_to_bits(0.2)))
    0b111110010011001100110011001101

浮点数 0.2 实际存储的值是 1045220557，对应的二进制是 111110010011001100110011001101，转换成32位整数还要在前面补2个0，最后变成：

0 01111100 10011001100110011001101

最高位为0，所以表示正数，接着8位 01111100 是指数位E，对应整数是124，根据IEEE 754规定，E的真实值要减去127，所以E=-3，最后23为是M的值，因为前面省略了一位，所以M的真实值是：

1.10011001100110011001101

最后V的值就是：

1.10011001100110011001101*2^-3=0.00110011001100110011001101=1/8 + 1/16 +1/128 + 1/256 + 1/2048 + 1/4096 + ...=0.20000000298023224

它的实际值比 0.2 要大一点点，所以才看到了最开始的那一幕。

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